Bei der Summe hast Du die drei verschieden großen Flächen mal 2 genommen und diese Gesamtflächen dann addiert.

Beim Produkt rechnest Du die 3 verschieden großen Flächen zusammen und multiplizierst das dann mal 2...:

(2x * 1/2y + 6z * 1/2y + 6z * 2x) * 2 = (xy + 3yz + 12xz) * 2

Dies ist ein Produkt (auch wenn einer der Faktoren für sich eine Summe ist).

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Die Ableitungsregeln werden immer auf die Variable in der Klammer hinter dem "Funktionsnamen" abgeleitet, also nach der Variablen, von der die Funktion hauptsächlich abhängt, d. h. f(x) ["eff von icks"] wird nach x abgeleitet und f(t) nach t.

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Die Funktion beschreibt die Zuflussrate und die Fragen beziehen sich auch alle auf diese Zuflussrate, d. h. Du musst hier nicht irgendwie kompliziert "um die Ecke denken", wie es bei solchen Aufgaben manchmal der Fall ist:

a) einfach x=1 und x=4 in die Funktionsgleichung einsetzen
b) f(x)=5.000 nach x auflösen
c) f(x)=0 ausrechnen
d) Tiefpunkt ausrechnen ("Zuflussrate minimal" bedeutet dann quasi "maximale Abflussrate")

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Rechne erst einmal die "kleinen" Brüche aus, das geht problemlos im Kopf. Dann kannst Du die Zähler auch leicht zusammenrechnen (auch im Kopf) und dann durch die Nenner teilen.

Das geht viel schneller und einfacher als mit Taschenrechner, weil Du da mit jeder Menge Klammern hantieren musst, damit das richtige rauskommt...

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Die allgemeine Funktionsgleichung einer Parabel lautet f(x)=ax²+bx+c.

Bei einer Normalparabel gilt a=1, d. h. für Dich gilt hier f(x)=x²+bx+c.

1) Setzt Du jetzt die beiden Punkte ein, erhältst Du 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten. Dieses Gleichungssystem lösen und dann die Normalform in die Scheitelpunktform umwandeln.

2) Du kennst die Punkte (0|0) und (3,5|-6,5). Jetzt einfach die Steigung mit dem Differenzenquotienten "ausrechnen".

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Wie Du siehst wird eine Gleichung mit einer Waage verglichen bei der auf beiden Seiten die gleichen Gewichte liegen.

Damit das auch so bleibt, musst Du auf beiden Seiten der Waage immer das gleiche rechnen: d. h. die gleichen Werte addieren, subtrahieren, multiplizieren oder dividieren (später kommen noch andere Möglichkeiten hinzu...).

Ziel dabei ist, am Ende auf einer Seite nur noch 1x zu haben.

Bei der ersten Aufgabe x-12=48-19 könnte man die rechte Seite schon einmal ausrechnen und gleichzeitig die -12 durch die Rechnung +12 auf der linken Seite entfernen. D. h. Du erhältst x-12+12=29+12, und das ist ausgerechnet x=41.

Setzt Du jetzt zur Probe für x bei der obersten Waage den Wert 41 ein erhältst Du auf beiden Seiten 29.

Und da diese Lösung unten bei den Lösungen nicht zu finden ist, ist dieses Aufgabenblatt "absoluter Müll".

Bei der dritten Aufgabe 12*x=2*13 kommt noch nicht einmal eine ganze Zahl raus!! Um bei einer Multiplikation einen Faktor "loszuwerden" musst Du durch diesen teilen. Du musst ja von 12x auf 1x kommen, d. h. Du musst durch 12 teilen. Somit kommst Du auf 12x/12=2*13/12, und das ist ausgerechnet x=26/12=13/6.

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Wenn Du auf x- und y-Achse 2 Kästchen=1 Einheit wählst, dann musst Du, wenn Du 2 Kästchen nach rechts gehst 12 Kästchen nach unten!

