Geschwindigkeit = Strecke/Zeit

D. h. oben die y-Werte sind bereits Streckenlängen, d. h. dort wird die durchschnittliche Geschwindigkeit zwischen den Punkten P1(x1|y1) und P2(x2|y2) berechnet. Es muss im Nenner übrigen x2-x1 heißen, oder im Zähler y1-y2...

Diese Formel gilt für jede Funktion. Damit wird die mittlere Steigung zwischen 2 Punkten berechnet!

Unten geht es um das Zeitintervall von a bis b. Im Zähler ergibt das Integral die Einheit Strecke (es muss ja letztendlich Strecke/Zeit rauskommen), d. h. dort ist f(x) eine Geschwindigkeitsfunktion. D. h. unten wird die durchschnittliche Geschwindigkeit zwischen den Punkten P1(a|f(a)) und P2(b|f(b)).

a) passt

b) hier hast Du es mit der bedingten Wahrscheinlichkeit P_w(A) zu tun [Wahrscheinlichkeit für Beutel A unter der Bedingung, dass weiß gezogen wurde]

Und das ist P(A n w)/P(w). P(A n w) ist die Wahrscheinlichkeit des "Pfades" A->w, also 1/3*6/10, das durch P(w), also durch 0,4833 ergibt 0,4898.

Die Formel zur Berechnung der Fläche eines Trapezes lautet: A=1/2(a+c)*h

Entweder setzt Du zuerst die bekannten Werte ein und formst dann nach der einzig verbliebenen unbekannten Größe um, oder Du formst vorher um und setzt dann ein.

Damit Du schneller Feierabend hast, forme ich mal um...:

h=2A/(a+c)
a=(2A/h) - c
c=(2A/h) - a

Zuerst "zerlegst" Du beide Nenner in seine einzelnen Faktoren. Der Hauptnenner ist dann die "Vereinigungsmenge" dieser Faktoren, d. h. Du musst den ersten Bruch mit den Faktoren erweitern die der andere Nenner zusätzlich hat, und den zweiten Bruch mit den Faktoren, die der zweite Nenner gegenüber dem ersten nicht hat. (Vereinigungsmenge ist hier mathematisch falsch ausgedrückt - aber ich hoffe Du verstehst so besser was gemeint ist...)

Beispiel:

b1) hier hast Du links den Nenner 4b, das ist "komplett zerlegt" = 2 * 2 * b; rechts der Nenner lautet 2b², also =2 * b * b.
D. h. im linken Nenner fehlt gegenüber dem rechten einmal der Faktor b, und beim rechten fehlt gegenüber dem linken einmal der Faktor 2, d. h., wenn Du den ersten Bruch nun mit b erweiterst und den zweiten Bruch mit 2, dann lauten beide Nenner 2*2*b*b, also 4b². Dies ist dann der Hauptnenner.

Das Beispiel im Buch ist vielleicht etwas schwer nachvollziehbar, weil da "plötzlich" links mit (a-2) erweitert wurde. Das liegt daran, dass im rechten Nenner (a²-4) steht und das (3. binomische Formel) gleich (a+2)*(a-2) ist.

weiteres Beispiel:

b4) linker Nenner: 10x+10=10(x+1)=2*5*(x+1)
rechter Nenner: 5x²-5=5(x²-1)=5*(x+1)*(x-1) [wieder 3. binom. Formel]
D. h. hier musst Du den linken Bruch mit (x-1) erweitern, und den rechten mit 2. Somit ergibt sich als Hauptnenner: 2*5*(x+1)*(x-1)=10(x²-1).

2.1) Bruttolohn durch Anzahl gearbeiteter Stunden gleich Stundenlohn.

2.2) die Kirchensteuer wird von der Lohnsteuer berechnet und beträgt 9 % (keine Ahnung ob man das wissen muss... oder steht es irgendwo vorher? Fakt ist: in Bayern und Baden-Württemberg sind's 8 %, in allen anderen Bundesländern 9 %), also 9 % von 155,41 €.

2.3) der Arbeitnehmeranteil zur Krankenversicherung wird vom Bruttogehalt berechnet, also hier 8,4 % von 1.865,39 €.

Gefragt ist nach der Höhe des Ballons über dem Punkt P, d. h. Du setzt (3|6,5|h) mit der Geradengleichung gleich. Mit den Gleichungen für die x- und y-Koordinate sollte (und wird) der gleiche Wert für den variablen Geradenparameter rauskommen. Das bedeutet schon einmal, dass der Ballon tatsächlich über die Turmspitze fahren wird. Setzt Du diesen Parameter nun auch für die Gleichung der z-Koordinate ein (=Koordinate der Höhe), erhältst Du die Höhe des Ballons an dieser Stelle.

