Polynom mit vorgegebener Nullstelle?
Ich habe nur vorgegeben bekommen, dass es sich um eine Polynomfunktion 3. Grades handelt, mit genau einer Nullstelle bei x=2.
Die Lösung laut dem Mathebuch ist "f(x)=x³-8", was mache ich falsch, wie kann ich das richtig berechnen?
3 Antworten
Was du falsch machst ist das du statt dessen eine dreifache Nullstelle berechnest. Die Anweisung ist aber "einfache Nullstelle". Die erhält man indem man folgendes berechnet
und dabei a und b so wählt dass die quadratische Gleichung
x² + a*x + b = 0
keine reelle Lösung hat.
In der Musterlösung wäre dies a = 2 und b = 4, es gibt aber einen Haufen anderer a und b die die Bedingung erfüllen.
Das mag sein. Deshalb habe ich dir den Lösungsweg ya aufgeschrieben.
a = 2 und b = 4 kommt aus aus der Musterlösung. Jeder Wert für b, der größer als 4 ist tut es auch. Denn alle diese Werte erfüllen das Kriterium das p(x) = x^2 + a*x + b keine reellen Nullstellen hat. Schau dir die Lösungsfomel für die Nullstellen noch mal an.
Es GIBT keine eindeutige Lösung. Wie sieht die pq-Formel aus?
was wäre die Formel für eine Polynomfunktion 3. Grades mit 2 Nullstellen?
Eine solche Funktion kann es nicht geben. Es kann lediglich sein das der abdividierte quadratische Term eine doppelte Nullstelle hat. Z.B. hat
f(x) = (x -2)(x² + 2x + 1)
zwei Nullstellen, eine einfache bei x = 2 und eine doppelte bei x = -1 (löse das Binom rückwärts auf).
Nebenbei habe ich gerade bemerkt dass der GF Editor einen wichtigen Satz von mir unterschlagen hat, den ich in der Antwort nun nachgetragen habe.
Funktion 3. Grades bedeutet, dass das x^3 ist. Nullstelle ist ja da, wo die Funktion 0 ergibt. Also musst du dir überlegen welche Zahl du abziehen musst, wenn du 2 für x einsetzt. Also -8
Klar?
Das ist zu einfach gedacht. Der Fragesteller hat völlig recht das sich eine Funktion 3. Grades auch wie er geschrieben hat in Nullstellenform darstellen läßt und er hat korrekt eine Lösung mit einer dreifachen Nullstelle berechnet. Nur ist das nicht das was gefragt ist.
Funktion 3. Grades bedeutet, dass das x^3 ist.
Nicht ausreichend. Eine Funktion 3. Grades hat die Darstellung
f(x) = a*x³ + b*x² + c*x + d.
Deine Antwort ist auch richtig. Es gibt nicht nur eine Funktion, die zu den Kriterien passt. Die Lösung im Buch ist eine passende Funktion. Deine aber genau so. Wenn du also echt nur diese beiden Kriterien erfüllen musst, hast du alles richtig gemacht ; )
Danke! Warum ist b = 4, ist b = 2×a oder wo kommt die 4 her?