Stetigkeit einer Funktion?
Hallo Zusammen, ich habe eine Frage zur oben stehenden Aufgabe.
Weshalb ist die Funktion f(x) stetig? Ist es korrekt, dass (x^2-1)/(x-1) <- diese Funktion nicht durchgehend ist (gelb im Graphen), da diese für x=1 nicht definiert ist ? Sie besitzt also bei x=1 ihren Grenzwert.
Dieser Grenzwert ist aber in der gesamten Funktion f(x) wegen des Einzelpunktes f(1) = 2 nicht vorhanden, wodurch f(x) stetig ist?
2 Antworten
Die gebrochen-rationale Teilfunktion ist wegen ihres Nenners (x-1) an der Stelle x=1 nicht definiert, d. h. sie hat dort eine Definitionslücke (nicht "ihren Grenzwert" - das ist falsch ausgedrückt). Weil man diese Definitionslücke "rauskürzen" kann, nennt man dies eine (be-)hebbare Definitionslücke, d. h. der Graph läuft "eigentlich" durch, ist aber genau an dieser einen Stelle unterbrochen. Und dieser "Fehlpunkt" wird in diesem Fall durch die untere Teilfunktion (f2(x)=2 f. x=1) wieder aufgefüllt.
Die Funktion f ist nun deshalb stetig, weil dieser ergänzte Punkt an der richtigen Stelle steht, d. h. der Grenzwert der oberen Teilfunktion von links und rechts Richtung x=1 ist 2, und das ist aufgrund der unteren Teilfunktion auch der Funktionswert von f. Stünde da z. B. "3 für x=1", dann würde dieser Punkt "aus der Reihe springen", d. h. nicht mit dem Grenzwert der oberen Teilfunktion übereinstimmen, und die Funktion f wäre nicht stetig.
Der Fachausdruck für einen solchen Fall heißt "stetig ergänzbar". Die Funktion
(nebenbei hat eine Funktion(sgleichung) ein "=", ohne das = steht da nur ein Term) ist nicht definiert und damit auch nicht stetig an der Stelle x = 1. Sie ist aber mit der Zuweisung
f(1) := 2
stetig ergänzbar.
Genauer kann man auch durch x² - 1 = (x + 1)(x - 1) und kürzen mit x - 1 die Funktion
g(x) = x + 1
erhalten, die in allen Punkten ausser in x =1 mit f(x) überein stimmt.