vollständige Produktform vom kubischen Polynom ermitteln, wie?
Die Herangehensweise der Lösung ist ne ganz andere als meine. Ich habe als erstes die Polynomdivision gemacht, dann die Nullstellen über die quadratische Funktion mit Hilfe der quadratischen Ergänzung gemacht. Nun habe ich in den Lösungen ne ganz andere Herangehensweise gesehen, bei der ich mir nicht sicher bin, ob ich die ganz verstanden habe und frage mich, wie man mit solchen Aufgaben anfängt zu arbeiten.
Bei einem kubischen Polynom kann es entweder drei oder eine Nullstelle geben, da die quadratische funktion, die sich ergibt, entweder irreduzibel ist, oder nicht, dachte ich.
In der Lösung sind zwei Nullstellen.
4 Antworten
Nun habe ich in den Lösungen ne ganz andere Herangehensweise gesehen, bei der ich mir nicht sicher bin, ob ich die ganz verstanden habe und frage mich, wie man mit solchen Aufgaben anfängt zu arbeiten.
Fall 1: Kein konstantes Glied ---> Ausklammern von x führt schneller zum Ziel ( und x=0 bekommt man als eine Lösung quasi "geschenkt").
Fall 2: Wenn raten einer Nullstelle möglich ---> Polynomdivsion. Ansonsten helfen Cardanische Formeln (keine Schulmathematik) oder numerische Verfahren.
In der Lösung sind zwei Nullstellen.
Nein. Mit der Vielfachheit 2 der Nullstelle bei x=1 sind es 3.
Grundsätzlich ist der Form einer quadratischen Gleichung ax^3 + bx^2 + cx + d = 0, wobei der Wert von a nicht 0 ist und a, b, c, d Konstanten sind. Dafür gibt es drei Wege, wie Du eine kubische Formel lösen kannst.
- Wenn die Gleichung im Form von ax^3 + bx^2 + cx ist, musst Du einfach x davon ausklammern und die Gleichung lösen, als ob es eine, quadratische Gleichung wäre. Nachdem Du den Wert von x ausgeklammert hast, bekommt man danach eine " automatische " Nullstelle von x = 0.
Auch wenn Du Dir überlegst, die innere, quadratische Funktion zu berechnen, erhältst Du danach die folgenden Nullstellen :
2. Bei Gleichungen im Form von ax^3 + bx^2 + cx + d ist es ja anders. Zum Lösen musst Du entweder Polynomdivision nutzen, wobei Du eine Zahl " k " in die Funktion P(x) hinzufügen, bzw. raten musst, damit der Wert von P(k) 0 ist. Dann dividierst Du die Gleichung durch ( x - k ) und dann faktorierst Du die übrige, quadratische Gleichung.
Wäre es dabei nicht möglich, diese Methode zu nutzen, kannst Du die cardanische Formel oder kubische Formel nutzen, welche keine Schulmathematik sind. Trotzdem funktioniert die cardanische Formel nur, wenn die Gleichung im Form von x^3 + ax + b ist. In diesem Fall wäre die Formel so :
Außerdem hat eine kubische Gleichung i. d. R. drei Nullstellen. Nur wenn die einzige Lösungen davon x = 0 und x = 1 ist, heißt es nicht, dass es nur zwei Nullstellen hat, sondern drei. Trotzdem ist die Vielfachheit der Nullstelle x = 1 zwei, was ein Nachweis dafür ist, weshalb alle, kubische Gleichungen drei Lösungen haben. :))
Alles Gute für Dich. 🤗
Ein kubisches Polynom ist eine Rechnung mit x, die so aussieht: ax^3 + bx^2 + cx + d. Manchmal will man wissen, welche Zahlen man für x einsetzen kann, damit die Rechnung Null ergibt. Das nennt man die Nullstellen des Polynoms. Es gibt verschiedene Wege, um die Nullstellen zu finden. Hier sind 3 davon:
- Der erste Weg ist, eine Nullstelle zu raten oder zu suchen. Zum Beispiel kann man ausprobieren, ob x = 0 oder x = 1 oder x = -1 eine Nullstelle ist. Wenn man eine Nullstelle gefunden hat, kann man das Polynom durch (x - Nullstelle) teilen. Das gibt eine einfachere Rechnung mit x, die man mit einer Formel lösen kann. Diese Formel heißt PQ-Formel oder quadratische Ergänzung. Dieser Weg ist aber nicht immer einfach, weil man nicht immer eine Nullstelle raten oder finden kann.
