einige kleine Fehler sind drin - wahrscheinlich ging die Konzentration zum Ende hin in den Keller... (rechnest du die Wahrscheinlichkeiten der Äste hinter einem Knotenpunkt zusammen, muss immer 1 (=100 %) rauskommen, wenn nicht, ist auf jeden Fall was falsch):
In der Mitte hast du: 0*1-(-2)*4=8, d. h. (4 8 -3) ist die korrekte Lösung.
Die Scheitelpunkte hast du außer bei Aufgabe g) alle korrekt (warum gibt es eigentlich keine Aufgabe f? [nur so ein Gedanke am Rande...]): dort muss es hinten +3 heißen (sicher Flüchtigkeitsfehler).
Bzgl. des Streckungsfaktors a (den hast du einige Male falsch): setze außer des Scheitelpunkts S(d|e) noch einen gut ablesbaren Punkt (x|f(x)) in die Scheitelpunktform ein und forme nach der einzig verbliebenen Variable a um.
Man kann das a auch einfacher ermitteln: gehst du vom Scheitelpunkt eine Einheit nach links oder rechts, dann ergeben die Einheiten senkrecht zur Parabel zurück genau das a. Ist der y-Wert eine Einheit neben S nicht gut ablesbar, gehst du eine Einheit weiter und zählst die Einheiten in y-Richtung. Diesen Wert musst du dann aber durch 2², also durch 4 teilen; gehst du 3 Einheiten weiter, dann durch 3², usw.
a) korrekt
b) gehst du vom Scheitelpunkt eine Einheit zur Seite, musst du 4 Einheiten nach unten, um wieder auf der Parabel zu landen, also a=-4
c) gehst du hier eine Einheit zur Seite, ist der Funktionswert (y-Wert) der Parabel nur schätzbar; gehst du aber zwei Einheiten zur Seite, landest du zwei Einheiten nach unten wieder auf der Parabel, also a=-2/2²=-2/4=-1/2
d) korrekt
e) drei Einheiten zur Seite und drei Einheiten runter zur Parabel zurück, ergibt a=-3/3³=-3/9=-1/3
g) eine Einheit zur Seite und drei runter, also a=-3/1² => f(x)=-3(x-2)²+3
h) zwei Einheiten zur Seite und sechs runter => a=-6/2²=-6/4=-3/2
i) eine Einheit zur Seite und vier hoch => a=4/1²=4
j) zwei zur Seite, 6 hoch => a=6/2²=6/4=3/2
Dü überlegst für jede Stelle wieviele Zeichen jeweils in Frage kommen.
Im ersten Fall hast Du für jede der 4 Stellen jeweils alle 20 Zeichen zur Auswahl, also 20*20*20*20=20^4 Möglichkeiten.
Im zweiten Fall fällt mit jeder Stelle ein Zeichen weg, weil ja keine Wiederholungen erlaubt sind, also sind's hier 20*19*18*17 Möglichkeiten.
Mit 6 Unbekannten ist es nicht schwerer als mit z. B. 3 oder 4, nur etwas mehr Rechnerei.
Gehst du "einfach" nach dem bekannten Schema vor, dann eliminierst du im ersten Schritt alle a's aus Zeile 2 bis 6, indem Du diese Zeilen mit der ersten Zeile verrechnest, also z. B.:
neue Zeile 2 (II') = Zeile 1 (I) + Zeile 2 (II),
(III') = 5 * (I) - (III)
(IV') = 5 * (I) - (IV)
usw.
Im nächsten Schritt dann mithilfe von Zeile 2 aus den Zeilen 3 bis 6 das b eliminieren, danach mit Zeile 3 aus den Zeilen darunter das c, usw., bis in der letzten Zeile nur noch das f steht, und dann wie gewohnt von unten nach oben alle noch unbekannten Variablen ermitteln.
Im Grunde schon: beim Wurzel vereinfachen kann es sein, dass sich nach "einigen" Umformungen die Wurzel komplett auflösen lässt, oder man aus dem umgeformten Term aus einzelnen Teilen die Wurzel ziehen kann.
Wenn die Aufgabenstellung "Wurzel vereinfachen" lautet und nicht dabei steht, dass man teilweise die Wurzel ziehen soll, wäre es aber nicht falsch/unvollständig, wenn man z. B. als Ergebnis Wurzel(8) stehen lässt, statt daraus noch 2*Wurzel(2) zu machen.
Soll der (Scheitel-) Punkt (0|4) das Minimum sein, dann muss die Parabel nach oben offen sein, d. h. vorne muss ein "+"-Zeichen stehen. Dazu hast Du, wie schon zweifach angemerkt, das "Hoch 2" vergessen.
