Quadratische quadratische Funktionen Nullstellen bestimmen?
An alle Mathe Profis. Wenn einer vielleicht fünf oder zehn Minuten Zeit hätte würde er mir einen riesen Gefallen wenn er von dem Blatt was ich als Bild als Anhang hinzugefügt habe die Funktionen bei Nummer 1 die Nullstellen davon ausrechnen könnte und den Rechenweg dazu angibt Punkt wenn jemand das machen könnte wäre ich gerettet😂👍
4 Antworten
a)
f(x)=x³-3x²
[x² ausklammern]
=x²(x-3)=x·x·(x-3)
[Ein Produkt ist genau dann 0, wenn mindestens ein Faktor 0 ist. Für die einzelnen x ist das bei x=0 und für (x-3) bei x=3 der Fall]
Somit sind die Nullstellen x=0 und x=3 (die 0 ist doppelt)
b)
Das Produkt ist 0, wenn ein Faktor 0 ist.
Die Faktoren sind: Faktor 1:x²-3x+2 und Faktor 2: x-2
Somit können wir auch die Nullstellen der einzelnen Teilfunktionen suchen:
x-2=0
<=> x=2
und
x²-3x+2=0
[p-q-Formel anwenden]
<=> x=1,5±Wurzel(1,5²-2)
<=> x=1,5±Wurzel(2,25-2)
<=> x=1,5±Wurzel(0,25)
<=> x=1,5±0,5
<=> x=1 ∨ x=2 [das ∨ bedeutet oder und ist kein kleines v]
Insgesamt hat man somit die Nullstellen 1 und 2 (die 2 ist doppelt)
c) Um die p-q-Formel anwenden zu können, braucht man eine quadratische Funktion. Man kann x² durch z substituieren (ersetzen) - x hoch 4 wird dann natürlich z hoch 2; dann kann man dafür mit der p-q-Formel die Nullstellen suchen:
z²-5z+4=0
<=> z=2,5±Wurzel(2,5²-4)
<=> z=2,5±Wurzel(6,25-4)
<=> z=2,5±Wurzel(2,25)
<=> z=2,5±1,5
<=> z=1 ∨ z=4
[wir wollen aber eigentlich x und da z=x² gilt, müssen wir noch die zugehörigen x finden]
z=1
<=> x²=1
[Wurzel ziehen]
<=> |x|=1
[die Betragsstriche auflösen]
<=> x=-1 ∨ x=1
Analog für z=4:
z=4
<=> x²=4
[Wurzel ziehen]
<=> |x|=2
[die Betragsstriche auflösen]
<=> x=-2 ∨ x=2
Somit ergeben sich insgesamt die Nullstellen -2, -1, 1 und 2
d)
Für die p-q-Formel brauchen wir wieder eine quadratische Gleichung. Also sollte man x ausklammern (somit erhält man die Lösung x=0):
-0,5x³+x²-0,5x=0
<=> x(-0,5x²+x-0,5x)=0
[Jetzt mit -2 multiplizieren, damit die -0,5 vor x² verschwindet und man die p-q-Formel Anwenden kann]
<=>x(x²-2x+x)=0
[x als Lösung rausziehen]
<=>x²-2x+x=0 ∨ x=0
[p-q-Formel anwenden]
<=> x=1±Wurzel(1²-1) ∨ x=0
<=> x=1±Wurzel(1-1) ∨ x=0
<=> x=1±Wurzel(0) ∨ x=0
<=> x=1±0 ∨ x=0
<=> x=1 ∨ x=0
Somit hat man die Nullstellen 1 und 0 (1 ist doppelt)
e)
Einfach mit p-q-Formel
-2,2x²+x-3,6=0
[durch -2,2 teilen, damit die -2,2 vor x² verschwinden]
<=>x²-5/11x+18/11=0
[5/11 heißt 5 Elftel und 18/11 heißt 18 Elftel]
<=>x=5/22±Wurzel((5/22)²-18/11)
<=>x=5/22±Wurzel(25/484-18/11)
<=>x=5/22±Wurzel(-767/484)
[Da man von einer negativen Zahl keine Wurzel ziehen kann, gibt es keine 0-Stellen - also bildlich: Der Graph schneidet nicht die x-Achse.]
Für den unwahrscheinlichen Fall, dass ihr komplexe Zahlen verwendet, wäre es natürlich erlaubt und das Ergebnis wäre
x = 5/22 - Wurzel(767)i/22 ∨ x = 5/22 + Wurzel(767)i/22
Wenn du es nicht selbst machst, wirst du es nie lernen! Es ist die gleiche Aufgabe wie letztens. Wir geben nur Anregungen!
Nullstellen ist y = 0 setzen! Für a) 1x ausklammern 1. Nullstelle, weiter pq-Formel
b) 2. Nullstelle ist x=2, denn 2-2 = 0 als Faktor!
c) x² als u substituieren, dann u² -5u + 4 mit pq-Formel und Ergebniss x² ersetzen!
d) wie a) und f) gleich pq-Formel
Symmetrie gibt es nur für alles gerade oder alles ungerade Exponenten!
a) x² ausklammern dann Nullproduktsatz (NPS)
b) NPS und pq-Formel
c) Substitution u=x² und pq-Formel
d) x ausklammern dann NPS und pq-Formel
sonst nachfragen.
Zum Rechnen selbst bin ich zu faul, aber ich kann dir die Rechenwege kurz beschreiben:
Zu a): x² ausklammern, dann Satz vom Nullprodukt.
Zu b): Satz vom Nullprodukt, dann pq-Formel.
Zu c): z = x² substituieren, dann pq-Formel.
Zu d): -1/2 * x ausklammern, dann Satz vom Nullprodukt, dann pq-Formel.
Zu e): Gleichung durch (-2,2) dividieren, dann pq-Formel.
Nullproduktsatz? NPD? Aber danke schonmal