- Der zweite Weg ist, das Polynom in eine andere Form zu bringen, die keine bx^2 hat. Das macht man, indem man x durch etwas anderes ersetzt. Zum Beispiel kann man x durch u - a/3 ersetzen, wobei a der Buchstabe vor dem x^2 ist. Dann bekommt man eine Rechnung mit u, die so aussieht: u^3 + pu + q = 0. Diese Rechnung kann man mit einer anderen Formel lösen. Diese Formel heißt Cardanische Formel. Diese Formel gibt drei mögliche Zahlen für u an, die man dann wieder in x umwandeln kann. Die Cardanische Formel benutzt aber etwas Kompliziertes, das Casus irreducibilis heißt. Das bedeutet, dass man die Zahlen für u nicht einfach mit Wurzeln ausrechnen kann, obwohl sie ganz normale Zahlen sind.
- Der dritte Weg ist, das Polynom mit Hilfe von Vieta-Formeln zu lösen. Diese Formeln sagen uns etwas über die Beziehung zwischen den Buchstaben und den Nullstellen des Polynoms. Wenn man weiß, wie viel die Nullstellen zusammen ergeben und wie viel sie malgenommen ergeben, kann man sie mit den Vieta-Formeln ausrechnen. Um das herauszufinden, kann man eine andere Rechnung aufstellen, die nur den ersten und den letzten Teil des Polynoms hat. Zum Beispiel: ax^3 + d = 0. Diese Rechnung hat entweder eine reelle oder zwei komplexe Lösungen, die man wieder mit einer Formel finden kann. Diese Formel ist die gleiche wie beim ersten Weg: PQ-Formel oder quadratische Ergänzung. Dann kann man diese Lösungen benutzen, um die Summe und das Produkt der Nullstellen zu bestimmen.
Das ist kein Polynom, sondern ein Term. Ein Polynom ist eine Funktion.
Ein Term ist ein einzelner Ausdruck, der aus Variablen, Konstanten und Exponenten besteht, die mit mathematischen Operationen wie Multiplikation und Division verbunden sind. Ein Term kann auch eine Konstante sein, wie z.B. 5 oder -3.
Eine Funktion ist eine Regel, die jedem Eingabewert einen Ausgabewert zuordnet. Eine Funktion kann aus mehreren Termen bestehen, die mit Addition oder Subtraktion verbunden sind.
Eben. Und eine Funktion enthält ein "=". Du brauchst mir nicht die Fehler die ChatGPT macht auch noch von ChatGPT erläutern lassen.
Du hast zwar richtig (wenn auch unnötig) quadratisch ergänzt, aber danach völlig falsch weiter gerechnet. Bitte lass die -5 ausserhalb der Klammer stehen und versuche noch mal die quadratische Ergänzung dann nach 0 aufzulösen. Bitte beachte dass das nicht wirklich erforderlich ist, da du wie in der Musterlösung bereits geschrieben sofort in der Ursprungsfunktion ein x ausklammern kannst und damit die erste Lösung x1 = 0 hast. Die beiden anderen Nullstellen siehst du dann sofort da nach dem Ausklammern ein Binom vor liegt. Das Polynom hat drei Nullstellen, denn eine von den beiden Nullstellen ist doppelt.
jetzt habe ich richtig gerechnet und x = 1 und x = 0 rausbekommen also habe ich die Produktform f(x)=-5(x-0)(x-0)(x-1), weil ich durch ausklammern am Anfang schon für x1=0 rausbekommen habe. Aber wenn ich mir die Lösung angucke gibts x=0 und x=1, wobei x=1 die doppelte Nullstelle ist und nicht x=0.
1 mal x ausgeklammert, 0 bekommen. 2 mal x Werte bekommen durch quadratische Ergänzung und nach null umstellen, unzwar die Werte 1 und 0. Somit habe ich die Werte x1=0, x2=0 und x3=1. Lösung sagt (x-1)^2 und x=0, also x1=0 x2=1 und x3=1. Wobei ich auch nicht weiß, welchen richtigen Index man für welchen x-Wert setzt.
Das hat ChatGPT mal wieder schön formuliert.
Das ist kein Polynom, sondern ein Term. Ein Polynom ist eine Funktion.