Mathematik Stetigkeit (Funktionen, Zwischenwertsatz)?
Hey,
ich habe hier eine Aufgabe und komme leider nicht mehr weiter :/. Die Aufgabe lautet:
"Begründen Sie: Wenn sich der Temperaturverlauf entlang des Erdäquators stetig ändert, dann gibt es zwei auf dem Äquator gegenüberliegende Punkte mit gleicher Temperatur Tipp: Betrachten Sie die Temperaturdifferenz gegenüberliegender Punkte"
ich weiß dass die Funktion g(x) = f(x + π) - f(x) lautet und ich davon die Nullstellen suchen muss. Irgendwie versteh ich aber nicht wie ich das anstellen soll. Wäre sehr nett wenn mir jemand helfen könnte :D
1 Antwort
Betrachte die beiden Funktionen f(φ) und g(φ) für 0 <= φ <= π als Temperaturen am Äquator. f ist die eine Seite der Erde, g die andere. Die Temperaturen f(φ) und g(φ) liegen sich gegenüber. Weiterhin gilt aufgrund von Stetigkeit, dass f(0) = g(π) und f(π) = g(0). Das bedeutet, dass die Randwerte gleich sein müssen.
Sei nun h(φ) = f(φ) - g(φ) die Temperaturdifferenz gegenüberliegender Punkte.
Mit der Bedingung für die Randwerte:
h(0) = f(0) - g(0) = f(0) - f(π) =: h_0 und
h(π) = f(π) - g(π) = f(π) - f(0) = -h_0
Wenn h_0 = 0 ist, dann ist die Bedingung bereits für φ = 0 bzw. φ = π bewiesen.
Wenn nicht, dann muss h zwischen 0 und π irgendwie das Vorzeichen gewechselt bekommen. Bei stetigen Funktionen passiert dies aber nur mit einer Nullstelle (Zwischenwertsatz). Ich gehe mal davon aus, dass der Zwischenwertsatz selbst als bewiesen vorausgesetzt werden kann.
Stell dir vor, du hast ein Quadrat mit den Ecken A, B, C und D.
Die Funktion f beschreibt die Temperatur von A über B bis C, g die Temperatur von C über D bis A.
An den Punkten A und C müssen die Funktionen bei einem stetigen Temperaturverlauf um das Quadrat natürlich den Gleichen Wert annehmen. Die Temperatur an der Ecke A kann ja nicht von der einen Seite -30°C und von der anderen +30°C haben.
könntest du mir vielleicht nochmal das mit den Bedingungen der Randwerte erklären?