Klingt banal, aber Du musst auf jedes Wort achten und was das dann genau bedeutet...: oft wird der Fehler gemacht, dass man z. B. beim Wortlaut "weniger als x" als Gegenereignis "mehr als x" annimmt, was dann zur Folge hat, dass das "arme x" nicht berücksichtig wird.

Geht es um Zahlen, dann überlegst Du am besten, welche Zahlen für eine Beschreibung in Frage kommen, und was das dann für das "Gegenteil" bedeutet.

So bedeutet z. B. "maximal 10" (mathematisch <=10), dass alles bis einschließlich 10 dazu gehört, und somit alles größer als 10 (mathematisch >10) nicht mehr.

a) ist falsch für die Sonderfälle p=0 und p=1, denn:

bei p=0 gilt z. B. P(X=0)=1 und P(X=1)=0 => P(X<=0)=P(X<=1) und nicht P(X<=0)<P(X<=1)

bei p=1 gilt P(X=0)=0, P(X=1)=0 => ebenfalls P(X<=0)=P(X<=1)

Für alle anderen p's sind die Wahrscheinlichkeiten P(X=k) "theoretisch" ungleich Null, und somit werden dann auch die kumulierten Wahrscheinlichkeiten mit größeren k's größer.

b) falsch, als Gegenbeispiel kannst Du da auch einfach den Teil a) nehmen...

c) falsch, wenn Du die Erfolgswahrscheinlichkeit p erhöhst, dann verringert sich die Wahrscheinlichkeit für die "kleinen" Trefferanzahlen k.
Beispiel: Basketballspieler 1 trifft mit einer Wahrscheinlichkeit von p=5 % in den Korb, Spieler 2 mit 90 %iger Wahrscheinlichkeit. Es wird 10mal geworfen.
Dass Spieler 1 maximal 2-mal in den Korb trifft ist hierbei höher als bei Spieler 2, denn Spieler 2 wird höchstwahrscheinlich deutlich öfter treffen, d. h. für Spieler 2 ist maximal "nur" zweimal zu treffen recht unwahrscheinlich...

Bei Aufgabe 7) musst Du überlegen, mit welchem Faktor Du die einzelnen Koordinaten multiplizieren musst, damit sich jeweils ganze Zahlen ergeben. Entweder machst Du es Dir einfach und multiplizierst einfach mit 10er-Potenzen (d. h. Du verschiebst nur das Komma) oder Du wählst den kleinstmöglichen Faktor. Hast Du einen passenden Faktor gefunden, musst Du, damit die Werte in der Form r * Vektor a die selben sind, den Vektor mit dem Kehrwert dieses Vektors multiplizieren.

Beispiel 7a): hier könntest Du entweder einfach mit 10 multiplizieren, d. h. das Komma der Koordinaten um eine Stelle nach rechts verschieben, und hättest so als Vektor a: (5 15 -15) und müsstest diesen dann mit dem Kehrwert von 10, also 1/10 multiplizieren. Oder Du multiplizerst in diesem Fall mit 2 (weil ,5 bedeutet ja "halbe") und kämst so auf 1/2 * (1 3 -3)

Aufgabe 9): hier fasst Du die Vektoren genauso zusammen wie Variablen (x, y, z) auch - denke Dir einfach die Pfeile weg...

Aufgabe 11): hier würde ich erst einmal die entsprechenden Koordianten der Vektoren notieren und diese dann wie angegeben "verrechnen".

Beispiel 11a): a=(2 2); b=(1 1), somit ergibt sich für die linke Seite a+2b: (2 2) + 2 * (1 1) = (2 2) + (2 2) = (4 4). Wenn das rechts mit d-2c auch rauskommt, passt die Gleichung.

Ich gehe mal davon aus, es soll jeweils 0,3 heißen, so dass für -5€ noch die Wahrscheinlichkeit 0,4 übrig bleibt. Ansonsten wäre die Aufgabe eh nicht lösbar (was Teil b) angeht)...

