Stetigkeit widerlegen?

Wenn wir z.B. die Funktion f(x,y) = x^2+y/(x+y) haben, und Stetigkeit an (0,0) prüfen sollen.

Reicht es dann zu sagen, dass die Funktion dort gar nicht definiert ist?

Weil eine Bedingung ist ja eigentlich, dass Grenzwert = Funktionswert. Geht ja aber nicht

Answer 1

[berndao3]

Nicht unbedingt.
Wenn ich das recht weiß, zumindest bei eindimensionalen Sachen, bedeutet Stetigkeit
dass der rechts- und der linksseitige Grenzwert gleich sind.

Wenn ich mich nicht irre, ist sowas wie die Betragsfunktion auch stetig, obwohl sie ja nicht differenzierbar ist.

auf gut deutsch gesagt, dass alle Grenzwerte an der Stelle zu dem Wert tendieren den man da erwarten würde.

Im zweidimensionalen wird die grundsätzliche Bedeutung wohl auch nicht viel anders sein :-)

Comments

[Roderic]

Stetigkeit und Differenzierbarkeit sind zwei verschiedene Dinge.

Der Unterschied bei dem von dir angeführten Beispiel der Betragsfunktuon zur Funktion des Fragers ist, daß die Betragsfunktion an der Stelle 0 einen definierten Wert hat, die des Fragers jedoch nicht.

Und genau darauf zielt die Frage des Fragers ja hin.

[berndao3]

@Roderic

ob die jetzt dort definiert ist, ist ja recht egal. es geht drum dass die grenzwerte alle auf den selben Wert zulaufen.

dass differnzierbarkeit und stetigkeit verschiedene sachen sind, habe ich nie angezweifelt.

[berndao3]

@berndao3

Aber offenbar muss es wohl wirklich auch dort definiert sein um dort stetig zu sein.

[Roderic]

@berndao3

... dass die grenzwerte alle auf den selben Wert zulaufen.

Das ist korrekt.

[Roderic]

@berndao3

offenbar muss es wohl wirklich auch dort definiert sein um dort stetig zu sein.

Auch das ist korrekt.

[berndao3]

@Roderic

Dann wars wohl die reine grenzwertdefinition bei der es ausschlielich wichtig war dass rechts und linksseitiger grenzwert gleich sind. für stetigkeit kommt wohl noch die definiertheit sowie dazu dass der grenzwert und funktionswert identisch sind.

[Roderic]

@berndao3

Ganz genauso ist es.

Vielleicht noch als kleine Ergänzung:

Wenn der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert übereinstimmen, aber der Funktionswert an der betreffenden Stelle nicht existiert, dann nennt man das einen "uneigentlichen Grenzwert".

Answer 2

[Aurel8317648]

hier Lim bedeutet immer Lim für n --> oo

dieser Weg funktioniert auch für f(x,y) = (x^2+y)/(x+y), falls du das gemeint hast.

Für f(x,y) = x^2+y/(x+y):

1) Google Folgenkriterium für Stetigkeit

2) Wir nehmen 2 Folgen (an, bn) = (1/n, 1/n) und (cn, cn) = (0, 1/n) , die gegen (0,0) konvergieren und zeigen, dass Lim f(an, bn) ungleich Lim f(cn, dn), somit f(x,y) in (0,0) unstetig, denn im Folgenkriterium lautet die Bedingung: für alle (erdenklichen) Folgen .....

(an, bn) = (1/n, 1/n)

Lim (an, bn) = (1/n, 1/n) = (0,0)

f(an, bn) = f(1/n, 1/n) = (1/n)^2+(1/n)/((1/n)+(1/n)) = 1/n² + 1/2

Lim f(an, bn) = 1/2

-------------------------------

(cn, dn) = (0, 1/n)

Lim (cn, dn) = (0, 1/n) = (0,0)

f(cn, dn) = f(0, 1/n) = (0)^2+(1/n)/(0+(1/n)) = 1

Lim f(cn, dn) = 1

Comments

[Aurel8317648]

Anmerkung: Wenn f(0,0) nicht definiert ist, dann ist f in (0,0) natürlich auch nicht stetig, aber oft geht es m.E. bei diesen Aufgaben darum zu zeigen, ob die Funktion im nicht definierten Punkt a stetig fortsetzbar ist. Wenn f nach a stetig fortsetzbar ist, erhält man eine stetige Funktion f1: x --> f(x) für x€D und x --> c für x=a

Die obige Berechnung zeigt, dass f auch nicht nach (0,0) stetig fortsetzbar ist, es gibt also kein f1: (x,y) --> f(x,y) für (x,y)€D und (x,y) --> c für (x,y) = (0,0)