Woran erkennt man, dass ein Punkt einer Funktion keinen Grenzwert hat?
Also ich weiß, dass man die Ableitung einer Funktion nur erstellen kann, wenn die Funktion differenzierbar ist, dass heißt wenn ein Grenzwert vorhanden ist , also es genau eine Tangente gibt, Aber woran erkennt man einen Punkt der KEINEN Grenzwert hat ?
PS Bitte löscht die Frage nicht..
6 Antworten
Das erkennst du daran, dass du irgendwo durch einen Ausrduck teilst, der dort 0 ergeben kann. Beispiel: Bei f(x)=1/(x-2) teilst du für x=2 durch null, also ist f(x) an der Stelle x=2 nicht differenzierbar, hat also keine Ableitung.
Weiterhin ist die Wurzelfunktion nur für nichtnegative Werte definiert. Beispiel: Bei g(x)=sqrt(x) ist g(x) für x<0 nicht definiert und damit nicht differenzierbar.
Außerdem: Wenn in der Formel Beträge genutzt werden, durch die der entsprechende Ausdruck immer positiv wird. Beispiel: Bei h(x)=|x| kannst du bei x=0 nicht sagen, ob der Graph steigt oder fällt, also ist h(x) für x=0 nicht differenzierbar.
Dann gibt es noch den Logarithmus: Der Logarithmus ist nur für positive Werte ungleich 1 definiert. Beispiel: i(x)=ln(x)=log(e)(x) ist nur für positive x ungleich 1 definiert. Also ist i(x) für x<=0 sowie für x=1 nicht differenzierbar.
Der Logarithmus ist zudem nur für positive Basen definiert. Beispiel: j(x)=log(x)(2) ist nur für positive x definiert. Also ist j(x) für x<=0 nicht definiert.
Gib außerdem acht bei Trigonometrischen Funktionen, aber das ist mit zu mühsam, hier alle durchzugehen; du solltest inzwischen einen guten Eindruck gewonnen haben :)
Ich denk mal, damit hätt ich alles beisammen^^
Es gibt da irre Dinger; die ===> Kochsche Schneeflockenkurve. Eine Funktion, die überall ===> stetig, aber nirgnds differenzierbar ist. Wir wissen sogar, dass eine Funktion auf einem Interrvall nuir dann monoton sein kann, wenn sie f.ü. differenzierbar ist.
Die Menschheit brauchte JAHRTAUSENDE , um da durch zu steigen. Die ersten verlässlichen Fassungen dieser Theorie sind im Übrigen nicht wesentlich älter als 1890.
Eure Lehrer tun immer so, als sei " eben mal alles grade ganz einfach " ...
Aber woran erkennt man einen Punkt der KEINEN Grenzwert hat ?
diese Frage resultiert anscheinend aus dem Unverständnis der Differenzierbarkeit, was man am Satz
wenn die Funktion differenzierbar ist, dass heißt wenn ein Grenzwert vorhanden ist
erkennen kann.
Diese Aussage ist so falsch, denn an einer Stelle können durchaus alle einseitigen Grenzwerte existieren. Die Betragfunktion x-->|x| hat an der Stelle 0 den linken sowie den rechten Grenzwert. Auffällig ist allerdings: die beiden sind verschieden!
Die Differenzierbarkeit einer Funktion f: R--R bedeutet, dass sowohl der linke als auch der rechte Grenzwert existieren UND die beiden gleich sind! Dann lässt sich auch die Tangente anlegen.
Sollte eine stetige Funktion an einer Stelle verschiedene Grenzwerte haben, so ist sie dort nicht differenzierbar.
Es gibt durchaus Fälle, wo kein einziger Grenzwert existiert. Ein Beispiel dafür ist die Dirichlet-Funktion
Überprüfe, ob der links- und rechtsseitige Grenzwert lim (x -> a) (f(x) - f(a)) / (x-a) an der fraglichen Stelle a gleich ist, siehe
http://www.klett.de/web/uploads/pondus_pdf/732760_LS11_BY_036_037.pdf
Wenn eine Funktion an einer Stelle zB nicht stetig ist, kann sie dort auch nicht differenzierbar sein !