Korrekt. Mit (beliebigen) 3 der 4 Punkte spannst Du die Ebene auf (diese 3 liegen auf jeden Fall in einer Ebene) und testest dann, ob der vierte Punkt auch darin liegt.

Bei Zylinder und Prisma gilt jeweils: V=G*h.

V ist gegeben und G kannst Du leicht ausrechnen (beim Zylinder ist G sogar auch gegeben...).

Gesucht ist h, also die Formel danach umstellen: h=V/G.

V=30, also h=30/G.

Und G zu berechnen sollte kein Problem sein...

b) G=rechtwinkliges Dreieck

c) G=Prisma

d) G=Rechteck

Zuerst einmal sollt ihr ja den Flugkurs einzeichnen. Der Startpunkt B der Beobachtung ist schon eingezeichnet, fehlt nur noch der Richtungsvektor...

Wie ihr an den Einheiteneinteilungen erkennen könnt, entspricht ein diagonales Kästchen auf der x1-Achse 200 Einheiten, in x2- und x3-Richtung entspricht eine Kästchenbreite/-höhe 100 Einheiten. Ihr müsst nun von Punkt B aus den Vektor (50 -50 -25) abtragen. Nur sind diese Einheiten in den entsprechenden Richtungen bei diesen Achseneinteilungen äußerst ungenau. Da es von B aus aber mit "allen möglichen" Vielfachen dieses Vektors weggeht, macht es für den nächsten Punkt Sinn diesen Vektor mit 2 zu multiplizieren, d. h. ihr geht von B aus den Vektor (100 -100 -50) weiter, also ein halbes diagonales Kästchen nach vorne links in x1-Richtung, dann ein Kästchen nach links und ein halbes nach unten. Durch diesen zweiten Punkt zieht ihr dann die Gerade von B aus durch.

Die Geradengleichung lautet "einfach":

g: x=(-1100 1200 500) + r (50 -50 -25)

Jetzt müsst ihr prüfen, ob L ein Punkt dieser Geraden ist, also die Geradengleichung mit L gleichsetzen und für jede der 3 Koordinaten eine eigene Gleichung aufstellen und jeweils nach r auflösen. Kommt bei allen das gleiche r raus, dann liegt L auf dieser Geraden, was hier aber nicht der Fall sein wird...

Um den tatsächlichen Landepunkt P zu ermitteln, müsst ihr die x3-Koordinate der Geradengleichung gleich Null setzen und das r ermitteln. Dieses r dann in g einsetzen und so den tatsächlichen Landepunkt P ermitteln.

Zuletzt muss nun noch die Entfernung zwischen L und P ermittelt werden, d. h. ihr müsst die Länge der Geraden L-P (oder P-L, das ist natürlich egal) ermitteln und prüfen, ob diese Länge (ist in Metern) innerhalb der 20m-Toleranz liegt.

Das Wissen, dass 1/x für x->0 Richtung unendlich läuft, kann man sicher voraussetzen (genauso, dass 1/x für x->∞ gegen Null geht)!

"Mathematisch" würde ich im Nenner x ausklammern, dann den Bruch splitten und die Regel lim f(x)*g(x) = lim f(x) * lim g(x) anwenden, denn hier geht es nicht darum, dass der Nenner immer kleiner wird und dadurch der Bruch "betraglich" immer größer, sondern in welche Richtung es letztendlich geht: +∞ oder -∞.

Also:

lim 1/(x³-4x)=lim 1/[x(x²-4)]=lim 1/x * lim 1/(x²-4)

für x->0+ gilt dann: =∞ * (-1/4) = -∞

und für x->0-: =-∞ * (-1/4) = +∞.

Ich bin mir "ziemlich" sicher, dass es auf der Liste der Lehrkraft (die Du glaubst 1:1 übernommen zu haben) bei 1) und 2) jeweils f(x) und nicht (f)x heißt und y=mx+b und nicht y=my+b...

f(x) (sprich "eff von iks") steht für "Funktionswert an der Stelle x". Dieser entspricht im xy-Koordinatensystem dem Wert in Richtung der y-Achse, daher ist auch y=mx+b eine andere Schreibweise für f(x)=mx+b, d. h.: f(x)=y.

Die komplette Gleichung f(x)=mx+b bzw. y=mx+b wird Funktionsgleichung genannt. Die rechte Seite ist der Funktionsterm, das m ist die Steigung und das b der y-Achsenabschnitt, also die Stelle auf der y-Achse an der der Graph (dieser ist übrigens eine Gerade) die y-Achse schneidet.

