Differenzierbarkeit von Funktionen aufgabe?
Untersuchen Sie zunächst anhand des Graphen und dann anhand
der Definition, ob die Funktion f : R −→ R mit f (x) = |x2− x − 12|
a) . . . bei 4 differenzierbar ist.
b) . . . bei 5 differenzierbar ist.
Kommt bei a) als Antwort:
f‘(4) = 8 (für x>= 4)
f‘(4) = 0 (für x < 4)
und bei b)
f‘(5) = 12 ( für x >= 5)
f‘(5) = 0 (für x < 5 ) raus?
1 Antwort
Hallo,
hier erstmal Graph(f):
Die problematischen Stellen für die Differenzierbarkeit von f liegen also
bei x = 4 und x = -3 .
Die Nullstellen von x² - x - 12 liegen bei x = 4 und x = -3, also kann man
die Funktion f auch so schreiben:
f(x) = | (x-4)(x+3) |
Für ein h > 0 kannst man die Ableitung von f bei x = 4
mit dem Grenzwert des Differenzenquotienten berechnen:
Ist x ≥ 4 , dann gilt f(x) = x^2 - x - 12 , also gilt
[ f(4+h) - f(4) ] / h = [ f(4+h) - 0 ] / h = [ (4+h)² - (4+h) - 12 ] / h =
(4² + 8h + h² - 4 - h - 12) / h = (h² + 7h) / h = h + 7
Für h -> 0 geht der Differenzenquotient gegen 7, also gilt f'(4) = 7
Ist x < 4 dann gilt f(x) = - (x² - x - 12) = -x² + x + 12
Also gilt
[ f(4-h) - f(4) ] / (-h) = [ -(4-h)² + (4-h) + 12 - 0 ] / (-h) =
[ -(16 - 8h + h²) + 4 - h + 12 ] / (-h) = [-h² + 7h) / (-h) =
[ (-1)(h²-7h) ] / (-h) = h - 7
Für h -> 0 geht der Differenzenquotient gegen -7 , also f'(4) = -7
Für x > 4 , also in einer nahen Umgebung von x = 5 hat Graph(f) keinen Knick.
Für solche x ist f(x) = x² - x - 12 , also f'(x) = 2x - 1
also f'(5) = 2•5 - 1 = 9
Gruß