Wählst Du 3 Kästchen=1 Einheit (nicht 1cm!!, denn 3 Kästchen haben eine Länge von 1,5 cm), dann musst Du bei 3 Kästchen nach rechts 18 Kästchen nach unten. Es kommt halt immer auf die gewählte Einheit an. Bei m=-6 geht's 1 Einheit nach rechts und 6 nach unten. Du könntest auch auf der x-Achse 2 Kästchen=1 Einheit wählen und auf der y-Achse z. B. 1 Kästchen=1 Einheit (ist jedoch ungewöhnlich und verzerrt die Gerade). Dann müsstest Du 2 Kästchen (=1 Einheit in x-Richtung) nach rechts und 6 Kästchen (=6 Einheiten in y-Richtung) nach unten. Jemand der dann nicht auf die Einheiten an der Achse achtet, sondern stattdessen Kästchen zählt, meint dann fälschlicherweise die Steigung sei -3!

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Zuerst rechnest Du f(0,5) und g(0,5) aus und zeigst so (wenn denn tatsächlich f(0,5)=g(0,5) gilt), dass bei x=0,5 ein gemeinsamer Punkt der beiden Funktionen liegt.

Damit dies ein "Berührpunkt" und kein Schnittpunkt ist, muss dort auch die Steigung beider Funktionen gleich sein, also f'(0,5)=g'(0,5) testen. Damit hast Du dann auch schonmal die Steigung m der Tangente. Jetzt noch den Berührpunkt in die Tangentengleichung einsetzen und den y-Achsenabschnitt ausrechnen.

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y ist der Bremsweg und x ist die Geschwindigkeit! Also einfach x=80 in die Gleichung einsetzen und ausrechnen.

Zum besseren Verständnis hätte man aber zugegebenermaßen in der Aufgabenstellung dazu schreiben sollen, dass y die Einheit m und x die Geschwindigkeit in km/h sein soll...

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Die Winkel kennst Du doch schon...: gamma muss 90° sein, weil c die Hypotenuse ist, und alpha ist dann das, was noch bis zur Winkelsumme 180° fehlt!

Für die Seiten einfach sin- oder cos-Formel anwenden:

sin(Winkel)=Gegenkathete/Hypotenuse

=> Gegenkathete=sin(Winkel) * Hypotenuse

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Laufe "einfach" gaaaanz gaaaanz langsam.

Wenn Du schon seit mehreren Wochen laufen gehst und 20-30 Minuten durchhältst (wahrscheinlich läufst Du,wie viele, für Deinen Fitnessstand viel zu schnell), wirst Du bei sehr langsamem Tempo mit kurzen, kraftsparenden Schritten ("kurz vorm Gehen") um einiges länger durchhalten!

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Die Definitionslücken sind bei x=-2 und x=1, d. h. als Funktion kommt nur die zweite Funktion in Frage.

Beide Definitionslücken sind Polstellen mit Vorzeichenwechsel, d. h. die beiden Exponenten a und b müssen ungerade sein, also hier gleich 1.

Jetzt musst Du noch überlegen, ob der jeweilige Zähler positiv oder negativ sein muss, damit die entsprechenden Grenzwerte an den Polstellen auch in die "richtige" Richtung laufen...

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Du meinst sicher "Parabel", da dort die Scheitelpunktform y=a(x-d)²+e lautet. "Hyperbel" nennt man u. a. die Graphen zu y=a/x...

Bei der Scheitelpunktform ist der Scheitelpunkt S bei (d|e). D. h. wenn Du die Parabel vorliegen hast, liest Du den Scheitelpunkt ab und setzt dessen x-Wert für d ein und den y-Wert für e. Den Streckungsfaktor a erhältst Du, indem Du vom Scheitelpunkt eine Einheit nach links oder rechts gehst. Das a ist dann der Wert, den Du nun in y-Richtung gehen musst, um wieder auf der Parabel zu landen.

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