Wieso ist die Wurzel aus 2 irrational?
Ich habe gerade ein kleines mathematisches Problem und finde meinen Fehler einfach nicht. Deshalb wäre ich dankbar, wenn mir jemand sagen könnte, was an meinen Überlegungen falsch ist.
- Die rationalen Zahlen sind definiert als die Menge der Zahlen, die sich durch Brüche aus ganzen Zahlen darstellen lassen.
- Die Wurzel aus 2 - um ein Beispiel zu nennen - ist irrational. Aber ich kann die Wurzel aus 2 durchaus als Bruch darstellen. Beispielsweise mit dem Nenner 1.
- Diese Darstellung entspricht nicht der Definition von rationalen Zahlen, denn im Zähler befindet sich ein Komma, also keine ganze Zahl.
- Ich erweitere den Bruch nun mit 10. So verschiebt sich das Komma um eine Stelle.
- Diese Darstellung entspricht nicht der Definition von rationalen Zahlen, denn im Zähler befindet sich ein Komma, also keine ganze Zahl.
- Die Definition einer rationalen Zahl sagt aber nicht aus, dass die ganzen Zahlen in Nenner und Zähler endlich sein müssen. Ich kann den Bruch also doch einfach unendlich oft mit 10 erweitern.
Das entspricht doch dann letztendlich einem Bruch, der sowohl im Nenner, als auch im Zähler eine unendlich große ganze Zahl hat.
Wenn ich aber nun sage, seien a und b unendlich große ganze Zahlen, dann ist klar, dass a/b eine rationale Zahl ist.
Wie unterscheidet sich also nun meine Ausführungen von der Wurzel von 2 vom einfach Fall a/b?
Den einzigen Fehler, den ich erahnen könnte, ist der, dass ich selbst dann, wenn ich meinen Bruch unendlich oft erweitere, niemals eine ganze Zahl in den Nenner bekomme. Wenn ich den Bruch aber nun unendlich oft erweitere und anschließend einfach die Nachkommastellen weglassen würde, hätte ich doch einen Bruch aus ganzen Zahlen, der sich der Wurzel aus 2 unendlich genau annähert. Kann ich an der Stelle nicht behaupten, dass mein Bruch einfach gleich der Wurzel 2 ist, so wie man beispielsweise auch sagt, dass 0,99 Periode gleich 1 ist? Und müsste daraus dann nicht folgen, dass die Wurzel aus zwei eine rationale Zahl ist, da es eine rationale Zahl (meinen Bruch) gibt, die sich der Wurzel aus 2 unendlich genau annähert.
8 Antworten
Erst mal danke für Deine interessanten Überlegungen.
Wurzel(2) ist nicht als Bruch darstellbar und deshalb als irrational definiert.
Die Aussage "0.99.. = 1" ist kein Gegenbeispiel. Denn jede periodische Dezimalzahl lässt sich als Bruch darstellen und ist damit eine rationale Zahl.
Die Aussage "0.99.. = 1" hat nichts mit einer Grenzwertbetrachtung zu tun, denn das ergibt sich rein rechnerisch:
1 = 1/3 + 1/3 + 1/3
1 = 0.33.. + 0.33.. + 0.33.. = 0.99..
Jede Zahl in Z ist eine endliche Zahl. Und ja, in jedem einzelnen Schritt bleibst du durch das Erweitern in Z. Das heißt aber nicht, dass das auch im Grenzübergang so bleibt.
Stell dir vor, du hast das offene Intervall (0,1), also die Menge aller reellen Zahlen zwischen 0 und 1, aber die beiden Grenzen sind nicht drin. Die Folge
1, 1/2, 1/3, ... konvergiert gegen 0. Trotzdem liegt die 0 immer noch nicht in dem Intervall drin.
Du hast erfolgreich eine Folge konstruiert, bei der jedes Folgenglied in Q liegt und die gegen Wurzel aus 2 konvergiert. Das heißt aber nicht, dass darum der Grenzwert in Q liegt, das hast du damit nicht gezeigt.
Die Wurzel aus 2 - um ein Beispiel zu nennen - ist irrational. Aber ich kann die Wurzel aus 2 durchaus als Bruch darstellen. Beispielsweise mit dem Nenner 1.
ist mit "als Bruch darstellen" (als rationale Zahl darstellen gemeint) gemeint. Und das geht nicht. Und ab hier habe ich dann auch nicht mehr weiter gelesen.
