Potenzen mit negativem Exponenten kannst du in Potenzen mit positivem Exponenten umwandeln, indem du den Kehrwert der Basis nimmst (d. h.: (z/n)^(-a)=(n/z)^a).

Somit wird aus (0,5)^(-3)=(1/2)^(-3)=(2/1)³=2³, und somit kommt man bei a) auf 2^(2³).

zu b) statt den Kehrwert der Basis zu nehmen, kann man bei Brüchen auch die Potenz mit umgekehrtem Vorzeichen des Exponenten auf "die andere Seite" des Bruches schreiben (ist "mathematisch" dasselbe), denn es gilt ebenfalls: x^(-n)=1/x^n. Somit wird bei b) aus (x^5/x^(-5)) mit positiven Exponenten x^5/(1/x^5) und das ist x^5*x^5 ("Zähler durch Nenner = Zähler mal Kehrwert Nenner"), und das wiederum ist zusammengefasst x^10. Das ist die "neue" Basis - das dann laut Aufgabenstellung hoch -1 ergibt x^(-10).

Ich denke mal, dass ihr hinsichtlich der binomischen Formeln auch das Pascalsche Dreieck kennengelernt habt, mit dessen Hilfe (d. h. mit den darin angegebenen Koeffizienten [Vorfaktoren]) sich recht leicht Terme der Form (a+b)^n ausmutliplizieren lassen.

In der dritten Zeile stehen dort die Ziffern "1 3 3 1", also exakt dieselben wie hier bei dir im Nenner, und in deinem Nennerterm verringert sich von Summand zu Summand der Exponent der x-Potenz, somit kannst du hier den Nenner zu (x+1)³ vereinfachen.

Das muss man natürlich wissen... Ohne dieses Wissen würde dir bei diesem Term nichts anderes übrig bleiben, um bzgl. der ersten Nullstelle eine Lösung zu raten. Das wäre mit x=-1 wahrscheinlich recht schnell passiert. Und dann käme die ungeliebte Polynomdivision zum Einsatz, d. h. du müsstest den Nenner durch (x-Nullstelle)=(x-(-1))=(x+1) teilen und kämst auf x²+2x+1. Spätestens da solltest du erkennen, dass das (x+1)² ist, und mit dem durch die Polynomdivision "eliminierten" Faktor (x+1) kämst du auf (x+1)²*(x+1)=(x+1)³, nur halt deutlich umständlicher (später), als mit dem Erkennen und Nutzen der Koeffizienten "1 3 3 1"...

Das sind keine Gleichungen, sondern Terme.

Da du "ableiten" erwähnst, meinst du wahrscheinlich f(x)=(x-2)² bzw. f(x)=(x-3)³.

Diese Klammern kann man natürlich auch ausmultiplizieren (warum sollte das nicht gehen?!). Bei der ersten Klammer wendest du einfach die zweite binomische Formel an, und bei der dritten schaust du dir entweder das "Pascalsche Dreieck" mal etwas genauer an, damit kann man relativ leicht Klammern der Form (a+b)^n ausmultiplizieren, oder du rechnest zuerst (x-3)² aus und multiplizierst das dann nochmal mit (x-3).

Geht es aber ums Ableiten, kannst du dir das Ausmultiplizieren sparen und wendest stattdessen "einfach" die Kettenregel an, also das "Konstrukt" (x-2)² mit der Potenzregel ableiten und mit der inneren Ableitung multiplizieren, ergibt in diesem Fall f'(x)=2(x-2) [*1].

weiteres Beispiel: f(x)=(3x-7)^5 => f'(x)=5(3x-7)^4 * 3 = 15(3x-7)^4

Du könntest natürlich auch zuerst ausmultiplizieren und dann mit der Potenzregel ableiten, aber bei größeren Exponenten wird das zu aufwendig bzw. unübersichtlich, und macht auch keinen großen Sinn, denn musst du mit der Ableitung weiterrechnen, dann ist der "Klammerterm" deutlich besser geeignet!

