Kurvenanpassung durch Spline Interpolation - Mathe LK Hausarbeit?

Ich muss eine Hausarbeit über das Thema der speziellen Kurvenanpassung durch Spline Interpolation anfertigen. Ich verstehe das Thema im Großen und Ganze, nur hätte ich zu ein paar Begriffen ein paar Verständnisfragen.

Ist ein Polynom eine Summe aus der Funkion P(x)=aix^i? Von i=0 bis n, dabei n der größtmöglichste Grad ist. Also wenn n zB 2 wäre, sähe die Funktion doch wie folgt aus: P(x)=ax²+b*x+c.

Ein Spline ist, sofern ich es richtig verstanden habe, einfach nur eine Funktion die sich, stückweise, aus den Polynomen zusammensetzt? Ist es dann eine Summe an Funktionen oder wie wird das berechnet?

Die Interpolation ist doch die Aufstellung einer Funktionsgleichung auf Grundlage von bekannten Werten? Und im Zusammenhang mit den Splines wäre eine Spline-Interpolation die Aufstellung einer Funktionsgleichung von Splines?

Bei dem kubischen Spline, denke ich, handelt es sich um einen Spline dritten Grades mit einer glatten Kurve, sodass die Funktion zweimal stetig differenzierbar ist. Also, dass die Funktion differenzierbar ist, die erste Ableitung auch differenzierbar ist und die zweite Ableitung stetig ist oder wenn die Funktion und die erste Ableitung differenzierbar und stetig sind und dazu die zweite Ableitung stetig ist oder wenn alle Funktionen stetig und differenzierbar sind, gilt die Grundfunktion als zweimal stetig differenzierbar?

Dabei denke ich handelt es sich bei der Differenzierbarkeit um eine Funktion, die sich linear approximieren kann, also man die Kurve mit Geraden (und/oder Strecken (korrigieren falls falsch)) annähernd beschreiben kann.

Bei der Stetigkeit handelt es sich, meines Wissens nach, um eine Funktion, bei der der Graph durchgängig verläuft und nirgendwo "Löcher" hat.

Ansonsten verstehe ich den Vorgang nur sollte ich die Begriffe auch erklären können.

Answer 1

[PWolff]

Polynom: richtig erklärt

Spline: man spricht von einer "stückweise definierten Funktion", das ist so etwas wie f(x) = 0 für x<0 und f(x) = √x für x≥0. (Summe von Funktionen wäre so was wie f(x) = x², g(x) = x, (f+g)(x) = x² + x)

Interpolation bezieht sich auf die Berechnung/Abschätzung von Zwischenwerten. (inter = dazwischen; Abschätzung von Werten außerhalb der bekannten Datenpunkte)

Kubischer Spline: Die gesamte (stückweise definierte) Funktion muss zweimal stetig differenzierbar sein, insbesondere an den Grenzen der Teildefinitionsbereiche (oder sagt man "Definitionsteilbereiche"?) - Dein erster Erklärungsversuch der zweimaligen stetigen Differenzierbarkeit ist richtig.

Deine Erklärung der Differenzierbarkeit ist richtig, das ist aber nur für die Beweise von Bedeutung. In der Praxis schaut man, ob man die Differenzierbarkeitsregeln anwenden kann.

Unter "Löchern" kann man auch "Definitionslücken" verstehen - das ist etwas ganz anderes. Bei Stetigkeit sind "Sprünge" (Stufen) ausgeschlossen.

Woher ich das weiß: Hobby – Hobby, Studium, gebe Nachhilfe

Comments

[lRedrahl]

Erstmal danke für die Antwort.

Bei den Splines hätte ich nachträglich nochmal eine Frage, und zwar wie man es dann genau schreibt. Ich habe jetzt nochmal etwas nachgelesen und dort steht man würde es, um bei deinem Beispiel zu bleiben, wie folgt schreiben: f(x) = { 0 , für x<0 (steht oben)
                                                             √x , für x≥0 (steht unten).

Der Rest ist einleuchtend, danke dafür.

[PWolff]

@lRedrahl

Gerne!

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Ohne spezielle Software sind solche Formeln nicht ganz leicht darstellbar. Bessere Annäherung an die übliche Schreibweise:

          _
         /
        |  0    ; x < 0
f(x) = <
        |  √x   ; x ≥ 0
         \_

Answer 2

[gilgamesch4711]

  Ergänzung; abschreckendes Beispiel. Weil du selbst quadratische Polynome erwähnst. Sei

     x1 < x2 < x3   ( 1 )

   Dann forderst du

    f ( x1 ) ; f ' ( x2 ) ; f ( x3 )     ( 2 )

    Du kannst nicht drei beliebige Bedingungen fordern; ( 2 ) ist ===> schlecht konditioniert. Weil wenn x2 = aritm. mittelwert

         x2 = 1/2 ( x1 + x3 )     ( 3a )

    dann erfüllt jede Parabel von Hause aus die Mittelwertbeziehung

    f ( x3 ) - f ( x1 ) = ( x3 - x1 ) F ' ( x2 )     ( 3b )

   Überleg dir mal, was das für dier Lösbarkeit des LGS bedeutet.-

Answer 3

[gilgamesch4711]

  Ich selbst habe als Angestellter eines Welt-Elektronikkonzerns - wieso macht der auf einmal Kursivschrift? - die ===> Hermiteschen Splines nachentdeckt, die ( offiziell ) durch vier Basispolynome beschrieben werden. Stück weises Polynom heißt - die Funktion ist auf jedem Teilintervall ein Polynom.
   Der einfachste Spline ist ein Sekantenzug; Bedingung: In den  ===> Knotenist die Funktion zu interpolieren.

   An Splines kannst du - ach er hat wieder Normalschrift - die Forderung stellen, dasss sie in den Knoten höhere Ableitungen bis zur n-ten Ordnung interpolieren. Oder dass sie stetig differenzierbar sind bis zu n-ten Ordnung.

   Wichtig ist, dass das Bildungsgesetz  auf ein eindeutig lösbares LGS führt; was ich meinem Chef vergeblich klar zu machen suchte: Das z.B. B-Splines keinen ===> kompakten Träger haben; die Anzahl der Unbekannten wächst mit der Zahl der Knoten ( Der erste Punkt spürt, was bei Punkt 4 711 passiert. )

   Ich selbst fand das Lehrbuch von ===> Paddy Prenter sehr Aufschluss reich.