a) Die "Formel" für die bedingte Wahrscheinlichkeit P_A(B) lautet:

P_A(B)=P(A n B)/P(A)

Der Zähler entspricht der Wahrscheinlichkeit der inneren Zelle (A und B), also hier 60/400 und der Nenner der Summenzelle von A, also 150/400, ergibt (60/400)/(150/400)=60/150=2/5 und P(B) ist 200/400=1/2.

Bei stochastischer Unabhängigkeit müssten beide Werte gleich sein, denn unabhängig bedeutet ja, es ist egal was zuerst passiert (A oder A-Strich), die Wahrscheinlichkeit für B ist gleich. Und das ist hier nicht der Fall.

b) bei stochastischer Unabhängigkeit gilt: P(A n B)=P(A)*P(B), also hier:

60/400=150/400*200/400

3/20=3/8*1/2

3/20=3/16, was offensichtlich nicht stimmt, somit sind A und B stochastisch abhängig.

Am Baumdiagramm erkennst Du die stochastische Unabhängigkeit daran, dass die Äste von A nach B und A-Strich nach B dieselbe Wahrscheinlichkeit haben, d. h. P_A(B)=P_A-Strich(B)=P(B). Dies hast Du mit der Rechnung bei a) geprüft/widerlegt.

Und da bei stochastischer Unabhängigkeit gilt, dass der Ast von A nach B (also P_A(B)) der Wahrscheinlichkeit von B (also P(B)) entspricht, dann muss laut der Multiplikationsregel für diesen Pfad (A/B) gelten (vorderer Ast mal hinterer Ast)=P(A)*P(B). Dies hast Du bei b) geprüft/widerlegt.

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Das ist nunmal so als Aufgabe angegeben, d. h. es kommen nicht nur die ganzen Zahlen von -6 bis 6 in Frage bzgl. x²<=36, sondern alle Zahlen von -6 bis 6.

D. h. Du gibst nun keine einzelnen Elemente in geschweiften Klammern an bzgl. der jeweiligen, zu vereinenden Mengen, sondern Intervalle mit eckigen Klammern (da ist nun die Frage, von wo bis wo die beiden zu vereinenden Intervalle gehen, und ob sie offen, halboffen oder geschlossen sein müssen).

Nachtrag:

b) ist nicht korrekt: bei [-3;3] setzt man ebenfalls die reellen Zahlen an, wenn nichts vorgegeben ist. D. h. hier ist die Lösung "alle Zahlen von -3 bis 3 plus der 4 (die Zahlen -1 und 2 sind ja schon in dem Intervall enthalten), also: = [-3;3] n {4}

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Um das Volumen oder die Oberfläche einer Kugel berechnen zu können benötigst Du nur den Radius der Kugel. Die Formeln stehen jeweils über den Aufgaben in den gelben Kästchen.

Bei den jeweiligen Aufgaben Nr. 1 sind die Radien angegeben, d. h. Du brauchst nur das r in der Formel durch diese Radien ersetzen und das dann mit dem Taschenrechner ausrechnen.

Bei den Aufgaben Nr. 2 und 3 musst Du etwas aufpassen. Da sind die Durchmesser der Kugeln angegeben. Der Durchmesser ist das doppelte vom Radius. D. h. Du musst erst d durch 2 teilen und erhältst so den benötigten Radius r, den Du nun wieder einfach einsetzen kannst.

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Wenn die Ursprungsfunktion als Bruch angegeben ist, also f(x)=(x²+4)/(2x-3), dann würden wohl die wenigsten das zuerst per Polynomdivision in f(x)=1/2x+3/4+... umwandeln und dann die einzelnen Summanden mit der Potenzregel (samt Kettenregel im letzen Summanden) ableiten, sondern (wie Du) direkt die Quotientenregel nehmen wie bei der Alternativlösung gezeigt.

Wieder andere (z. B. ich) würden den Bruch umschreiben in (x²+4)*(2x-3)^(-1) und die Produktregel anwenden (samt Kettenregel beim hinteren Faktor), weil die Quotientenregel bei vielen (mir) nicht sonderlich beliebt ist.

Aber egal wie, es wird (natürlich) immer auf dasselbe hinauslaufen, nur sieht der Term des ersten Lösungswegs wegen der Polynomdivision etwas anders aus.

