Stetigkeit und Differenzierbarkeit,aufgaben fürs Abitur, wie löse ich sie?
Informationen die gegeben sind: für x < 1 ist eine Funktion f mit f(x)=1x+0 für x > 1 ist eine Funktion g mit g(x)=-x²+ax-1 gegeben
Untersuchen Sie, ob es einen Wert für a so gibt, dass der Graph von g sowohl sprung- als auch knickfrei an den Graphen von f anschließt.Ich habe selber eine Lösung gefunden indem ich einfach den Graphen mir per CAS- zeichnen lassen habe. Jedoch brauche ich einen Lösungsweg. Meine Lösung ist: dass man für a=-1 einsetzten sollte.
2 Antworten
es ist f(x)=1x+0
g(x)=-x^2+ax-1
f'(x)=1
g'(x)=-2x+a
nun wollen wir dass an der Stelle x=0 sowohl die funktionswerte als auch die steigungen übereinstimmen (korrekt müsste man betrachten ob die funktionswerte sich annähern wenn man von größer 1 und kleiner 1 an x=1 rangeht. lassen wir hier aber mal da es bei x=1 keine offensichtliche polstelle, irrgendwelche divisionen durch null, etc. gibt)
jedenfalls also gleichsetzen:
f(1)=g(1)
1=-1^2+a*1-1
1=a-2
3=a
das wäre der wert für a bei dem Sprungfreiheit gegeben ist.
nun zu den ableitungen:
f'(1)=g'(1)
1=-2*1+a
1=-2+a
3=a
das wäre der wert für a für knickfreiheit.
da die beiden a werte identisch sind, ist somit knick- und sprungfreiheit gegeben wenn a=3 ist :-)
timmt, das mit dem x=0 ist natürlich schwachsinn.
Es geht natürlich nur dadrum dass f nur für x<1 und g für x>1 definiert ist, von daher interessiert uns natürlich x=1.
Sprungfrei bedeutet, dass die Grenzwerte von f(x) und g(x) an der Stelle x = 1 übereinstimmen müssen.
Der Grenzwert von f(x) an der Stelle 1 ist 1 * 1 + 0 = 1.
Der Grenzwert von g(x) an der Stelle 1 ist -1² + a * 1 - 1 = a - 2.
Es soll also 1 = a - 2 sein, was a = 3 liefert.
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Knickfrei bedeutet, dass die Ableitung (welche die tangentiale Steigung angibt) übereinstimmt.
Die Ableitung von f ist konstant 1.
Die Ableitung von g ist gegeben durch g'(x) = -2x + a. An der Stelle x = 1 erhält man -2 * 1 + a = -2 + a.
Es soll also 1 = -2 + a sein, was ebenfalls für a = 3 erfüllt ist.
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Für a = 3 schließt also der Graph von g sprung- und knickfrei an den Graphen von f an.
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Ich weiß nicht, wie du auf a = -1 gekommen bist. Evtl. hast du dich in den Rechner vertippt? Oder du hast dich hier bei der Frage vertippt?
hat es einen grund dass es an der stelle x=0 sein muss?