Wie kann man am leichtesten die Stetigkeit von Funktionen berechnen?

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4 Antworten

Bei zusammengesetzten Funktionen ist immer die Grenze der einzelnen Definitionsbereiche kritisch, also da, wo die eine Teilfunktion in die nächste übergeht. Ist an diesen Grenzen der Funktionswert für beide Teilfunktionen gleich, dann ist die Gesamtfunktion in diesem Bereich stetig.

Also bei a) musst Du für beide Teilfunktionen f(0) prüfen, da bei x=0 der Übergang von der einen Teilfunktion in die andere ist.

Bei b) kannst Du bei der gebrochen-rationalen Funktion den Zähler umformen (3. Binom), dann kürzt sich der Nenner weg, d. h. Du hast hier eine behebbare Definitionslücke. Jetzt kannst Du in diese Funktion x=1 einsetzen und prüfen, ob die untere Teilfunktion f(x)=2 für x=1 diese Lücke schließt. Wenn ja, dann ist die Gesamtfunktion stetig.

Danke für die Erklärung.

Eine Frage zur b noch; meinst du ausmultiplizieren und faktorisieren zu (x-1)(x+1)/(x-1); dann wäre x-1 die behebare definitionslücke, richtig?

wenn man nun 1 einsetzt kommt 2 heraus genaus wie für die 2. "funktion" ->  beide haben, das selbe Ergebnis, daher stetig.

Eine gernerelle Frage, sobald man faktorisieren kann (egal welches binom) sollte man dies bei gebrochenrationalen machen, oder?

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@ProMaNu

richtig: (x²-1)=(x+1)(x-1). Jetzt kannst Du den Nenner (x-1) wegkürzen, d. h. Du hast an der Stelle x=1 eine behebbare Lücke mit dem Funktionswert 2. Da dieser Punkt durch die 2. Teilfunktion "ersetzt" wird, hast Du eine stetige Funktion.

Ergibt das Einsetzen der Definitionslücke in die gebrochen-rationale Funktion als Ergebnis auch für den Zähler den Wert 0 (erhälst Du also quasi "0/0"), dann zeigt das, dass Du diese "Zählernullstelle" ausklammern kannst (also Ausklammern von "x minus Definitionslücke"). Du brauchst also nicht groß rumprobieren, ob sich was faktorisieren lässt (kostet nur unnötig zeigt).

Hast Du z. B. (x²+4x+4)/(x-3) brauchst Du daraus nicht unbedingt (x+2)²/(x-3) zu machen. Ist zwar hilfreich für die Nullstellenbestimmung der Funktion, aber es ist nicht immer so offensichtlich wie in diesem Beispiel... Ich würde es "im Original" stehen lassen, und einfach den Zähler Null setzen, wenn das Ermitteln der Nullstellen ansteht.

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Nun, die Funktionen sind fast überall stetig als Verkettung stetiger Funktionen. Zu untersuchen sind also nur die Punkte x=0 bei der ersten und x=1 bei der zweiten Funktion, wo jeweils eine Unstetigkeit auftauchen könnte. Das geht so, dass man linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert an diesen Punkten ausrechnet. Beide Grenze und der Funktionswert sollten miteinander übereinstimmen, dann ist die Funktion stetig.

berechne einfach mal den funktionswert an der grenzstelle für die beiden teilfunktionen(bzw. betrachte den grenzwert dort) und wenn sie identisch sind, passt es.
Ansonsten ist es nicht stetig dort.

a) f(x)=x wenn x<=0
           x-2 sonst
kritischer wert x=0

in dem fall kannste einfach mal in beidem 0 einsetzen:
bei dem x kriegste 0
bei dem x-2 kriegste -2
sind also nicht identisch und von daher nicht stetig.

Wo du nicht einfach direkt den wert einsetzen kannst:
wenn du bspw. sowas wie 1/x hast und den kritischen wert bei x=0.
da musste dann grenzwert von positivem x gegen null und negativem x gegen null betrachten.

zur b)  f(x)=(x^2-1)/(x-1) wenn x ungleich 1
                    2 wenn x=1

hier mach ich erst mal ne vereinfachung:
(x^2-1)/(x-1) ist das selbe wie
(x+1)(x-1)/(x-1)=(x+1)

polstelle verschwunden, wir können also x=1 direkt einsetzen:
(x+1)=1+1=2

Das ist das selbe wie der funktionswert 2, passt also

Hier ist die funktion stetig an der kritischen stelle.

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