In die Definitionsmenge kommen alle Werte, die für x eingesetzt werden dürfen (ist abhängig von der Aufgabenstellung: ist nichts vorgegeben, dann gilt der gesamte bekannte Zahlenbereich: in der Regel die reellen Zahlen IR). In die Wertemenge kommen alle Zahlen, die für f(x) bzw. y bei der gegebenen Definitionsmenge möglich sind.

f(x)=mx+b anwenden können bedeutet wohl, dass Du z. B. aus 2 gegebenen Punkten die Funktionsgleichung aufstellen kannst...

3.) bei einem Gleichungssystem hast Du es mit mehreren Gleichungen mit mehreren Unbekannten zu tun. "Linear" bedeutet dabei, dass die Unbekannten "nur" mit einfacher Potenz vorkommen, also nicht z. B. als Quadrat. Da das Thema relativ neu zu sein scheint, werdet ihr bisher wohl nur mit 2 Gleichungen und 2 Unbekannten zu tun gehabt haben.

Bezogen auf das Thema "lineare Funktionen" kann man aus zwei linearen Funktionsgleichungen ein LGS bilden, dessen eindeutiges Lösungpaar (x;y) (wenn es eines gibt), dem Schnittpunkt der beiden Geraden entspricht.

In den Funktionsterm 3x-2 setzt Du nacheinander die gegebenen x-Werte ein und rechnest so f(x), also die y-Werte aus.

Dann zeichnest Du ein Koordinatensystem, zeichnest 2 der ausgerechneten Punktepaare (x|y) ein und verbindest diese, und zeichnest über die Punkte hinaus. Somit "erwischst" Du automatisch alle errechneten Punkte und die dazwischen, die alle zu der gegebenen Funktion gehören.

Das solltest Du auch alleine hinbekommen...

a) Die "Formel" für die bedingte Wahrscheinlichkeit P_A(B) lautet:

P_A(B)=P(A n B)/P(A)

Der Zähler entspricht der Wahrscheinlichkeit der inneren Zelle (A und B), also hier 60/400 und der Nenner der Summenzelle von A, also 150/400, ergibt (60/400)/(150/400)=60/150=2/5 und P(B) ist 200/400=1/2.

Bei stochastischer Unabhängigkeit müssten beide Werte gleich sein, denn unabhängig bedeutet ja, es ist egal was zuerst passiert (A oder A-Strich), die Wahrscheinlichkeit für B ist gleich. Und das ist hier nicht der Fall.

b) bei stochastischer Unabhängigkeit gilt: P(A n B)=P(A)*P(B), also hier:

60/400=150/400*200/400

3/20=3/8*1/2

3/20=3/16, was offensichtlich nicht stimmt, somit sind A und B stochastisch abhängig.

Am Baumdiagramm erkennst Du die stochastische Unabhängigkeit daran, dass die Äste von A nach B und A-Strich nach B dieselbe Wahrscheinlichkeit haben, d. h. P_A(B)=P_A-Strich(B)=P(B). Dies hast Du mit der Rechnung bei a) geprüft/widerlegt.

Und da bei stochastischer Unabhängigkeit gilt, dass der Ast von A nach B (also P_A(B)) der Wahrscheinlichkeit von B (also P(B)) entspricht, dann muss laut der Multiplikationsregel für diesen Pfad (A/B) gelten (vorderer Ast mal hinterer Ast)=P(A)*P(B). Dies hast Du bei b) geprüft/widerlegt.

Das ist nunmal so als Aufgabe angegeben, d. h. es kommen nicht nur die ganzen Zahlen von -6 bis 6 in Frage bzgl. x²<=36, sondern alle Zahlen von -6 bis 6.

D. h. Du gibst nun keine einzelnen Elemente in geschweiften Klammern an bzgl. der jeweiligen, zu vereinenden Mengen, sondern Intervalle mit eckigen Klammern (da ist nun die Frage, von wo bis wo die beiden zu vereinenden Intervalle gehen, und ob sie offen, halboffen oder geschlossen sein müssen).

Nachtrag:

b) ist nicht korrekt: bei [-3;3] setzt man ebenfalls die reellen Zahlen an, wenn nichts vorgegeben ist. D. h. hier ist die Lösung "alle Zahlen von -3 bis 3 plus der 4 (die Zahlen -1 und 2 sind ja schon in dem Intervall enthalten), also: = [-3;3] n {4}

Zwei Vektoren verlaufen parallel, wenn sie vielfache voneinander sind.

Hier müssen also die Koordinaten von (g+h) Vielfache von (5 3) sein.

(g+h) = (4 g2) + (6 -2) = (4+6 g2-2) = (10 g2-2).