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Die Kontrolle der Randwerte bzgl. der maximalen Steigung ist daher nötig, weil sich dort zwar laut Rechnung keine Wendestellen befindet, trotzdem kann dort die Steigung stärker ausfallen als am errechneten Wendepunkt. Die Funktion könnte ja theoretisch bei t=0 stark steigend beginnen (Aufgabenbezogen: z. B. Neueröffnung/Sonderevent, daher extrem starker Menschenandrang zu Beginn).

Bei f'(6) hast Du ja sogar tatsächlich betraglich eine stärkere Steigung als am Wendepunkt, d. h. dort ist die stärkste (negative) Änderung, trotzdem taucht diese Stelle in der Berechnung der stärksten Steigung nicht auf!

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Es stehen 2.100,- € zur Verfügung, also 21,- € je Headset. 0,58 € (=58/100) fallen an Bezugsspesen je Stück an, d. h. die Kosten der Headsets dürfen maximal 21-0,58 € = 20,42 € betragen - nach Abzug der Rabatte. D. h. diese 20,42 € entsprechen dem Preis, nachdem 8 % und 4 % vom gesuchten Listenpreis abgezogen wurden.

Je nachdem wie ihr das rechnet, setzt Du zuerst die 20,42 € = 92 % und rechnest 100 % aus (z. B. Dreisatz) und dieser Betrag entspricht dann 96 % und Du rechnest davon dann 100 % aus. Dies ist der maximal "erlaubte" Listenpreis, um die 2.100,- € Budget nicht zu übersteigen.

In "Kurzform" würde man 20,42/0,92 und das dann /0,96 rechnen, ergibt 23,12 €/Stück.

Probe: 23,12 € ./. 8 % = 21,27 €; 21,27 € ./. 4 % = 20,42 €; 20,42 € * 100 = 2.042 €; 2.042 € + 58,- € Fracht = 2.100,- €

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"Dein" Normalenvektor ist falsch (Vorzeichenfehler bei x und z!):

x=1*(-0,5)-(-2)*1=1,5
y=-2*(-3)-0*(-0,5)=6
z=0*1-1*(-3)=3

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Du setzt die Werte falsch ein und beachtest das Minuszeichen vor x² nicht!

f(x)=-x² => f(1+a)=-(1+a)², d. h. bei Dir fehlt das Minuszeichen davor und f(1)=-(1)², nicht (-1)², das Minus gehört nicht zur Potenz!

d. h. im Zähler steht nach dem Einsetzen: -(1+a)²-[-(1)²]=-(1+a)²+1

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Stelle zuerst die Tangentengleichung für die Stelle u auf:

t(x)=f'(u)*(x-u)+f(u)

Da jetzt die entsprechenden Werte/Terme einsetzen, ausmultiplizieren und in die Form y=mx+b bringen. Der y-Achsenabschnitt b ist von u abhängig, d. h. 'b(u)' ist quasi Deine "y-Achsenabschnittsfunktion". Davon berechnest Du nun das absolute Maximum im Bereich von -2 bis 1.

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13a) korrekt: der Ortsvektor/Stützvektor, also Dein "Startpunkt" auf der x3-Achse muss ein beliebiger Punkt mit x1=x2=0 sein, sonst wäre es ja kein Punkt auf der x3-Achse. Und damit Du anschließend auf dieser Achse bleibst, darf es nicht in x1- oder x2-, sondern nur in x3-Richtung weitergehen. In welcher "Schrittlänge" je r ist egal, d. h. x3 des Richtungsvektors kann beliebig gewählt werden.

b) falsch: wählst Du als Ortsvektor einen Punkt der nicht auf der x3-Achse liegt, dann liegt auch eine von dort startende Gerade nicht darauf. Je nach Richtungsvektor wird die x3-Achse höchstens mal geschnitten.

c) das gilt nur für diesen Fall, in dem bei g der Ortsvektor der Nullvektor (0 0 0) ist und beim Richtungsvektor 2 Koordinaten Null sind. Wäre z. B. g=(0 1 0)+r(0 0 1), dann liegt ein Vielfaches vom Richtungsvektor als Ortsvektor, z. B. (0 0 2), nicht mehr auf g, denn bei diesem g haben alle x2-Koordinaten den Wert 1, d. h. (0 0 2) gehört nicht dazu.

