Was bedeutet bei der Ableitung, ob eine Funktion differenzierbar ist oder nicht?
2 Antworten
Differenzierbarkeit bedeutet erstmal nur, dass man eine Funktion ableiten kann. In der Regel kannst du jede Schulfunktion ableiten. Gerade die sogenannten ganzrationalen Funktionen. Also Funktionen mit einem ganzen Exponenten: oder auch zusammengesetze lassen sich ja einfach ableiten:
Falls du das noch nicht hattest, keine Sorge, diese Beispiele sollen nur zeigen, dass jede Funktion mit "x hoch einer geraden Zahl" ableitbar sind.
--------------------------------------
Jetzt gibt es manchmal aber auch komische Funktion, meist das beste Beispiel, dass zwei Halbgerade mit unterschiedlichen Steigungen aneinander heften. (siehe Bild für so etwas).
Die sind nicht differnzierbar. Warum? Dafür gibt es den sogenannten Differnzialquotienten. Keine Sorge der ist in den meisten Bundesländer nicht Abi relevant, er soll differnzierbarkeit erklären.
Basically gilt: Wenn auch Links und Rechts Richtung an einen Punkt nicht die selbe Steigung exisitert, dann exisitert an der Stelle keine Ableitung. Und wenn schon eine Stelle keine Ableitung hat, hat die Funktion keine Ableitung.
Im Bild bei dem Beispiel wäre an der Stelle -2 keine Differnzierbarkeit, da dort von links und rechts unterschiedliche Steigungen exisiteren.
Fun Fact: An jeder anderen Stelle ist diese Funktion schon differnzierbar. Zum Beispiel an der Stelle 0, wo von links und rechts gesehen, die Funktionen "nach oben rechts steigt".
P.S. Falls die Formel im Bild nicht eine ist, die du kennst, keine Sorge. Jeder macht den Differnzialquotienten anders und wie gesagt ist der nicht Abirelevant
Da ich das in einen anderen Kommentar sehe: Der Grenzwert ist auch das mit aus beiden Richtungen sich einem Punkt annähern. So wie es dort an der Stelle -2 von links und rechts gemacht wird und dort nicht die selbe Steigung gibt
Kp, bin halt ein Masochist dem Mathe Spaß macht xd Helfe also gerne
Differenzierbar bedeutet, dass die entsprechende Funktion eine Ableitung existiert
Danke :) Aber ist nicht jede Funktion ableitbar.
Und was hat die ableitung mit dem grenzwert zu tun?
Nein,zum Beispiel ist die Betragsfunktion (f(x)=|x|) im Nullpunkt definiert, ist dort aber nicht differenzierbar.
Danke ☺