Du hast hier n=20, k=9 und p=0,5. (bei p=0,5 hast du immer hinten "hoch n")

p=0,5 hast du z. B. beim Werfen einer Münze. D. h. dies ist z. B. die Wahrscheinlichkeit, beim 20-maligen Werfen einer Münze 9-mal Kopf zu werfen.

a=1,5 stimmt, aber b ist falsch: der Abstand vom Wellental bei x=pi/4 bis zum nächsten Wellental bei x=2 1/4pi(=9/4pi) ist genau 2pi, also die "normale" Wellenlänge, d. h. b=1.

Bzgl. c siehst du, dass bei x=3/4pi die Welle "anfängt" (dort geht sie erstmals durch den Mittelpunkt nach oben), d. h. diese Sinuskurve ist um 3/4pi-Einheiten nach rechts verschoben, somit gilt c=-3/4pi.

Bei der "normalen" Sinusfunktion f(x)=sin(x) weißt du (bzw. solltest du wissen), dass diese im Nullpunkt beginnend nach rechts erst einmal nach oben geht.

Bei deiner ersten Aufgabe kannst du gut ablesen, dass hier dieser "Startpunkt" bei x=2pi liegt (oder auch x=-2pi). D. h. in diesem Fall könntest du den vorliegenden Graphen entweder um 2pi-Einheiten nach links verschieben (entspricht c=-2pi) oder um 2pi-Einheiten nach rechts (entspricht c=+2pi), d. h. in diesem Fall hättest du mit dem Vorzeichen kein Problem. :)

Im zweiten Beispiel kannst du den Start der Welle leider nicht ablesen, du siehst nur, dass der Start der Welle von der y-Achse aus nach rechts wandernd bei 3/4 dieser "engen" Welle liegt, bzw. gehst du nach links weg, ist der Startpunkt 1/4 dieser Wellenlänge entfernt).

Da b=2,5 ist, ist eine Welle 2pi/2,5=0,8pi lang. D. h. der Startpunkt rechts bei 3/4 dieser Welle beginnt bei 3/4 * 0,8pi=0,6pi=3/5pi, also c=-3/5pi (die gezeigte Welle ist bei dieser Betrachtung 3/5pi nach rechts verschoben, also (x-3pi/5)).

Nimmst du die 1/4 Welle nach links, dann ist c=+1/4 * 0,8pi=+0,2pi=+pi/5 (die Welle ist in diesem Fall um pi/5 nach links verschoben, also (x+pi/5))

Nachtrag:

wenn man etwas genauer/"weitblickender" hinschaut (als ich eben), dann siehst man, dass bei x=-pi ein gut ablesbarer Startpunkt ist, d. h. c=+pi ist sofort ohne Rechnerei ablesbar...

Die beiden Äste im ersten Schritt stehen für "mit Haustier" (=65 % laut Aufgabenstellung) und "ohne Haustier" (=35 % - weil beide Äste 100 % ergeben müssen).

Von diesen beiden Ästen gehen jeweils die beiden Äste "Single" und "Familie" ab. Der Ast von "mit Haustier" nach "Single" ist mit 32 % vorgegeben, daraus ergibt sich dann ganz einfach die Wahrscheinlichkeit für den Ast darunter Richtung "Familie".

Die 13,8 % entsprechen der Wahrscheinlichkeit des gesamten Pfads "ohne Haustier/Familie", d. h. es gilt dort die Gleichung: 0,35 * x = 0,138. Das nach x umstellen, und du hast die Wahrscheinlichkeit des Astes von "ohne Haustier" nach "Familie". Danach kannst du dann die sämtliche noch offenen Wahrscheinlichkeiten des Baumdiagramms ermitteln.

Bei b) ist dann nach der bedingten Wahrscheinlichkeit "kein Haustier" unter der Bedingung "Single" gefragt.

Du hast wahrscheinlich versucht sin^(-1) von 2,2 (dem rechten abgelesenen x-Wert) zu berechnen, oder irgendeinem anderen Wert außerhalb des Intervalls [-1;1], denn nur für diesen Bereich ist sin^(-1) definiert, da sin(x) immer zwischen -1 und +1 liegt!

