Nach diesem Schema sollst Du im ersten Schritt 5 * 10.000 rechnen, also an die 5 vier Nullen anhängen und dann diese 50.000 mit 2 multiplizieren.

Genausogut könnte man zuerst die 5 mit 2 multiplizieren und dann daran die "übrigen" vier Nullen anhängen, also mal 10.000 rechnen. (so würde ich es machen - aber in der Aufgabenstellung möchte man es nach der ersten Variante...)

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Bei a) hast Du lediglich gezeigt, dass (3,5|5) ein Punkt der Parabel ist, aber nicht, dass es sich dabei um den Scheitelpunkt handelt!

Statt den Punkt in die Gleichung einzusetzen musst Du die Funktionsgleichung in die Scheitelpunktform umwandeln.

Bei c) könntest Du z. B. das Rechteck 4*6,5 berechnen, das das Dreieck umschließt und davon die Flächen zwischen Dreieck und Rechteck abziehen. So hast Du über dem Dreieck zur x-Achse, links zur y-Achse und unten zwischen Dreieck und y=-4 jeweils rechtwinklige Dreiecksflächen die zuviel sind und eine quadratische Fläche von 0,5² unten links des Rechtecks (von x=0 bis 0,5 und y=-3,5 bis 4).

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Man löst solche Aufgaben, bei denen die Fläche zwischen 2 Graphen bestimmt werden soll, indem man die Schnittstellen beider Graphen berechnet, d. h. man löst f=g und integriert dann von Schnittstelle zu Schnittstelle die Differenzfunktion f-g oder g-f (wie herum ist egal, weil man von den einzelnen Integralen die Beträge nimmt, da es ja um Flächen geht).

Sollte Dir in diesem Beispiel auffallen, dass die Differenzfunktion eine ungerade Funktion ist (das x² hebt sich bei f-g auf und es bleiben ungerade Exponenten übrig), d. h. sie ist punktsymmetrisch, dann reicht es eines der beiden Integrale zu bestimmen und dessen Betrag mal 2 zu nehmen...

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Beim Einsetzen der Grenzen musst Du "mathematisch korrekt" den Term beim Einsetzen der oberen Grenze als Grenzwert betrachten, und dass dahinter durch das Subtrahieren der unteren Grenze +y0/3 stehen muss wurde ja schon erwähnt.

Bei der oberen Grenze kommt - wie Du auch schon notiert hast - als Grenzwert 0 raus, d. h. es bleibt y0/3=2 übrig, also y0=6.

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Du weißt bestimmt wie f(x)=e^x aussieht. Jetzt machst Du mit dessen Graphen das, was in der Aufgabe alles an Transformationen steht...

Fange z. B. mit f(0)=1 der einfachen e-Funktion an. Zwei LE nach links und Du bist bei (-2|1), dann an der x-Achse spiegeln und der Punkt "hüpft" auf (-2|-1). Jetzt wird die waagerechte Asymptote von x=0 auf x=-2 verschoben, d. h. der gesamte Graph rutscht 2 Einheiten runter, somit auch dieser "erste" Punkt auf (-2|-3). Jetzt noch von der transformierten Funktion f(0) näherungsweise bestimmen und dann den Graphen links unterhalb der Asymptote beginnend durch diese beiden Punkte nach rechts im Bogen Richtung -∞ zeichnen.

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Multipliziere z. B. zuerst mit 4a² und Du erhältst:

-3*64 + 3a²=-12a² |-3a²

-3*64=-15a² |(-15)

a²=3*64/15=64/5 |Wurzel ziehen

a=±√(64/5)=±8/√5

Damit die Wurzel aus dem Nenner verschwindet, wird mit √5 erweitert, ergibt ±8*√5/5. Das Minus fällt raus wegen des Definitionsbereichs von a.

a=8/√5 stehen zu lassen ist auch absolut ok, ist ja letztendlich dasselbe - ein rationaler Nenner hat wohl eher "stilistische" Gründe...

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Ja, denn Streckung/Stauchung mit Faktor a in x-Richtung wird erreicht, indem jedes x des Terms durch dieses a geteilt wird. Somit verschieben sich alle ursprünglichen Punkte in x-Richtung, bis auf den Punkt auf der y-Achse - logisch, denn dort ist x=0, und 0/a in der transformierten Funktion ergibt denselben Funktionswert.

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Du addierst einfach die Vektoren (Seiten), die Du benötigst, um vom Startpunkt zum Zielpunkt der jeweils angegebenen Vektoren zu kommen.

