Differenzierbarkeit ermitteln?
Wie ermittelt man, ob eine Funktion differenzierbar ist z.b. x²+ IxI oder x*IxI, was sagen die Betragsstriche in der Funktion aus, wie beeinflussen sie diese und wie erkennt man im Graphen, dass dieser differenzierbar/nicht differenzierbar ist
3 Antworten
Hallo,
eine Betragsfunktion hat oft irgendwo eine 'Knickstelle', nämlich da, wo die Werte innerhalb der Betragsstriche das Vorzeichen wechseln.
An dieser oder an diesen Stellen ist eine solche Funktion in der Regel nicht differenzierbar, weil die links- und rechtsseitigen Grenzwerte der Steigung dort nicht übereinstimmen.
Die Funktion f(x)=|x| ist zum Beispiel bei x=0 nicht differenzierbar, denn für x>=0 lautet die Funktion f(x)=x, für x<0 aber f(x)=-x, wenn man die Betragsstriche wegläßt.
Näherst Du Dich von links der 0 an, hat die Funktion die Steigung -1, näherst Du Dich von rechts, hat sie die Steigung 1. Bei der Null stoßen also zwei unterschiedliche Steigungen ohne sanften Übergang wie etwa beim Scheitelpunkt einer Parabel zusammen. Die Steigung wechselt abrupt von -1 auf 1.
Du hast also bei f(0) keine eindeutige Steigung. An dieser Stelle ist diese Funktion nicht differenzierbar; an allen anderen Stellen dagegen schon.
Herzliche Grüße,
Willy
Auch an der Stelle x=0. Links davon lautet die Funktion f(x)=-2x mit der Ableitung -2, rechts davon f(x)=2x mit der Ableitung 2. Der links- und der rechtsseitige Grenzwert stimmen nicht überein.
"Differenzierbar" bedeutet, dass die du Steigung der Funktion bestimmen kannst. Wenn sie einen Knick hat, ist das nicht möglich. Rechnerisch kannst du das bestimmen, indem du die Grenzwerte der Ableitungen recht und links des Punktes bestimmst.
Bei x*IxI existiert kein Knick, bei x²+ IxI aber schon.
Durch die Betragstriche erreichst du, dass bei entstehen von negativen y-Werten diese gekippt (positiv) gemacht werden. Dadurch hat der Graph der Funktion einen "Knick". Im Knick ist er nun nicht differenzierbar, da keine eindutig Steigung vorliegt.
Das passiert generell in den Nullstellen der Funktionsgleichung ohne Betragstriche.
Gute Antwort, aber an welcher Stelle wäre z.b. die Funktion f(x) = I2xI nicht differenzierbar im Graph? Wie liest man dies dem Graphen ab