D. h. die x-Koordinate ist mit 10 das doppelte von der x-Koordinate von Vektor p. Somit muss auch die y-Koordinate das doppelte sein, d. h. es muss gelten:
g2-2=2*3 <=> g2=8.

Um das Volumen oder die Oberfläche einer Kugel berechnen zu können benötigst Du nur den Radius der Kugel. Die Formeln stehen jeweils über den Aufgaben in den gelben Kästchen.

Bei den jeweiligen Aufgaben Nr. 1 sind die Radien angegeben, d. h. Du brauchst nur das r in der Formel durch diese Radien ersetzen und das dann mit dem Taschenrechner ausrechnen.

Bei den Aufgaben Nr. 2 und 3 musst Du etwas aufpassen. Da sind die Durchmesser der Kugeln angegeben. Der Durchmesser ist das doppelte vom Radius. D. h. Du musst erst d durch 2 teilen und erhältst so den benötigten Radius r, den Du nun wieder einfach einsetzen kannst.

Generell löst man solche Aufgaben, bei denen nach gemeinsamen Punkten zweier Funktionen gefragt ist, indem man die beiden Funktionen gleichsetzt und nach x auflöst.

Bei Aufgabe c) werden sich die x'e aufheben und es bleibt in diesem Fall eine Gleichung mit einer falschen Aussage übrig (25/4=-2,5). Das bedeutet, dass es für die Ausgangsgleichung f(x)=h(x) keine Lösung gibt, d. h. es gibt keine gemeinsamen Punkte. "Grafisch" bedeutet das, dass diese beiden Geraden parallel zueinander liegen (erkennt man auch "sofort" daran, dass die Steigungen gleich sind, aber die y-Achsenabschnitte verschieden). (Käme bei der Berechnung eine wahre Aussage raus, z. B. 25/4=25/4, dann bedeutete dies, dass es unendlich viele Lösungen gibt - grafisch: beide Geraden wären dann identisch).

Bei d) löst Du "ganz normal" nach x auf. Hier handelt es sich einfach nur um zwei Geraden mit verschiedenen Steigungen, d. h. es muss einen Schnittpunkt geben.

Wenn die Ursprungsfunktion als Bruch angegeben ist, also f(x)=(x²+4)/(2x-3), dann würden wohl die wenigsten das zuerst per Polynomdivision in f(x)=1/2x+3/4+... umwandeln und dann die einzelnen Summanden mit der Potenzregel (samt Kettenregel im letzen Summanden) ableiten, sondern (wie Du) direkt die Quotientenregel nehmen wie bei der Alternativlösung gezeigt.

Wieder andere (z. B. ich) würden den Bruch umschreiben in (x²+4)*(2x-3)^(-1) und die Produktregel anwenden (samt Kettenregel beim hinteren Faktor), weil die Quotientenregel bei vielen (mir) nicht sonderlich beliebt ist.

Aber egal wie, es wird (natürlich) immer auf dasselbe hinauslaufen, nur sieht der Term des ersten Lösungswegs wegen der Polynomdivision etwas anders aus.

Eine Funktion (generell, nicht nur lineare) wird an der x-Achse gespiegelt, indem der komplette Funktionsterm mit -1 multipliziert wird. Dadurch wird erreicht, dass die Funktionswerte (=y-Werte) für jede Stelle x das Vorzeichen wechseln - genau das ist ja eine Spiegelung an der x-Achse.

D. h. aus f(x)=mx+b wird g(x)=-(mx+b)=-mx-b

Bei der Spiegelung an der y-Achse verschieben sich alle Punkte links der y-Achse nach rechts und umgekehrt. Das wird erreicht, indem Du im Funktionsterm jedes x durch -x ersetzt (bei linearen Funktionen hast Du ja nur das einfache x...).

D. h aus f(x)=mx+b wird g(x)=m(-x)+b=-mx+b

Bzgl. der Prüfung der Achsensymmetrie zur y-Achse und Punktsymmetrie zum Nullpunkt stellst Du einfach f(-x) auf und schaust was dabei rauskommt - Du musst nicht für beides eine eigene Gleichung prüfen.

f(-x)=1/(-x)²-1=1/x²-1, also =f(x), somit ist f achsensymmetrisch zur y-Achse.

Hieße die Funktion f(x)=1/x dann prüfst Du auch einfach nur f(-x):

f(-x)=1/(-x)=- 1/x=- f(x), also ist hier f punktsymmetrisch zum Nullpunkt.

Die einzige Funktion, die beide Symmetrien hat, ist die Nullfunktion f(x)=0, denn f(-x)=0 und das ist sowohl wieder f(x) als auch -f(x), denn -f(x)=-0=0.