Beispiel Vektor AG: Du startest bei Punkt A, gehst von dort den Vektor a nach B, von da Vektor b nach C, und von dort Vektor c hoch zum Zielpunkt G, also Vektor AG=Vektor a + Vektor b + Vektor c.

Gehst Du in Gegenrichtung eines der Vektoren, dann bedeutet das "+(-Vektor x)".

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b) hat Wechselfreund schon beschrieben

c) hier integrierst Du f von -1 bis 5 und ziehst das Integral von g in den Grenzen 0 bis 4 davon ab. So hast Du die Fläche des Tunnelquerschnitts in m². Das nun mal der Tiefe von 2 m und Du hast das Volumen eines Segments in m³.

Das Volumen mal der Dichte ergibt das Gewicht. Allerdings muss auf gleiche Einheiten geachtet werden: Du hast hier Volumen in m³ und die Dichte ist in g/cm³ angegeben. g/cm³ ist jedoch das gleiche wie t/m³, d. h. Dein Volumen mal der Dichte von 2,2 t/m³ ergibt das Gewicht eines Tunnelsegments in Tonnen.

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Ich gehe mal davon aus, dass das ein Quader sein soll. D. h. der Weg von D nach E ist der gleiche wie von G nach F, also Richtungsvektor DE=(2 8 -3)-(6 4 -3)=(-4 4 0). Somit ist F=G+DE=(0 -2 -3)+(-4 4 0)=(-4 2 -3).

Der Quader hat eine Höhe von 4 Einheiten, d. h. H=F+(0 0 4)=(-4 2 1).

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Du brauchst keine Graphen zu sehen, um die Monotonie bestimmen zu können!

Mit den Nullstellen der Ableitung bestimmst Du die einzigen Stellen des Graphen, an denen möglicherweise die Steigung der Funktion das Vorzeichen wechselt. Das tatsächliche Vorzeichen (und damit die Monotonie) bestimmst Du dann, indem Du Werte "kurz vor" und "kurz hinter" diesen Ableitungsnullstellen in die Ableitung einsetzt.

In Deinem Beispiel kommst Du auf x=1 als Nullstelle der Ableitung. Setzt Du einen Wert "kurz vor" x=1 in die Ableitungsfunktion ein, also z. B. x=0,99, so erhältst Du einen negativen Wert, d. h. der Graph von f verläuft vor dieser Nullstelle fallend. Bei z. B. f'(1,01) erhältst Du einen positiven Wert, d. h. dort ist f steigend.

Es kann auch durchaus sein, dass vor und hinter einer "Ableitungsnullstelle" das Vorzeichen das gleiche bleibt. Das bedeutet, der Graph geht vor und hinter dieser Nullstelle weiter in dieselbe Richtung - somit hat der Graph an dieser Stelle eine Wendestelle. Klassisches Beispiel: f(x)=x³, f'(x)=2x². hier gilt f'(x)=0 für x=0, vor und hinter x=0 ist f' positiv, d. h. f steigt sowohl vor als auch hinter x=0. Und wie der Graph von f(x)=x³ tatsächlich verläuft ist Dir ja bestimmt bekannt (oder schau ihn Dir mal an): er steigt über den gesamten Definitionsbereich und hat bei x=0 einen Sattelpunkt (=Wendestelle mit Steigung 0).

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Suche mal nach "Rohdichte Kork". Bei mir kommt als Antwort "zwischen 120 und 200 kg/m³". Setze also z. B. 200 kg/m³ an und rechne damit das Gewicht der Kugel mit 1 m Durchmesser aus.

Dann noch die Rohdichte von Stahl recherchieren...

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Du hast oben ausgerechnet, dass die Wahrscheinlichkeit für (1;1)=1/3 ist, also p=1/3 für das Produkt 1 (=Gewinn 1 €), und für (5;1) und (1;5) auch jeweils 1/3, d. h. die Wahrscheinlichkeit für das Produkt 5 ist p=1/3+1/3=2/3.

Was Du dann gerechnet hast, kann ich leider nicht mehr nachvollziehen; hast Du die Summen statt Produkte gebildet? Aber warum soviele Summanden?

Der Erwartungswert für den Gewinn lautet: E=1 * 1/3 + 5 * 2/3 = 1/3 + 10/3 = 11/3 = ca. 3,67, d. h. der Einsatz müsste ca. 3,67 € betragen, damit das Spiel fair ist.

