Warum ist f(x)=1/x differenzierbar aber nicht stetig?
Für alle f(x)-Werte in Df gibt es eine Ableitung, also is f(x) differenzierbar. Aber wenn aus der Differenzierbarkeit die Stetigkeit folgt, warum ist 1/x nicht stetig? Man kann ja f(x)=1/x nicht in einer Linie zeichnen.
6 Antworten
Es geht darum, WO die Funktion differenzierbar bzw. stetig ist.
Differenzierbar ist die Funktion nur dort wo die auch stetig ist. für x=0 ist sie weder definiert, noch stetig. Für alle anderen Werte ist sie sowohl stetig als auch differenzierbar.
Für beides, die Differenzerbarkeit und die Stetikeit muss genaugenommen immer der Bereich angegeben werden, für den dies gilt. |x| ist etwa überall stetig aber in x=0 nicht differenzierbar.
Funktionen, die an einer Stelle differenzierbar sind, sind an der Stelle auch immer stetig (aber nicht immer umgekehrt). Das Problem ist, dass f(x) = 1/x nur für Zahlen ungleich 0 definiert ist. An der Stelle x = 0 existiert die Funktion nicht und dort kann sie dann auch nicht stetig (oder differenzierbar) sein. Überall sonst (für x > 0 und x < 0) kannst du die Funktion in einer Linie zeichnen, d.h. dort ist sie stetig. Die Umschreibung "eine Funktion ist stetig, wenn man ihren Graphen ohne abzusetzen zeichnen kann" ist in meinen Augen allerdings irreführend, da Stetigkeit eher eine lokale Eigenschaft ist (um zu prüfen, ob f an der Stelle x = 3 stetig ist, ist mir egal, wie f an der Stelle x = 5 aussieht) und eben bei solchen Funktionen wie f(x) = 1/x nicht mit dem Graphen argumentiert werden kann.
Stetigkeit ist Voraussetzung für Differenzierbarkeit.
Wenn sich also herausstellt, daß eine Funktion differenzierbar ist, dann muss sie auch stetig sein. Sonst wäre sie nicht differenzierbar.
f(x)=1/x ist beides. Stetig und differenzierbar.
Im gesamten Definitionsbereich, welcher NICHT identisch mit R ist.
Für x=0 ist f(x) nicht definiert.
Stetigkeit heißt doch (wenn ich mich nicht irre), dass der linksseitige und Rechtsseitige Limes gleich sind.... Also dass lim f(x) für x->x0, x>x0 = lim f(x) für x->x0, x<x0.
Das ist hier für x0 = 0 nicht der Fall... Aber ich weiß nicht mehr, wie das genau war, wenn x0 nicht Element der Definitionsmenge ist...
Eine nicht stetige Funktion ist nicht differenzierbar. Natürlich immer an der Stelle, wo differenziert werden soll.