Differenzierbarkeit von sin(1/x) und xsin(1/x)?
Hallo,
kann mir bitte jemand sagen ,
wieso, wenn ich x-->0 laufen lasse bei sin(1/x) diese funktion dann nicht differenzierbar ist aber wenn ich xsin(1/x) habe ,diese schon differenzierbar ist?
ich verstehe das sin 1/0 nicht geht aber wieso 0 * 1/0 dann differenzierbar ist verstehe ich nicht genau
3 Antworten
Das brauchst du in diesem Fall auch nicht zu verstehen, weil es in diesem Fall nicht stimmt.
Ansonsten geht es beim Differenzieren ja immer um Grenzwertbetrachtungen, d. h. "0/0" ist kein Term, sondern ein Ausdruck für einen Typ von Grenzwert.
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f(x) = sin(1/x) für x ≠ 0 und f(x) = 0 für x = 0 ist ein (Standard-)Beispiel für eine Funktion, die bei x = 0 nicht stetig und nicht stetig fortsetzbar ist. (In jedem punktierten Intervall um 0 herum wird jeder Wert zwischen -1 und +1 unendlich oft angenommen.)
f(x) = x sin(1/x) für x ≠ 0 und f(x) = 0 für x = 0 ist ein (Standard-)Beispiel für eine Funktion, die bei x = 0 stetig, aber dort nicht differenzierbar ist.
x² sin(1/2) für x ≠ 0 und f(x) = 0 für x = 0 ist ein (Standard-)Beispiel für eine Funktion, die bei x = 0 differenzierbar, aber nicht stetig differenzierbar ist.
Der Grenzwert sin(1/x) für x->0 existiert nicht. Betrachte die Folge xn = 1/(2 * pi * n), welches wirklich eine Nullfolge ist, nun gilt
sin(1/xn) = sin(2 * pi * n) = 0 für alle n.
Andereseits betrachte xn = 1/(2 * Pi * n + pi/2), auch eine Nullfolge, aber
sin(1/xn) = sin(2 * pi * n + pi/2) = sin(pi/2) = 1 für alle 1.
Man sieht, dass der Grenzwert sin(1/x) nicht existiert.
Allerdings ist x * sin(1/x) stetig, denn | x * sin(1/x) | <= |x * 1| = |x|, und für x ->0 ist dies also eine Nullfolge, also ist lim (x * sin(1/x)) = 0 für x -> 0.
Nun die Differenzierbarkeit von x * sin(1/x) bei x = 0
x * sin(1/x) / x = sin(1/x), und dieser Grenzwert existiert ja nicht.
x^2 * sin(1/x) ist aber bei x = 0 differenzierbar, denn
x^2 * sin(1/x) / x = x * sin(1/x) -> 0 für x -> 0, wie ja schon oben gezeigt.
Division durch 0 ist zwar nicht möglich, aber multiplizierst du 1/0 mit 0, erhälst du 0. Du musst hier sozusagen nicht mit 0 dividieren, sondern umgehst du das, indem du gleich mit 0 multiplizierst
aber auch wenn ich im taschenrechner 0* (1/0) eingebe kommt error^^?
Vermutlich weil der Taschenrechner das zeitgleich rechnet und sozusagen nichts "bevorzugt"? Ach, keine Ahnung :D
Danke für die Antwort, diese Bespiele habe ich auch bei mir ,die ich quasi beweisen soll.
ich verstehe nun immer noch nicht ,wenn ich zb xsin(1/x) habe und gucken soll ob es bei 0 differenzierbar ist, muss ich doch xsin(1/x) gegen 0 laufen lassen x wird zu null okay aber sin(1/x) da kann ich doch keine 0 einsetzten ?