Wie prüft man eine Funktion auf Stetigkeit?
Leider fällt mir das Thema Stetigkeit schwer... kann mir jemand erklären wie man eine Funktion auf Stetigkeit prüft und wie man erkennt auf welchen Punkten sie stetig ist? Internet Seiten die mir bei dem Thema helfen, wären mir auch eine Hilfe..danke!
2 Antworten
Zunächst ist die Körperverknüpfung von stetigen Funktionen an den definierten Stellen stetig. Daher gibt es im fraglichen Fall nur einen möglichen Punkt an dem die Funktion unstetig sein kann, nämlich x = -1. Nun nehme eine Folge, die gegen -1 konvergiert, aber immer <> -1 ist. Mache für jedes Folgenglied eine Fallunterscheidung < -1 oder > -1. Überlege dir gegen welchen Wert (wenn überhaupt) die Folge der Funktionswerte konvergiert. Nutze dabei, dass im Zähler ein Binom steht.
Damit eine Funktion an einer bestimmten Stelle stetig ist, müssen 3 Bedingungen erfüllt sein.
1. Die Funktion muss an dieser Stelle definiert sein.
2. Der linke und rechte Grenzwert müssen gleich sein (ist das nicht der Fall, macht die Funktion einen Sprung)
3. Der Grenzwert aus 2. muss auch der Funktionswert an dieser Stelle sein (ansonsten hätte die Funktion an dieser Stelle einen Ausreißerpunkt)
Für "Deine" Funktion heißt das:
Dies ist eine zusammengesetzte Funktion, da sind immer die Übergänge von einer zur anderen Teilfunktion "kritisch", d. h. hier die Stelle x=-1.
Bedingung 1 ist erfüllt: f(-1)=0
2. Bedingung: den Zähler kannst Du umformen zu (x-1)(x+1). (x+1) wirst Du kürzen können, aber Du musst den Betrag vorher auflösen. Machst Du das, wirst Du auf l-lim x->-1 f(x)=+2 kommen und r-lim x->-1 f(x)=-2. D. h. Bedingung 2 ist nicht erfüllt, also ist die Funktion bei x=-1 nicht stetig.