Wenn du so vorgehst wie in dem Buch, dann liest du einfach nur den linken x-Wert ab, bei dem der y-Wert den gewünschten Wert hat (bei deiner Aufgabe y=0,2). Dies ist auch der x-Wert, den dein Taschenrechner über sin^(-1)(y) ausgibt. Den nächsten x-Wert erhältst du, indem du pi minus erstem x-Wert ausrechnest (oder halt abliest).

Alle weiteren x-Werte ergeben sich, indem du zu/von deinen ersten beiden Werten jeweils Vielfache von 2*pi addierst/subtrahierst. Danach musst du dann schauen, welche von diesen Werten in dem angebenen Intervall liegen (bei deiner Aufgabe zwischen -2pi und +2pi).

x³ ausklammern, weil es sowohl in x^4 als auch in 4x³ vorkommt und dann den "Satz vom Nullprodukt" anwenden: ein Produkt wird Null, wenn einer der Faktoren Null wird, also hier entweder x³=0 oder Klammer=0.

Hier ist (mal wieder) die Musterlösung falsch!

Du kannst auch "zur Kontrolle" die Fläche überschlagen, indem du hier die rechteckigen Kästchen zählst (2 Kästchen à 0,5x1 FE=1 FE). Über 8 FE kommt man so auf gar keinen Fall, auf A=e²-1=ca. 6,4 FE schon eher...

Das beantwortet jetzt zwar nicht direkt deine Frage, da ich weder diesen Casio noch einen anderen Taschenrechner besitze, der Gleichungen lösen kann, aber vielleicht hilft das bei dieser Art von Aufgabe weiter... Was passiert denn in diesem Fall, wenn du die obere Grenze einfach x statt u nennst? Meckert dann der TR, weil die "Grenz-Variable" mit der "Lauf-Variablen" der Funktion übereinstimmt?

Beim händischen Berechnen würdest du ja nach dem Integrieren und anschließenden Einsetzen der Grenzen eine Gleichung mit der oberen Grenze als einzige Variable erhalten, egal ob diese nun u, x oder sonstwie heißt.

Die Vorgehensweise und Rechnung an sich sind korrekt, ALLERDINGS ist die obere Breite des Trapezes nicht a, sondern 2a, d. h. A(a)=(4+2a)/2*f(a) = (2+a)*f(a).

Damit liegt der Hochpunkt von A dann ein wenig weiter rechts und die maximale Fläche ist letztendlich etwas höher (habs mir jetzt nur graphisch angeschaut, nicht nachgerechnet).

Ich würd's mithilfe von Wertetabellen machen, indem du z. B. von x=-5 bis +5 die y-Werte ermittelst und einzeichnest (z. B. in 0,5er Schritten, um besser erkennen zu können wie der Verlauf der Graphen ungefähr aussehen könnte). Bei manchen Funktionen wird dieser Bereich schon zu groß sein, z. B. bei c).

Richtig, in jeder Stufe gehen von den vorherigen Knotenpunkten jeweils 2 Äste ab (gewonnen und verloren), mit den von dir genannten Wahrscheinlichkeiten, so dass das Baumdiagramm letztendlich 8 Pfade hat.

Ganz ohne Taschenrechner wüsste ich jetzt auch nicht, wie man das "relativ sauber" skizzieren soll. Da der Erwartungswert bei n*p=5*0,25=1,25 liegt, "müsste" der Balken bei k=1 am höchsten sein, aber das ist nur eine sehr ungenaue Aussage...

Oder dürft ihr lediglich die Binomialverteilungsfunktion des Taschenrechners (z. B. in diesem Fall binomPDF) nicht nutzen?

So müsstest du hier für P(X=0) den Term (3/4)^5 ausrechnen (=0,2373). Ist auch ohne Taschenrechner durchaus machbar, aber recht mühsam. Ich kann mir nicht vorstellen, dass das verlangt wird, schließlich geht es hier nicht vorrangig ums Üben von schriftlichem Multiplizieren, sondern um den Umgang mit der Binomialverteilung.

Also ich denke schon, dass ihr den Term "(n über k) * p^k * (1-p)^(n-k)" mit dem Taschenrechner ausrechnen dürft, aber eben nur diesen Term, indem ihr dessen Faktoren "manuell" multipliziert und nicht einfach "P(X=k)=Lösung" hinschreibt, die ihr mit der binomPDF-Funktion einfach ermittelt habt!

