Quadratische Funktion aus 2 Punkten und einer Tangente aufstellen
Hallo Ich steh gerade bei einem Mathe Beispiel ziemlich auf der Leitung. Ich habe von einer Funktion die Nullstelle N (4.5/0) einen Punkt P (2.25/1.875) und eine Tangente. Es gibt noch eine weitere Angabe: Eine andere Funktion und die gesuchte Funktion haben im Punkt P eine gemeinsame Tangente ( ist die gegebene Tangente) Diese Tangente habe ich mir schon mit der ersten Ableitung der anderen Funktion berechnet: 1. Ableitung 2/3 ×x -2 Tangente y=1×x+0.38 Damit man eine quadratische Funktion aufstellen kann brauch ich ja 3 Punkte, die ich dann in ein Gleichungssystem mit y=a×x^2+b×x+c Wie stelle ich die Funktionsgleichung der Funktion jetzt mit diesen 2 Punkten und der Tangente auf? Danke schon mal im Vorhinein
2 Antworten
Nun, durch die Ableitung der anderen Funktion kennst du insbesondere die Steigung der Tangente im Punkt P, also an der Stelle x = 2,25. Allerdings erhalte ich für die Steigung der Tangente an dieser Stelle den Wert - 0,5 und nicht den Wert 1, wie du ihn berechnet hast:
( 2 / 3 ) * 2,25 - 2 = -0,5
(vorausgesetzt, dass du die Ableitung der anderen Funktion richtig berechnet hast)
Diese Steigung soll laut Aufgabenstellung auch die gesuchte Funktion im Punkt P haben. Also setze die Ableitung der gesuchten Funktion an dieser Stelle x = 2,25 gleich dieser Steigung -0,5:
f ' ( x ) = 2 * a * x + b = -0,5
mit x = 2,25:
2 * a * 2,25 + b = - 0,5
<=> 4,5 a + b = - 0,5
Mit dieser Gleichung und den beiden anderen Gleichungen, die sich durch Einsetzen der Koordinaten der gegebenen Punkte in die allgemeine Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion ergeben, hast du nun ein Gleichungssystem aus drei Gleichungen mit den drei Unbekannten a, b und c.
Löse dieses Gleichungssystem und setze die gefundenen Werte von a, b und c in die allgemeine Funktionsgleichung ein. So erhältst du die gesuchte Funktionsgleichung.
Zur Kontrolle:
Die gesuchte Funktion lautet:
f ( x ) = ( - 4 / 27 ) x ² + ( 1 / 6 ) x + ( 9 / 4 )
f ist die gesuchte funktion und f '(2,25)=1 weil Steigung der tangente (wenn sie richtig berechnet wurde) =1 ist