Richtig wäre: f(x)=(x-0)²+4=x²+4
Ist ein beliebiger Funktionsterm gefragt, dann ist jeder positive Faktor vor dem x² (bzw. vor der Klammer) korrekt, also auch z. B. f(x)=24(x-0)²+4=24x²+4
a) ist korrekt
b) hier rechnest du am besten erst einmal die Tage vom 18.2. bis zum 03.09. aus:
hier ist zu beachten, dass auch für den Februar "banktechnisch" 30 Tage gelten! Somit hast du im Februar 12 Zinstage (der erste Tag, also hier der 18.02. wird nicht als Zinstag mitgerechnet!), dann kommen 6 volle Monate von März bis August mit je 30 Tagen, und dann noch 3 Tage im September, also t=12+6*30+3=195.
Gefragt ist nach dem Zinssatz p, also musst du die Zinsformel danach umstellen:
p=Z*360*100/(K*t) = 341,25*360*100/(7.000 * 195) = 9
D. h. der hier angebotene Zinssatz betrug 9 %.
Aufgabe 1) P(A n B) ist die Wahrscheinlichkeit des Pfads "AB", also 1/2 * 1/4 = 1/8, d. h. das entspricht P(A) * P(B), somit sind die Ereignisse A und B stochastisch unabhängig. Wie kommst Du auf 1/9?
Aufgabe 2) Ereignis B: die Summe 3 wird erreicht, wenn zuerst eine 1 und dann eine 2 gedreht wird, oder umgekehrt, also P(B)=1/2 * 1/4 + 1/4 * 1/2 = 1/8 + 1/8 = 2/8 = 1/4
P(A n B) ist nur möglich, wenn zuerst eine 1 gedreht wird (damit ist A erfüllt) und anschließend die 2 (um an Summe 3 zu kommen, damit B erfüllt ist), also P(A n B)=1/2 * 1/4 = 1/8
P(A) * P(B) = 1/2 * 1/4 = 1/8 = P(A n B), also auch stochastisch unabhängig.
Der ursprüngliche Wert, der verändert wurde, ist der Grundwert. Dieser entspricht immer 100 %. Mit dem Dreisatz kannst du nun ausrechnen, wieviel % dann der neue Wert entspricht, und siehst so, um wieviel % dieser nun höher liegt:
alter Lohn entspricht 100 %
neuer Lohn entspricht x
H. Fuchs: alter Lohn: 1.040 € minus 30 € = 1.010 €, also:
1.010 € entspricht 100 % |: 1.010
1 € entspricht 100/1.010 % |* 1.040
1.040 € entspricht 100/1.010*1.040
Den letzten Term rechts etwas umgeschrieben: 1.040/1.010 * 100.
Und das bedeutet: neuer Lohn/alter Lohn * 100 = 102,97 %.
Somit entspricht der neue Lohn 102.97%, also einer Erhöhung um 2,97 %.
Wenn sich zwei Geraden schneiden, entstehen vier Winkel, von denen jeweils die gegenüberliegenden Winkel gleich groß sind und zwei benachbarte Winkel ergeben zusammen 180°.
Soll nun bei Aufgabe 4a) der Winkel alpha 180° betragen, dann bleibt für die Nebenwinkel beta und gamma (mit denen alpha ja jeweils addiert 180° ergibt) nur noch 0° übrig. Eigentlich eine etwas "sinnfreie" Aufgabe, denn das bedeutet, die beiden Geraden liegen übereinander, und es gibt quasi nur die beiden gegenüberliegenden 180° Winkel.
Bei 4c) soll gelten alpha=beta, und es gilt immer für die beiden Nebenwinkel alpha und beta: alpha+beta=180°. Da alpha so groß ist wie beta, kannst du auch schreiben alpha+alpha=180° (oder beta+beta=180°). Und wenn du das ausrechnest, kommt alpha=90° raus (oder beta=90°). Und damit bleibt dann auch für gamma nur 90° übrig, weil gamma zum einen mit seinem Nebenwinkel alpha 180° ergeben muss und weil zum anderen gamma genauso groß ist wie sein Scheitelwinkel beta.
Ähnlich würde dann auch die Nr. 5 funktionieren: Du weißt, dass beta + Nebenwinkel (3*beta) zusammen 180° ergeben muss, also beta+3beta=180° => beta=45°. Und da alpha gegenüber von "3*beta" liegt, muss alpha=3*45°=135° groß sein.
Normalform: f(x)=ax²+bx+c
Scheitelpunktform: f(x)=a(x-d)²+e mit Scheitelpunkt S(d|e)
Von Scheitelpunkt- in die Normalform wandeln ist recht einfach: Zuerst multipliziert du die quadr. Klammer aus, die binom. Formeln hast du ja verstanden, wobei das Ganze in einer Klammer hinter dem a bleibt. Dann multiplizierst du die Klammer mit dem a und abschließend fasst du nur noch die daraus resultierende reine Zahl (ad²) mit dem e zusammen.