In der Mitte hast du: 0*1-(-2)*4=8, d. h. (4 8 -3) ist die korrekte Lösung.

Die Scheitelpunkte hast du außer bei Aufgabe g) alle korrekt (warum gibt es eigentlich keine Aufgabe f? [nur so ein Gedanke am Rande...]): dort muss es hinten +3 heißen (sicher Flüchtigkeitsfehler).

Bzgl. des Streckungsfaktors a (den hast du einige Male falsch): setze außer des Scheitelpunkts S(d|e) noch einen gut ablesbaren Punkt (x|f(x)) in die Scheitelpunktform ein und forme nach der einzig verbliebenen Variable a um.

Man kann das a auch einfacher ermitteln: gehst du vom Scheitelpunkt eine Einheit nach links oder rechts, dann ergeben die Einheiten senkrecht zur Parabel zurück genau das a. Ist der y-Wert eine Einheit neben S nicht gut ablesbar, gehst du eine Einheit weiter und zählst die Einheiten in y-Richtung. Diesen Wert musst du dann aber durch 2², also durch 4 teilen; gehst du 3 Einheiten weiter, dann durch 3², usw.

a) korrekt
b) gehst du vom Scheitelpunkt eine Einheit zur Seite, musst du 4 Einheiten nach unten, um wieder auf der Parabel zu landen, also a=-4
c) gehst du hier eine Einheit zur Seite, ist der Funktionswert (y-Wert) der Parabel nur schätzbar; gehst du aber zwei Einheiten zur Seite, landest du zwei Einheiten nach unten wieder auf der Parabel, also a=-2/2²=-2/4=-1/2
d) korrekt
e) drei Einheiten zur Seite und drei Einheiten runter zur Parabel zurück, ergibt a=-3/3³=-3/9=-1/3
g) eine Einheit zur Seite und drei runter, also a=-3/1² => f(x)=-3(x-2)²+3
h) zwei Einheiten zur Seite und sechs runter => a=-6/2²=-6/4=-3/2
i) eine Einheit zur Seite und vier hoch => a=4/1²=4
j) zwei zur Seite, 6 hoch => a=6/2²=6/4=3/2

Dü überlegst für jede Stelle wieviele Zeichen jeweils in Frage kommen.

Im ersten Fall hast Du für jede der 4 Stellen jeweils alle 20 Zeichen zur Auswahl, also 20*20*20*20=20^4 Möglichkeiten.

Im zweiten Fall fällt mit jeder Stelle ein Zeichen weg, weil ja keine Wiederholungen erlaubt sind, also sind's hier 20*19*18*17 Möglichkeiten.

Mit 6 Unbekannten ist es nicht schwerer als mit z. B. 3 oder 4, nur etwas mehr Rechnerei.

Gehst du "einfach" nach dem bekannten Schema vor, dann eliminierst du im ersten Schritt alle a's aus Zeile 2 bis 6, indem Du diese Zeilen mit der ersten Zeile verrechnest, also z. B.:
neue Zeile 2 (II') = Zeile 1 (I) + Zeile 2 (II),
(III') = 5 * (I) - (III)
(IV') = 5 * (I) - (IV)
usw.

Im nächsten Schritt dann mithilfe von Zeile 2 aus den Zeilen 3 bis 6 das b eliminieren, danach mit Zeile 3 aus den Zeilen darunter das c, usw., bis in der letzten Zeile nur noch das f steht, und dann wie gewohnt von unten nach oben alle noch unbekannten Variablen ermitteln.

Im Grunde schon: beim Wurzel vereinfachen kann es sein, dass sich nach "einigen" Umformungen die Wurzel komplett auflösen lässt, oder man aus dem umgeformten Term aus einzelnen Teilen die Wurzel ziehen kann.

Wenn die Aufgabenstellung "Wurzel vereinfachen" lautet und nicht dabei steht, dass man teilweise die Wurzel ziehen soll, wäre es aber nicht falsch/unvollständig, wenn man z. B. als Ergebnis Wurzel(8) stehen lässt, statt daraus noch 2*Wurzel(2) zu machen.