14) die beiden Schnittpunkte von h und i ablesen und daraus deren Geraden bilden (1 Punkt der jeweiligen Geraden nimmst Du als Ortsvektor, die Differenz beider Punkte als Richtungsvektor), und auch die Gerade g_a; wähle dabei für den variablen Parameter vor dem Richtungsvektor jeweils andere Buchstaben, z. B. r, s und t.

a) h und g_a gleichsetzen, für jede der 3 Koordinaten x1, x2 und x3 eine Gleichung bilden; mit den Gleichungen für x1 und x2 die variablen Parameter bestimmen, und diese dann in die Gleichung für x3 einsetzen und das a ausrechnen.

b) mit i und g_a wie bei a) vorgehen: nur berechnest Du nun mit den beiden ermittelten Parametern in Gleichung x3 das a, und wirst einen Wert erhalten, der nicht im Bereich des Würfels liegt, also nicht zwischen 0 und 2, d. h. mit diesem a würden sich zwar i und g schneiden, aber g schneidet dann nicht die senkrechte Kante vorne rechts des Würfels.

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Wenn es generell darum geht, dass man eine (beliebige) Straße/Brücke durch eine lineare Funktion beschreiben kann (und nicht etwa aufgrund einer uns unbekannten Beschreibung einer bestimmten Straße/Brücke), dann ist das falsch, sowohl was die Steigung angeht als auch die Sicht aus der Vogelperspektive. Straßen/Brücken verlaufen nicht immer gerade und die Steigung ist auch nicht immer gleichmäßig.

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Richtig, diese Ebene ist parallel zur x1-x3-Ebene.

Damit nun eine der Geraden von ga in der Ebene F liegt, müssen alle x2-Werte von ga gleich 1 sein (der Ortsvektor erfüllt diese Bedingung), d. h. für den Richtungsvektor muss x2=0 gelten, denn sonst läuft die Gerade ja weg von dieser Ebene, und das ist bei x2=-1/a nicht möglich.

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Generell: Rechenwege angeben und binomischen Formeln lernen, statt jedesmal alles einzeln auszumultiplizieren; und Nebenrechnungen auch als solche beschreiben

1a) korrekt

1b) korrekt

1c) (2) x²=1 <=> x=±√1 <=> x1=1; x2=-1

1d) korrekt

1e) korrekt

2d) der Ball ist eine Kugel mit O=4πr²

ansonsten Rechenweg (mit den +25%) korrekt

Rest korrekt

3) (1) b) bei a) hast Du doch schon x=-2 als einzige Lösung ermittelt, d. h. bei b) würde man höchstens zur Probe x=-2 als Lösung testen und damit a) bestätigen

3) (2) a) Du musst die Ungleichung zuende rechnen! (x<11/4, also x<2,75) - c) und d) entsprechend anpassen

4a) korrekt (besser nicht runden)

4b) hier musst Du aufrunden, sonst wird zu wenig geliefert (8*5*12=480)

4c) wieder aufrunden

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Du teilst die Vierfeldertafel auf in z. B. "grün"/"blau" in den Zeilen und "Farbe erkannt"/"Farbe nicht erkannt" in den Spalten.

Gegeben sind die Gesamtanteile der Farben, d. h. rechts in die Summenzellen kommt bei grün 85 % hin und bei blau 15 % (diese Info der 15 % hätte man sich auch sparen können...).

Nun werden 20 % dieser Gesamtanteile falsch erkannt, d. h. in die Zelle (grün/Farbe nicht erkannt) kommt 85 % * 0,2 = 17 %. Entsprechend kannst Du auch die anderen inneren Zellen ermitteln.

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Dir fehlen noch die Bogenmaße zu sin=-✓3/2 und sin=-1/2.

Wenn Du dir nochmal den Einheitskreis ansiehst, dann siehst Du, dass die negativen Sinuswerte durch Spiegelung an der x-Achse entstehen. D. h.: bei sin=+✓3/2 hast Du gemäß Tabelle einen Winkel von 60° bzw. ein Bogenmaß von π/3. Beim entsprechenden negativen Sinuswert geht es 60° "nach unten" bzw. π/3 nach unten. Beim Vollkreis gilt Bogenmaß=2π, d. h. bei sin=-√3/2 geht es um π/3 nach unten d. h. dieser sin entspricht dem Bogenmaß 2π-π/3=5π/3.