Wenn ihr das Thema neu angefangen habt, dann beginne mit einem Baumdiagramm, um Dir die Vorgehensweise klar zu machen (und Du den Baum siehst und ihn Dir nicht vorstellen musst). D. h. Du beginnst mit den 3 Ästen 0,5€, 2€ und -5€ und schreibst jeweils die Wahrscheinlichkeiten dran, dann folgen an jedem Ast im zweiten Schritt nochmal die gleichen Äste mit den gleichen Wahrscheinlichkeiten (die Kugel werden ja zurückgelegt).

Somit bekommst Du z. B. für den Pfad (0,5€|0,5€) auf die Wahrscheinlichkeit p=0,3 * 0,3 = 0,09. D. h. mit der Wahrscheinlichkeit 0,09 (=9 %) gewinnt der Spieler 1,- € (0,5+0,5).

Das machst Du mit allen Pfaden: Wahrscheinlichkeit ausrechnen und den zugehörigen Gewinn/Verlust.

Bei a) kommen dann alle Pfade in Frage, die einen Verlust ergeben (also alle Pfade bei denen mindestens ein Ast -5€ "heißt". Die Wahrscheinlichkeiten dieser Äste werden addiert.

b) hier musst Du zuerst die Gewinnwahrscheinlichkeit ausrechnen, also den "Gewinn" jeden Pfades mal seiner Wahrscheinlichkeit und diese Ergebnisse addieren. Das Ergebnis ist die zu erwartende Auszahlung pro Spiel. Ein Minus bedeutet dabei, dass der Spieler Verlust macht, und somit der Spielanbieter Gewinn. Jetzt teilst Du 2.000,- durch diesen Gewinn des Spielanbieters und hast die Anzahl der nötigen Spiele um 2.000,- € einzunehmen (aus Sicht des Anbieters).

Zur Prüfung der Symmetrie (Achsensymmetrie zur y-Achse bzw. Punktsymmetrie zum Nullpunkt) bestimmst Du f(-x), d. h. Du ersetzt jedes x im Ausgangsterm durch (-x) und vereinfachst den Term. In diesem Fall kommt derselbe Term raus wie bei der Ausgangsfunktion (nur sind die Summanden vertauscht, was ja bekanntlich am Ergebnis nichts ändert).

Somit gilt f(-x)=f(x), und das bedeutet, dass f achsensymmetrisch zur y-Achse ist.

An der Stelle, wo Du von 0x die 0,5x abziehst, hast Du einen Vorzeichenfehler: es muss -0,5x heißen. Dann kommt bei der letzten Division am Ende -0,5 raus, und das ergibt mit (x-2) multipliziert -0,5x+1 und somit kommst Du am Ende auch auf Rest 0.

Fakt ist: ist x0 eine Nullstelle eines Terms, dann ergibt die Division dieses Terms durch (x-x0) IMMER Rest 0, ansonsten ist (wie hier bei dir) etwas schief gelaufen!

3a) Stelle aus der gegebenen Gleichung mit den gegebenen Vektoren ein Gleichungssystem auf und löse dieses.

b) Gibt es eine Linearkombination der 3 Vektoren, die den Nullvektor (0 0 0) ergibt, dann sind die 3 Vektoren linear abhängig, ansonsten linear unabhängig. Also wieder Gleichungssystem aufstellen wie bei a), nur eben nicht "gleich Vektor a", sondern "=(0 0 0)".

4) gleiche Vorgehensweise wie bei 3)

Berechne zuerst die Fläche des sin von 0 bis π.

3:4 bedeutet, dass der Schnitt bei 3/7 dieser Fläche sein muss, d. h. das Integral von 0 bis zur gesuchten Grenze muss 3/7 der sin-Fläche von 0 bis π betragen.

