Wie zeige ich, dass eine Funktion in einem Intervall differenzierbar ist?
Hallo,
gegeben ist die Funktion f(x) = sqrt( 2*x + 3 ) - 1
Ich soll mit Hilfe der Definition der Ableitung zeigen, dass die Funktion in dem Intervall: [ - 3/2 ; +∞ [ differenzierbar ist .
Wir haben die Ableitung so definiert: ( lim x→x * ) [ f(x) - f(x *) ] / [ x - x *]
Damit weise ich ja aber nur die Differenzierbarkeit in dem Punkt x * nach. Wie kann ich sie für das gesamte Intervall nachweisen?
Viele Grüße
4 Antworten
Du musst zeigen, dass für jedes x in dem Intervall der obige Grenzwert existiert.
Das ist richtig, deshalb würde ich vorschlagen, dass du es so probierst wie iokii schon gesagt hat.
Ich verrate dir mal einen Standardtrick, den man immer wieder mal gut gebrauchen kann, auch hier wenn ich mich nicht vertue.
Erweitere geschickt, sodass du die 3. binomische Formel anwenden kannst.
So kannst du schon mal im Zähler die Wurzeln loswerden. Vielleicht kommst du dann schon weiter.
Der Tipp hat mir insofern gut weitergeholfen, dass ich jetzt mit dem Differentialquotienten auf die richtige Ableitung komme.
Ich frage mich nur, ob ich die damit auch die Aufgabe richtig beantwortet habe.
Äh, was war Differentialquotient noch mal?
Ist das nicht genau die Formel für die Ableitung die du da oben angegeben hast?
Wenn du einfach den Grenzwert da oben berechnet hast, für ein allgemeines x* aus dem gegebenen Intervall, dann hast du die Aufgabe korrekt gelöst, weil du damit gezeigt hast, dass der Grenzwert für alle x* in dem Intervall existiert.
Somit ist die Funktion an allen Stellen des Intervalls differenzierbar.
Wegen √x - √y = (x –y) / (√x + √y) gilt
f(x) – f(x*) = 2(x - x*) / (√(2x+3) + √(2x*+3)) folglich
f(x) – f(x*) / (x – x*) = 2 / (√(2x+3) + √(2x*+3))
Läßt man x gegen x* gehen, so geht der Ausdruck wegen der Stetigkeit für x>-3/2 gegen1 / √(2x*+3)Womit natürlich gleichzeitig auch die Existenz dieses Grenzwertes bewiesen ist.
Du setzt für x* erst mal keinen Wert ein, und schaust dann, ob du den Grenzwert in abhängigkeit von x* angeben kannst.
f´(x) = 1 / √(2x + 3) existiert nicht für x = - 1,5 und auch nicht der Grenzwert für
x → - 1,5. Also ist f(x) nur für x > - 1,5 diff.bar, bzw (- 1,5 ; ∞) bzw. ] - 1,5 ; ∞[
-1,5 müsste doch inbegriffen sein, weil √0 definiert ist.
f(-1,5) = -1 , oder irre ich mich?
f ist dafür definiert aber nicht diffbar.
Setz mal -1,5 in die Ableitung ein, dann siehst du schon was schief geht.
Oh du redest von der Ableitung, dann hast du natürlich recht.
Wie kann ich das machen? Es gibt ja unendlich viele x-Werte in dem Intervall.