Stetigkeit vs Differenzierbarkeit?
Was ist der Unterschied? Ist nicht jede Funktion, die stetig ist, auch differenzierbar?
5 Antworten
Schau Dir z.B. die Funktion f(x) = │x│ an der Stelle x = 0 an. Sie ist an dieser Stelle stetig, aber nicht differenzierbar.
Neben den bisherigen richtigen Antworten sei noch erwähnt dass es sogar Funktionen gibt die an jedem Punkt ihres Definitionsbereiches stetig sind, aber nirgendwo differenzierbar. Das ist aber Hochschulmathematik und nicht leicht mit Abiturmathematik erklärbar.
Vereinfacht gesagt es bedeutet Stetigkeit, dass sich der Funktionswert nur minimal verändert, wenn sich das Argument minimal verändert. Man könnte man sagen, dass der Funktionsgraph bei einer reellen Funktion dann eine durchgezeichnete Linie ist.
Differenzierbarkeit hingegen bedeutet, dass die Funktion sich in kleinen Umgebungen von Punkten verhält wie eine lineare Funktion mit einer kleinen Abweichung. Veranschaulicht bei dem Graphen einer reellwertigen Funktion bedeutet das, das die Funktion an jedem Punkt linear ist, wenn man "unendlich weit reinzoomt".
Nein, nicht jede stetige Funktion ist auch differenzierbar.
Hier ist der Unterschied einfach erklärt:
- Stetigkeit bedeutet, dass eine Funktion keine "Sprünge" hat. Wenn du die Funktion als eine Linie zeichnest, kannst du sie zeichnen, ohne den Stift abzusetzen.
- Differenzierbarkeit bedeutet, dass die Funktion überall eine klare "Steigung" hat, also eine definierte Tangente an jedem Punkt.
Eine Funktion kann stetig, aber nicht differenzierbar sein. Ein Beispiel ist die Betragsfunktion f(x)=∣x∣f(x) = |x|.
- Sie ist stetig, weil sie keinen Sprung hat.
- Aber sie ist nicht differenzierbar bei x=0x = 0, weil dort eine "Spitze" ist – die Steigung ändert sich abrupt.
Merke:
- Jede differenzierbare Funktion ist auch stetig.
- Aber nicht jede stetige Funktion ist differenzierbar.
Wenn der Graph einen Knick hat, ist die Funktion zwar stetig, aber an der Knickstelle nicht differenzierbar.