Differenzierbarkeit von sin(1/x) und xsin(1/x)?
Hallo,
kann mir bitte jemand sagen ,
wieso, wenn ich x-->0 laufen lasse bei sin(1/x) diese funktion dann nicht differenzierbar ist aber wenn ich xsin(1/x) habe ,diese schon differenzierbar ist?
ich verstehe das sin 1/0 nicht geht aber wieso 0 * 1/0 dann differenzierbar ist verstehe ich nicht genau
3 Antworten
Der Grenzwert sin(1/x) für x->0 existiert nicht. Betrachte die Folge xn = 1/(2 * pi * n), welches wirklich eine Nullfolge ist, nun gilt
sin(1/xn) = sin(2 * pi * n) = 0 für alle n.
Andereseits betrachte xn = 1/(2 * Pi * n + pi/2), auch eine Nullfolge, aber
sin(1/xn) = sin(2 * pi * n + pi/2) = sin(pi/2) = 1 für alle 1.
Man sieht, dass der Grenzwert sin(1/x) nicht existiert.
Allerdings ist x * sin(1/x) stetig, denn | x * sin(1/x) | <= |x * 1| = |x|, und für x ->0 ist dies also eine Nullfolge, also ist lim (x * sin(1/x)) = 0 für x -> 0.
Nun die Differenzierbarkeit von x * sin(1/x) bei x = 0
x * sin(1/x) / x = sin(1/x), und dieser Grenzwert existiert ja nicht.
x^2 * sin(1/x) ist aber bei x = 0 differenzierbar, denn
x^2 * sin(1/x) / x = x * sin(1/x) -> 0 für x -> 0, wie ja schon oben gezeigt.
Das brauchst du in diesem Fall auch nicht zu verstehen, weil es in diesem Fall nicht stimmt.
Ansonsten geht es beim Differenzieren ja immer um Grenzwertbetrachtungen, d. h. "0/0" ist kein Term, sondern ein Ausdruck für einen Typ von Grenzwert.
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f(x) = sin(1/x) für x ≠ 0 und f(x) = 0 für x = 0 ist ein (Standard-)Beispiel für eine Funktion, die bei x = 0 nicht stetig und nicht stetig fortsetzbar ist. (In jedem punktierten Intervall um 0 herum wird jeder Wert zwischen -1 und +1 unendlich oft angenommen.)
f(x) = x sin(1/x) für x ≠ 0 und f(x) = 0 für x = 0 ist ein (Standard-)Beispiel für eine Funktion, die bei x = 0 stetig, aber dort nicht differenzierbar ist.
x² sin(1/2) für x ≠ 0 und f(x) = 0 für x = 0 ist ein (Standard-)Beispiel für eine Funktion, die bei x = 0 differenzierbar, aber nicht stetig differenzierbar ist.
Division durch 0 ist zwar nicht möglich, aber multiplizierst du 1/0 mit 0, erhälst du 0. Du musst hier sozusagen nicht mit 0 dividieren, sondern umgehst du das, indem du gleich mit 0 multiplizierst
aber auch wenn ich im taschenrechner 0* (1/0) eingebe kommt error^^?
Vermutlich weil der Taschenrechner das zeitgleich rechnet und sozusagen nichts "bevorzugt"? Ach, keine Ahnung :D
Danke für die Antwort, diese Bespiele habe ich auch bei mir ,die ich quasi beweisen soll.
ich verstehe nun immer noch nicht ,wenn ich zb xsin(1/x) habe und gucken soll ob es bei 0 differenzierbar ist, muss ich doch xsin(1/x) gegen 0 laufen lassen x wird zu null okay aber sin(1/x) da kann ich doch keine 0 einsetzten ?