Und das geht nicht.
Genau dieses Problem versuche ich ja zu umgehen.
Hallo,
Du näherst Dich an eine rationale Zahl an, wirst sie aber nie erreichen.
Haarscharf daneben ist eben auch vorbei.
Herzliche Grüße,
Willy
Eine irrationale Zahl hat aber keine Periode.
Ich verstehe nicht, weshalb das ein Problem sein sollte. Der Unterschied zwischen der periodischen Zahl 0,99... und 1 ist doch genau so marginal wie der Unterschied zwischen meiner unendlich genauen Approximation und der tatsächlichen Wurzel aus 2.
Oder liege ich damit falsch?
Jeder periodische Dezimalbruch läßt sich als Bruch mit Zähler und Nenner darstellen. Ein nichtperiodischer Deziumalbruch läßt sich so nicht darstellen.
=,999... ist nichts anderes als eine arithmetische Summe mit dem Grenzwert 1. Oder noch anders 0,999.. = 3 * 0,333... = 3 * 1/3 = 1
So langsam beginne ich zu verstehen...
Eine solche Darstellung bekomme ich für meine Approximation der Wurzel von 2 tatsächlich nicht hin. Bei periodischen Zahlen scheint es also möglich zu sein, einen Bruch zu bilden, der tatsächlich nur aus ganzen Zahlen besteht und exakt der jeweiligen Zahl entspricht. Interessant.
=,999... ist nichts anderes als eine arithmetische Summe mit dem Grenzwert 1.
Das verstehe ich. Tatsächlich verwirrt mich das jetzt aber wieder auf eine ganz andere Weise. Wenn etwas den Grenzwert 1 hat, dann ist das doch etwas anderes, als wenn etwas exakt 1 ist.
Das entspricht dem Problem von Achill und der Schildkröte. siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Achilles_und_die_Schildkr%C3%B6te
Warum sollte hier irgendwas arithmetisch sein? Die Folgenglieder, die hier aufsummiert werden, haben doch keinen konstanten Abstand.
Erstmal ist die Summe nicht arithmetisch, aber das spielt auch keine Rolle. Ansonsten muss man hier ganz genau definieren, was man meint:
9/10, 9/100, 9/1000 ... ist eine Folge von Brüchen.
Wenn ich die summieren, habe ich die Reihe
9/10 + 9/100 + 9/100 + 9/1000...
Diese Reihe konvergiert gegen einen Wert. Anders gesagt kann ich auch betrachten:
0,9
0,99
0,999
0,9999
0,99999
....
Diese konvergieren auch gegen einen Wert.
Schreibe ich jetzt 0,periode9 (also eigentlich den Strich über der 9), dann meine ich damit keine Folge, keine Summe, sondern den GRENZWERT, gegen den das konvergiert. Das ist ja auch insofern logisch, als ich mit 0,periode9 eine Zahl beschreibe, nicht eine Folge.
Also ist die Formulierung sehr ungenau gewesen. Ich identifiziere 0,periode9 nicht mit einer Folge, die einen Grenzwert hat, sondern ich identifziere 0,periode9 mit diesem Grenzwert. Damit tritt das von dir beschriebene Problem nicht auf.
"Zufällig" konvergiert die Folge der rationalen Zahlen
0,9
0,99
0,999
0,9999 usw. gegen die rationale Zahl 1.
Darum ist 0,periode9 (was nichts anderes ist als der Grenzwert der Folge) gleich 1 (und zwar gleich, nicht fast gleich, nicht haarscharf daneben, sondern ganz gleich).
Das heißt aber nicht, dass jede andere konvergente Folge aus rationalen Zahlen ebenfalls gegen eine rationale Zahl konvergieren muss.
Du willst einen Bruch unendlich oft erweitern. Dann steht aber sowohl im Zähler als auch im Nenner an Stelle einer Zahl die undefinierte Größe unendlich und unendlich ist keine Zahl.
Das sehe ich auch so.
in der Mathematik herrscht doch aber Einigkeit darüber, dass für eine periodisch Zahl wie 0,9999... = 1 gilt. Wie passt das nun zusammen. Hier liegt das Ergebnis eigentlich auch haarscharf daneben. Wird hier nicht mit zweierlei Maß gemessen?