Beispiel: f(x)=2(x-1)²-3
1. quadr. Klammer: f(x)=2(x²-2x+1)-3
2. Klammer mit a mult.: f(x)=2x²-4x+2-3
3. zusammenfassen: f(x)=2x²-4x-1
Anders herum kommt es einem anfangs wahrscheinlich komplizierter vor. Da wird die "quadratische Ergänzung" benötigt...: Zuerst muss das a ausgeklammert werden; vom x² und dem einfachen x reicht, das c kann man hinten alleine stehen lassen. Dann wird in der Klammer quadr. ergänzt, indem du den Wert vor dem x halbierst, dann quadrierst und das Ergebnis daraus je einmal addierst und subtrahierst. Aus den ersten 3 Summanden der Klammer kannst du dann IMMER eine quadr. Klammer bilden (deshalb macht man das ja) und den subtrahierten Wert klammerst du aus und fasst diesen abschließend mit dem hinten noch stehenden c zusammen.
vorheriges Beispiel: f(x)=2x²-4x-1
1. Wert vor x² ausklammern: f(x)=2(x²-2x)-1
2. quadr. Ergänzen: Wert vor x (=2, Vorzeichen ist egal, wird ja gleich eh quadriert, also positiv) halbieren (2/2=1), dann quadrieren (1²=1) und das dann addieren und subtrahieren:
f(x)=2(x²-2x+1-1)-1
3. mit ersten 3 Werten der Klammer die quadr. Klammer bilden (binom. Formel): f(x)=2((x-1)²-1)-1
4. den bei der quadr. Ergänzung subtrahierten Wert ausklammern: f(x)=2(x-1)²-2-1
5. die Werte hinter der Klammer zusammenfassen: f(x)=2(x-1)²-3
Alle von einem Knotenpunkt abgehenden Äste müssen zusammenaddiert die Wahrscheinlichkeit 1 (=100 %) ergeben.
Das bedeutet bei a), dass die Wahrscheinlichkeit für A-Strich 0,75 sein muss.
Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades errechnet man, indem man die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Äste multipliziert. Der obere Pfad (A->B) soll die Wahrscheinlichkeit 0,05 haben, d. h. 0,25 (der Ast nach A) mal x (dem Ast von A nach B) muss 0,05 ergeben, also 0,25 * x = 0,05 <=> x=0,2, d. h. oben auf den Ast von A nach B kommt die Wahrscheinlichkeit 0,2 hin. Damit kannst du dann schon einmal das komplette Baumdiagramm füllen (auch die Pfadwahrscheinlichkeiten).
Dann musst du die gewünschten bedingten Wahrscheinlichkeiten ausrechnen. Es gilt: P_B(A) ["Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B"] = P(A und B)/P(B).
P(A und B) ist die Wahrscheinlichkeit des Pfads A->B und P(B) ist die Summe der Pfade, die das Ereignis B beinhalten.
Für deine Aufgabe bedeutet das für die erste bedingte Wahrscheinlichkeit:
P_B(A)=0,05/(0,05+0,75*0,5)=... [die "0,75*0,5" brauchst du nicht so zu notieren, denn du hast die Pfadwahrscheinlichkeit ja vorab hinter die Pfade geschrieben; ich hab's nur zur Verdeutlichung getan!]
Bei der b) hast du es zuerst mit absoluten Zahlen zu tun. Diese Zahlen aufzufüllen, sollte eigentlich kein Problem sein...: die Summe der Folgeknoten muss die Anzahl des Vorgängerknotens ergeben. Hier wird mit 1000 gestartet - wenn davon 600 auf Ereignis A fallen, bleiben für A-Strich logischerweise 400 übrig. Die Wahrscheinlichkeit des jeweiligen Äste ist immer Anzahl Folgeknoten durch Anzahl Vorgängerknoten, also P(A)=600/1000=0,6. Der Rest ist dann wieder wie bei a).
Löst du das mit der pq-Formel z. B. nach x auf (nach z geht genauso gut), erhältst du:
x=-z/2 +/- Wurzel((z/2)²-z²)) = -z/2 +/- Wurzel(-3/4z²)
Lösungen aus dem Bereich der reellen Zahlen sind nur möglich, wenn der Term unter der Wurzel größer/gleich Null ist. Das ist hier nur bei z=0 der Fall. Und mit z=0 ist dann auch x=0.
Schneidest du in Gedanken die Ecken aus und legst jeweils 2 Ecken aneinander erhältst du 2 Quadrate.