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a) Es gibt 36 verschiedene Ergebnisse, wie die Würfel beim zweimaligen Werfen fallen können (für jeden Wurf 6 Möglichkeiten: 6*6=36). Bei nur dreien davon kommt die Augensumme 10 raus, nämlich bei (4;6), (5;5) und (6;4), also p=3/36.

b1) zeigt der erste Würfel eine 4, muss beim zweiten Wurf eine 6 fallen, damit die Summe 10 rauskommt, d. h. es gibt nur 1 von 6 Möglichkeiten, um auf 10 zu kommen, also p=1/6.

b2) zeigt der erste Wurf eine 2, kann man mit den zweiten Wurf nicht mehr auf die Summe 10 kommen, also p=0.

b3) es gibt 9 mögliche Zahlenpaare, die nur aus geraden Zahlen bestehen (jeweils 3 gerade Zahlen pro Wurf, macht 3*3=9 Möglichkeiten). Bei zweien davon kommt die Summe 10 raus. D. h. wenn bekannt ist, dass beide Würfe gerade Zahlen zeigen, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass deren Summe 10 ergibt p=2/9.

b4) es gibt 25 Zahlenpaare ohne die 6 (jeweils 5 Zahlen pro Wurf =5*5=25). Bei nur einem Paar davon kommt man auf 10, also p=1/25.

c) Augensummen, die 5 ergeben: (1;4), (2;3), (3;2) und (4;1) => Wahrscheinlichkeit für Augensumme 5: p=4/36=1/9.

Nimmst Du als Bedingung z. B. "erster Wurf ist eine 5", dann ist es unmöglich auf Summe 5 zu kommen mit dem zweiten Wurf, also p=0 (kleiner als 1/9).

Bedingung: erste Wurf zeigt eine 1 => im zweiten Wurf gibt es eine von 6 Möglichkeiten die Summe 5 zu erreichen, also p=1/6 (größer als 1/9).

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Bei a) und b) brauchst Du nur die y-Werte (in cm) für die gegebenen x-Werte (in h) ablesen.

c) bei Geraden ist die Steigung immer gleich groß: bei a) kannst Du ablesen, dass nach 3 Stunden das Wasser um 4 cm gestiegen ist. D. h. nach 1 Stunden, also einem Drittel von 3 Stunden, steigt das Wasser somit auch nur um ein Drittel von den 4 Zentimetern, also um 4/3 Zentimeter. Somit steigt das Wasser nach x Stunden um 4/3*x Zentimeter, also: y=4/3x. Setzt Du da jetzt zur Probe z. B. x=3 und x=6 ein (die Punkte, nach denen bei a) und b) gefragt wurde und die man auch am besten am Graphen ablesen kann), dann kommst Du auf die Werte y=4 und y=8.

d) hier setzt Du jetzt für y den Wert 6 ein und rechnest die Zeit aus, also 6=4/3x nach x auflösen

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Meinst Du mit erster Aufgabe die Recherche? Da gibt es nichts zu rechnen, Du sollst Angaben/Aussehen diverser Brückenbauten raussuchen.

2a) Setzt Du x=0 ein, erhältst Du als Punkt den Nullpunkt (0|0). D. h. hier wird wohl der links sichtbare "Startpunkt" der Parabel in die Mitte des Koordinatensystems gelegt worden sein... D. h. f(18) muss ebenfalls 0 ergeben und es muss f(9)=4,5 gelten (=Scheitelpunkt). Stimmen diese 3 Punkte überein, dann passt diese Funktion eindeutig zu der abgebildeten Parabel.

b) Du kannst das Koordinatenkreuz beliebig über die Parabel legen... Sinnvollste Variante wäre aber eher, den Scheitelpunkt auf die y-Achse zu schieben, also auf (0|4,5); dann hat die Parabel die Nullstellen (-9|0) und (9|0)

c) Außer der Parabel mit dem gegebenen Funktionsterm hast Du noch die waagerechte Gerade bei y=4,5. Über die gesamte Länge teilen die Pfeiler die Brücke quasi in 8 Teile, d. h. alle 18/8=2,25 m ist ein Pfeiler, beginnend bei x=0, d. h. Du berechnest f(0), f(2,25), f(4,5) usw. und ziehst das von y=4,5 ab, und hast somit die Pfleilerlängen.

d) bei Deinen Recherchen aus Punkt 1) wirst Du diverse Brückenbreiten und Pfeilerformen rausgesucht haben. Setze irgendeinen dieser Querschnitte an - die Höhen der Pfeiler hast Du ja...

e) Scheitelform: -1/49 ausklammern, quadr. ergänzen, usw. Nullstellen: abc- oder pq-Formel

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