Vervielfacht man die eine Größe und vervielfacht sich die andere dabei um denselben Faktor, dann liegt eine proportionale Zuordnung vor.

Wird die eine Größe mit einem Faktor vervielfacht und die andere muss dabei durch diesen Faktor geteilt werden, damit die Zuordnung stimmt, dann liegt eine antiproportionale Zuordnung vor.

5.1 eine gewisses Gewicht Tomaten entspricht einem bestimmten Betrag. Verdoppelt/verdreifacht/... man das Gewicht der Tomaten, dann werden sich auch die entsprechenden Kosten verdoppelt/verdreifachen/..., d. h. hier liegt eine proportionale Zuordnung vor

5.2 Erhöht sich die Laufstrecke wird sich auch die Laufzeit erhöhen, allerdings nicht um denselben Faktor: ein 10.000 m-Läufer wird nicht nur 100mal länger brauchen als ein 100 m-Läufer, sondern noch etwas mehr Zeit, daher handelt es sich hier weder um eine proportionale noch um eine antiproportionale Zuordnung.

5.4 hast Du nur ein Glas, kommt da der komplette Liter rein (muss wohl ein großes Glas sein...). Bei 2 Gläsern (also *2), halbiert sich die Menge pro Glas (jeweils 0,5 l, also durch 2); somit liegt hier eine antiproportionale Zuordnung vor

Die anderen solltest Du nun auch selbst lösen können.

Hier hast Du es mit einer Normalverteilung zu tun, d. h. hier gibt es keine ganzzahligen n und k und auch kein p, wie Du es aus der Binomialverteilung kennst.

Gegeben ist der Erwartungswert μ=7 und die Standardabweichung σ=0,5.

Gesucht ist bei a) nach P(X<6,8). Um daran zu kommen musst Du aus der Standardnormalverteilung Φ(Z) berechnen/ablesen, mit Z=(X-μ)/σ=(6,8-7)/0,5=-2/5=-0,4, d. h. gesucht ist Φ(-0,4)=1-Φ(0,4)=1-0,6554=0,3446. Φ(0,4) habe ich aus einer Tabelle für Standardnormalverteilung abgelesen.

a) Die Höhe des Streifens (messen!) entspricht 42 %. Du musst nun ausrechnen, wieviel cm 100 % entsprechen.

b) Berechne das Rechteck (Breite und Höhe messen und multiplizieren). Diese Fläche entspricht 72 %. Gefragt ist wieder nach 100 %.

Beim zweiten hast Du beim Einsetzen die x- und y-Werte vertauscht, d. h. oben muss es E/P2 und unten E/P1 heißen, dann kommt auch dasselbe raus wie bei deiner ersten Variante.

Oben drüber steht die Funktionsgleichung allgemein in der Form f(x)=1/(x-b).

Das b gibt die Verschiebung in x-Richtung an gegenüber der "Standard-Hyperbel" f(x)=1/x.

D. h. bei a) f(x)=1/(x-3) gilt einfach nur b=3, d. h. diese Funktion ist gegenüber f(x)=1/x um 3 Einheiten nach rechts verschoben. D. h. zudem, dass das b auch die senkrechte Asymptote angibt.

Allgemein gilt: mit f(x-b) wird eine Funktion f(x) um b Einheiten in x-Richtung verschoben - bei positivem b nach rechts, bei negativem nach links [d. h. bei Aufgabe c) wurde die Hyperbel 1/x um 3 Einheiten nach links verschoben: f(x)=1/(x-(-3))=1/(x+3)]

Zuerst zeichnest Du die 3 Äste für die drei Kugeln aus Behälter A und von da jeweils abgehend die 4 Äste für die Kugeln aus Behälter B.

Du konntest z. B. auf 4/10 kürzen, weil r=400 bei insgesamt 1.000 Kugeln war. Jetzt ist r aber nicht genau bekannt, d. h. Du musst r/1000 stehen lassen und nicht r/10.