Der 2. sin-Wert von √3/2 hat das Bogenmaß 2π/3 (=120°), d. h. bei -√3/2 gilt 2π-2π/3=4π/3.

Mit sin=-1/2 machst Du es genauso:"einfach" 2π minus Bogenmaß der positiven sin-Werte.

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a) Die Fläche des Rechtecks errechnet sich aus Breite mal Höhe.

Die Breite ist in diesem Fall die Länge u (das Reckteck geht von x=0 bis x=u) und die Höhe ist der Funktionswert an dieser Stelle, also f(u), d. h. A(u)=u * f(u).

Jetzt nur noch den gegebenen Funktionsterm für f(u) einsetzen und mit dem u ausmultiplizieren.

b) einfach das Maximum von A(u) ausrechnen...

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Es gibt 4 schwarze Kugeln und eine unbekannte Anzahl (r) an roten Kugeln, also insgesamt (r+4) Kugeln.

Bei b) ist danach gefragt jeweils eine rote und eine schwarze zu ziehen, also kommen die beiden Pfade (schwarz/rot) und (rot/schwarz) in Frage.

Zuerst eine schwarze Kugel zu ziehen hat die Wahrscheinlichkeit 4/(r+4) [es gibt 4 schwarze von insgesamt (r+4) Kugeln], danach eine rote zu ziehen (mit Zurücklegen) hat die Wahrscheinlichkeit r/(r+4). Die Wahrscheinlichkeiten zuerst rot dann schwarz zu ziehen sind dieselben, daher p=2*4/(r+4)*r/(r+4).

Und das soll nun 4/9 ergeben. Um das zu lösen teilst Du am besten beide Seiten erst einmal durch 4, dann ist die schonmal weg, dann mit 9 und (r+4)² multiplizieren um die Brüche loszuwerden. Dann rechts die quadr. Klammer lösen und alles nach links bringen (oder erst die Klammer nach links, dann ausmultiplizieren...) und dann mit z. B. pq-Formel lösen.

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Am Graphen einer Funktion (gilt für jede, nicht nur für Polynomfunktionen!) erkennt man ob sie gerade ist, wenn sie von der y-Achse aus nach links und rechts gleich verläuft, d. h. wenn sie an der y-Achse gespiegelt ist, denn "gerade" bedeutet "achsensymmetrisch zur y-Achse".

Ungerade Funktionen sind punktsymmetrisch zum Nullpunkt, d. h. der Graph läuft von dort aus nach links und rechts in entgegengesetzte y-Richtungen.

Bei Deiner Aufgabe sind also die Graphen oben rechts und unten links die von geraden Funktionen, die anderen drei sind Graphen von ungeraden Funktionen.

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Laut Aufgabenstellung ist die Nutzungsdauer der Maschinen 4 Jahre, ihr Anfangswert ist 10.000 € und jede gat eine Jahreskapazität von 1.000.

Die Gesamtkapazität errechnet sich aus Anzahl Maschinen mal Restlaufzeit mal 1.000, also zu Beginn 10 Maschinen mal 4 Jahre Rest mal 1.000 = 40.000.

Nach einem Jahr ist die Gesamtkapazität dieser 10 Maschinen nur noch 10 * 3 Jahre Rest * 1.000 = 30.000; hinzu kommen aber 2 neue Maschinen mit vollen 4 Jahren Restlaufzeit und je 1.000 Kapazität, also 30.000+2*4*1.000=38.000, usw.

Der Buchwert ist Anzahl Maschinen mal Wert der Maschinen, also zu Beginn 10 * 10.000 € = 100.000 €. Da die Laufzeit 4 Jahre beträgt, ist der Abschreibungsbetrag 10.000 €/4 Jahre = 2.500 €/Jahr.

D. h. zu Beginn des zweiten Jahres ist der Buchwert 10 * 7.500 plus die beiden neuen Maschinen, also + 2 * 10.000 = 95.000.

Nach 4 Jahren, also in 2019 werden bei den ersten 10 Jahren letztmalig 2.500 € "abgezogen", d. h. deren Buchwert ist jetzt 0,- €, und somit hat deren Abgang keinen Einfluss auf den neuen Buchwert; wohl aber natürlich die 5 neuen Maschinen, daher ist der Buchwert zu Beginn von 2020 nun die "alten" 50.000 Restbuchwert + 5 * 10.000 € = 100.000 €.

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