Differenzierbarkeit und Ableitung?
Bestimmen Sie jeweils alle Punkte x, in denen die Funktion f differenzierbar ist und berechnen Sie dort den Wert der Ableitung
Wie bestimmt man alle Punkte x, für die eine Funktion differenzierbar ist?
zu i)
f ist auf ganze R differenzierbar. (Wie kann man das beweisen?)
f' = - 2x/ e^(1+x^2)
2 Antworten
i) f ' existiert für alle x, daher f(x) differenzierbar, wobei f '(x) = -2x * e^(1/(1+x²)) / (1+x²)²
ii) f(x) ist differenzierbar weil f ' existiert für alle x im Definitionsberech ....ausrechnen oder weil zusammengesetzt aus im Definitionsbereich differenzierbaren Funktionen und Nenner ungleich Null
iii) für alle einzelnen Funktionen existiert die Ableitung im Definitionsbereich bzw. sind zusammengesetzt aus im Definitionsbereich differenzierbaren Funktionen, daher einzeln differenzierbar. Nun nur noch die Ableitungen an den Intervallgrenzen prüfen ... müssen gleich sein, z.B.:
a '(x) = (x³+x+1/2) ' = 3x² + 1
b '(x) = 1/2 * (1+x) ' = 1/2
Intervallgrenze x=0:
a '(0) = 1
b '(0) = 1/2
die Ableitungen stimmen an der Stelle x = 0 nicht überein daher ist f an der Stelle x = 0 nicht differenzierbar
ebenso an der Intervallgrenze x = 1 überprüfen ...
und für x = 1 hast du ja e^(1/0) also ist es da zb nicht diffbar