Entsprechend musst Du im Folgenden im Zähler bzgl. der weißen Kugeln die unbekannte Anzahl roter Kugeln von 1000 abziehen, also (1000-r)/1000 rechnen und nicht (10-r)/10 !

Stimmen links- und rechtsseitiger Grenzwert an einer Stelle x0 mit dem Funktionswert an dieser Stelle überein, dann ist die Funktion dort "allgemeingültig" stetig (also durchgehend über diesen Punkt hinaus).

Stimmt nur einer der Grenzwerte mit dem Funktionswert an dieser Stelle x0 überein, dann ist auch nur dieser Teil bis zu dieser Stelle stetig. Danach macht die Funktion einen Sprung auf den Grenzwert der "anderen Seite".

Beispiel: f(x)=1 für x<=0 und f(x)=2 für x>0.

x0=0 => l-lim x->0 f(x)=1; r-lim x->0 f(x)=2; f(0)=1=l-lim => f ist linksseitig stetig an der Stelle x0=0. (danach macht der Graph einen Sprung von y=1 auf y=2)

Zuerst "zerlegst" Du beide Nenner in seine einzelnen Faktoren. Der Hauptnenner ist dann die "Vereinigungsmenge" dieser Faktoren, d. h. Du musst den ersten Bruch mit den Faktoren erweitern die der andere Nenner zusätzlich hat, und den zweiten Bruch mit den Faktoren, die der zweite Nenner gegenüber dem ersten nicht hat. (Vereinigungsmenge ist hier mathematisch falsch ausgedrückt - aber ich hoffe Du verstehst so besser was gemeint ist...)

Beispiel:

b1) hier hast Du links den Nenner 4b, das ist "komplett zerlegt" = 2 * 2 * b; rechts der Nenner lautet 2b², also =2 * b * b.
D. h. im linken Nenner fehlt gegenüber dem rechten einmal der Faktor b, und beim rechten fehlt gegenüber dem linken einmal der Faktor 2, d. h., wenn Du den ersten Bruch nun mit b erweiterst und den zweiten Bruch mit 2, dann lauten beide Nenner 2*2*b*b, also 4b². Dies ist dann der Hauptnenner.

Das Beispiel im Buch ist vielleicht etwas schwer nachvollziehbar, weil da "plötzlich" links mit (a-2) erweitert wurde. Das liegt daran, dass im rechten Nenner (a²-4) steht und das (3. binomische Formel) gleich (a+2)*(a-2) ist.

weiteres Beispiel:

b4) linker Nenner: 10x+10=10(x+1)=2*5*(x+1)
rechter Nenner: 5x²-5=5(x²-1)=5*(x+1)*(x-1) [wieder 3. binom. Formel]
D. h. hier musst Du den linken Bruch mit (x-1) erweitern, und den rechten mit 2. Somit ergibt sich als Hauptnenner: 2*5*(x+1)*(x-1)=10(x²-1).

Zuerst einmal sollt ihr ja den Flugkurs einzeichnen. Der Startpunkt B der Beobachtung ist schon eingezeichnet, fehlt nur noch der Richtungsvektor...

Wie ihr an den Einheiteneinteilungen erkennen könnt, entspricht ein diagonales Kästchen auf der x1-Achse 200 Einheiten, in x2- und x3-Richtung entspricht eine Kästchenbreite/-höhe 100 Einheiten. Ihr müsst nun von Punkt B aus den Vektor (50 -50 -25) abtragen. Nur sind diese Einheiten in den entsprechenden Richtungen bei diesen Achseneinteilungen äußerst ungenau. Da es von B aus aber mit "allen möglichen" Vielfachen dieses Vektors weggeht, macht es für den nächsten Punkt Sinn diesen Vektor mit 2 zu multiplizieren, d. h. ihr geht von B aus den Vektor (100 -100 -50) weiter, also ein halbes diagonales Kästchen nach vorne links in x1-Richtung, dann ein Kästchen nach links und ein halbes nach unten. Durch diesen zweiten Punkt zieht ihr dann die Gerade von B aus durch.