Die Fläche der gesamten Pappe beträgt 18 cm x 16 cm = 288 cm². 25 %, also 1/4 davon, die weggeschnitten werden sollen, machen 288/4 cm²=72 cm² aus. D. h. dies wäre die Gesamtfläche der beiden in Gedanken aneinander gelegten Quadrate. Somit hätte ein Quadrat eine Fläche von 72/2 cm²=36 cm². Davon die Wurzel ziehen und du hast die Seitenlänge dieses Quadrats, was gleichzeitig der Schenkellänge der ausgeschnitten Dreiecke entspricht.
Steht das nicht rechts im hier nicht ganz sichtbaren Text?
Das k steht für die Werte, die die Zufallsgröße X annehmen kann.
P(X=k) steht für die Wahrscheinlichkeit für genau k Erfolge.
Sämliche Zuordnungen k->P(X=k) zusammen, also die gesamte Tabelle, stellen die Wahrscheinlichkeitsverteilung dar. D. h. aus dieser Tabelle kannst Du, wie der Name schon vermuten lässt, die Verteilung der Wahrscheinlichkeiten auf die einzelnen möglichen Werte k ablesen.
Es gilt allgemein: P(A|B)=P(A und B)/P(B)
P(A und B) ist im Baumdiagramm der Pfad A->B (bzw. B->A, je nachdem wie das Diagramm aufgebaut ist), P(B) die Gesamtwahrscheinlichkeit von B, also die Summe aller Pfade, die B beinhalten. In der Vierfeldertafel ist P(A und B) die innere Zelle (A/B) und P(B) die Summenzelle der Zeile/Spalte B.
also:
P(B|D)=P(B und D)/P(D)=P(B und D)/[P(A und D)+P(B und D)=0,6*0,5/[(0,4*0,5)+(0,6*0,5)]=... (ich habe es jetzt so ausführlich notiert, weil das so aufgrund deines Baumdiagramms vielleicht erst einmal besser nachvollziehbar ist - es ist natürlich einfacher und weniger Schreibarbeit, die Pfadwahrscheinlichkeiten hinter den Pfaden ausgerechnet zu notieren und diese einzusetzen, statt die ganzen Astwahrscheinlichkeiten als Multiplikation hinzuschreiben!)
Bei deiner "Tabelle" (Vierfeldertafel) kommen innen wie schon geschrieben die Wahscheinlichkeiten der jeweiligen Pfade rein, also z. B. in Zelle (A/C) die Wahrscheinlichkeit 0,4*0,5=0,2. Außen stehen immer die Summen der inneren Werte, d. h. die Gesamtwahrscheinlichkeiten der hinteren Ereignisse (hier C und D) kann man meist nicht aus dem Baumdiagramm ablesen, sondern nur, wenn die bedingten Wahrscheinlichkeiten, also die Äste hin zu C und D unter allen Vorereignissen (wie hier) immer gleich sind. Stünde hinten z. B. von oben nach unten 0,4 - 0,6 - 0,6 - 0,4, dann kommst du nur an P(C) und P(D), indem du die jeweils zugehörigen Pfadwahrscheinlichkeiten addierst...
Die Werte stimmen, aber wie kommst du auf die negative Nullstelle (Vorzeichenfehler?)?
-1/216x³+1/12x²=0 <=> x²(-1/216x+1/12)=0
<=> x=0 oder -1/216x+1/12=0 <=> -1/216x=-1/12 <=> x=18
Bei der unteren Nr. 2 ist dein Gedanke richtig.
Das r und h in den Gleichungen beziehen sich auf den Radius und die Höhe des rechten, halbvollen Sektglases, d. h. beide Variablen sind unbekannt. Ziehst Du eine senkrechte Linie durch die Mitte des Glases und zwei waagerechte Linien auf Höhe des neuen Sektstandes und auf Höhe des Glasrands, kannst Du mithilfe des Strahlensatzes (das Verhältnis hat deine Freundin unten links unter das volle Sektglas notiert, wobei "15-y" der Höhe h entspricht) nach h umstellen und das dann in der Gleichung anstelle des h's einsetzen, und das ist nunmal: r/3=(15-y)/15 <=> r/3 * 15 = 15-y. Und 15-y ist die unbekannte Höhe der rechten Sektfüllung.
Spielt das eine Rolle, ob Du nun einen Teppich bestellst mit 100x200 cm oder mit 200x100 cm?
Nach kurzer Recherche scheint bei Teppichen das Maß in der Form "kurze Seite mal lange Seite" angegeben zu werden...
Rechtecke können sowohl "unten/oben" kürzer sein als "rechts/links" oder auch länger, da gibt es keine Regel, kommt halt darauf an wie sie liegen bzw. betrachtet werden sollen, so wäre z. B. bei Bildern bei einem Portrait die Breite eher kürzer als die Höhe und bei Panoramabildern die Breite länger als die Höhe.