Die Geradengleichung lautet "einfach":

g: x=(-1100 1200 500) + r (50 -50 -25)

Jetzt müsst ihr prüfen, ob L ein Punkt dieser Geraden ist, also die Geradengleichung mit L gleichsetzen und für jede der 3 Koordinaten eine eigene Gleichung aufstellen und jeweils nach r auflösen. Kommt bei allen das gleiche r raus, dann liegt L auf dieser Geraden, was hier aber nicht der Fall sein wird...

Um den tatsächlichen Landepunkt P zu ermitteln, müsst ihr die x3-Koordinate der Geradengleichung gleich Null setzen und das r ermitteln. Dieses r dann in g einsetzen und so den tatsächlichen Landepunkt P ermitteln.

Zuletzt muss nun noch die Entfernung zwischen L und P ermittelt werden, d. h. ihr müsst die Länge der Geraden L-P (oder P-L, das ist natürlich egal) ermitteln und prüfen, ob diese Länge (ist in Metern) innerhalb der 20m-Toleranz liegt.

a) Die "Formel" für die bedingte Wahrscheinlichkeit P_A(B) lautet:

P_A(B)=P(A n B)/P(A)

Der Zähler entspricht der Wahrscheinlichkeit der inneren Zelle (A und B), also hier 60/400 und der Nenner der Summenzelle von A, also 150/400, ergibt (60/400)/(150/400)=60/150=2/5 und P(B) ist 200/400=1/2.

Bei stochastischer Unabhängigkeit müssten beide Werte gleich sein, denn unabhängig bedeutet ja, es ist egal was zuerst passiert (A oder A-Strich), die Wahrscheinlichkeit für B ist gleich. Und das ist hier nicht der Fall.

b) bei stochastischer Unabhängigkeit gilt: P(A n B)=P(A)*P(B), also hier:

60/400=150/400*200/400

3/20=3/8*1/2

3/20=3/16, was offensichtlich nicht stimmt, somit sind A und B stochastisch abhängig.

Am Baumdiagramm erkennst Du die stochastische Unabhängigkeit daran, dass die Äste von A nach B und A-Strich nach B dieselbe Wahrscheinlichkeit haben, d. h. P_A(B)=P_A-Strich(B)=P(B). Dies hast Du mit der Rechnung bei a) geprüft/widerlegt.

Und da bei stochastischer Unabhängigkeit gilt, dass der Ast von A nach B (also P_A(B)) der Wahrscheinlichkeit von B (also P(B)) entspricht, dann muss laut der Multiplikationsregel für diesen Pfad (A/B) gelten (vorderer Ast mal hinterer Ast)=P(A)*P(B). Dies hast Du bei b) geprüft/widerlegt.

Das ist nunmal so als Aufgabe angegeben, d. h. es kommen nicht nur die ganzen Zahlen von -6 bis 6 in Frage bzgl. x²<=36, sondern alle Zahlen von -6 bis 6.

D. h. Du gibst nun keine einzelnen Elemente in geschweiften Klammern an bzgl. der jeweiligen, zu vereinenden Mengen, sondern Intervalle mit eckigen Klammern (da ist nun die Frage, von wo bis wo die beiden zu vereinenden Intervalle gehen, und ob sie offen, halboffen oder geschlossen sein müssen).

Nachtrag:

b) ist nicht korrekt: bei [-3;3] setzt man ebenfalls die reellen Zahlen an, wenn nichts vorgegeben ist. D. h. hier ist die Lösung "alle Zahlen von -3 bis 3 plus der 4 (die Zahlen -1 und 2 sind ja schon in dem Intervall enthalten), also: = [-3;3] n {4}