Um Zeichnen zu können, formst Du Gleichung 1 nach y um, also y=-x+3; das wäre die Geradengleichung. Die andere Gerade lautet y=2.
Zum Lösen des Gleichungssystems setzt Du einfach y=2 in Gleichung 1 ein!
x+2=3 <=> x=1.
Der Schnittpunkt aus der Zeichnung ist die Lösungsmenge: (1|2).

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Du berechnest die Volumen der beiden Kugeln mit r=8 cm und r=10 cm (die Formel sollte bekannt sein), addierst diese und setzt das als Volumen für die neue Kugel an und rechnest deren Radius r damit aus. Dann kennst Du auch den gesuchten Durchmesser dieser neuen Kugel.

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Ein Produkt wird Null, wenn einer der Faktoren Null ergibt, d. h. hier:

entweder muss x-2² (soll das evtl. (x-2)² heißen?) Null werden, oder x-10 gleich Null.

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Bzgl. der Kosten hast Du 2 Punkte gegeben: P1(80|12000) und P2(140|15000).
Eine lineare Funktion lautet allgemein: f(x)=mx+b
Die Steigung erhältst Du, indem Du die Differenz der y-Werte durch die der x-Werte teilst, also m=(y2-y1)/(x2-x1)=(15000-12000)/(140-80)=3000/60=50
Somit lautet der "Zwischenstand" der Kostenfunktion: K(x)=50x+b
Jetzt noch einen der beiden Punkte einsetzen und b ausrechnen.
Der Erlös ist das, was man für eine Menge x bekommt. Hier bekommt man 16800 € für 140 ME, macht 16800€/140St=120 €/St, also E(x)=120x
Gewinn ist Erlös minus Kosten...

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Das ist Statistik.

Ganz oben wurde ein Mittelwert ermitteln, darunter die Varianz, und ganz unten die Standardabweichung.

Evtl. hier mal reinschauen für einen schnellen Überblick...:

https://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/standardabweichung-berechnen.html

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Sollst Du Nullstellen ausrechnen, dann bedeutet das, dass Du den angegebenen Funktionsterm gleich Null setzen sollst; Du stellst also die zu lösende Gleichung selbst auf und ermittelst die Unbekannte(n) (das x/die x'e).

Steht in der Aufgabenstellung bereits eine Gleichung (wahrscheinlich steht da dann nicht ...=0, sondern eine andere Zahl oder gar ein weiterer Term der das x enthält auf der rechten Seite), dann löst Du diese ebenfalls mit den bekannten Lösungswegen nach x auf.

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Zuerst solltest Du den Nenner zusammenfassen. Läßt Du ihn so, dann musst Du hierauf die Produktregel anwenden, was man durch Zusammenfassen "verhindern" kann...
also f(x)=1/(2x-x²)
Das kannst Du nun entweder mit der Quotientenregel lösen, oder Du formst den Bruch um, und wendest die Potenzregel an (an innere Ableitung denken!).

also: f(x)=1/(2x-x²) = (2x-x²)^(-1)
Jetzt Potenzregel mit innerer Ableitung:
f'(x)=(-1) * (2x-x²)^(-2) * (2-2x) = -(2-2x)/(2x-x²)² = (2x-2)/(2x-x²)²

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Ganz rechts ist der Graph der Funktion f(x)=1/x.

Vergleichst Du das mit dem Graphen bei a), dann siehst Du, dass die y-Werte bei a) alle um eine Einheit nach oben verschoben sind (die "Kurven" an sich sehen gleich aus). f(x), also 1/x, gibt den y-Wert der jeweiligen x-Stelle an. Bei g(x) sind die Funktionswerte um 1 erhöht, also f(x)+1, d. h.: g(x)=f(x)+1=1/x+1
allgemein: eine Funktion wird um a Einheiten in y-Richtung verschoben, indem man die Funktionswerte mit a addiert: f um a Einheiten verschieben: g(x)=f(x)+a

bei b) siehst Du, dass die Kurve etwas Richtung x-Achse gedrückt wurde. Der Graph ist "gestaucht", d. h. der Funktionsterm (1/x) wurde mit einem Faktor zwischen 0 und 1 multipliziert. Bei x=1 scheint der y-Wert bei 0,5 zu sein, d. h. (Werte in f(x) einsetzen): 0,5=a * 1/1, d. h. a=0,5. Somit lautet die Funktion g: g(x)=0,5 * 1/x = 1/2 * 1/x = 1/(2x)

bei c) ist der Graph um eine Einheit nach links verschoben; die Kurve ist ansonsten wie bei f. Ein Graph wird um a Einheiten in x-Richtung nach links verschoben, indem man f(x+a) rechnet. D. h. in diesem Fall: g(x)=f(x+1)=1(x+1)
zum Verständnis: die y-Werte, die bei g an der Stelle x sind, sind bei f erst eine Einheit weiter rechts, daher +1. Sollst Du einen Graphen um a Einheiten nach rechts verschieben, musst Du entsprechend f(x-a) rechnen.

bei d) haben die Funktionswerte alle das entgegengesetzte Vorzeichen. Der Graph f wurde an der x-Achse gespiegelt. Das erreicht man durch Multiplikation mit -1, also:g(x)=-1 * f(x)= -1 * 1/x = -1/x

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Du formst so um, dass die Wurzel alleine auf einer Seite steht; dann beide Seiten quadrieren und die Wurzel ist weg.

Bei dieser Aufgabe wirst Du ohne Näherungsverfahren nicht auf die Lösung kommen können, da Du weder Substituieren noch Ausklammern noch eine ganzzahlige Lösung erraten kannst...

Und, wie YStoll schon geschrieben hat: hast Du beim Umformen quadriert, dann ist es absolut notwendig, die letztendlich erhaltenen Lösungen auf Richtigkeit zu überprüfen!

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Du musst in die Form (x+a)(x+b) kommen.

Du musst überlegen (Stichwort "Satz von Vieta"), welche Zahlen a und b addiert -2 ergeben und multipliziert -3 (klappt natürlich nur recht einfach, wenn die Zahlen a und b ganzzahlig sind).

Um auf -3 zu kommen gibt es nur die beiden ganzzahligen Möglichkeiten 1 * (-3) und (-3 * 1). Wenn jetzt eine von denen addiert -2 ergibt hast Du Deine Zahlen...

Sollte das nicht so funktionieren (und das wird später eher der Fall), dann mußt Du den Term gleich Null setzen und so die "Nullstellen" ausrechnen (z. B. mit pq- oder abc-Formel). Die Gegenzahlen zu den Ergebnissen sind dann a und b... (aber das ist hier nicht nötig und sicher nicht von der Aufgabenstellung gewollt)

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Aus den Angaben kannst Du 2 Gleichungen aufstellen. Eine, in der Du die Anzahl Sitze z. B. x) und Reihen (z. B. y) gegenüberstellst und eine Gleichung, die die Gesamtzahl an Sitzen angibt.

Dann löst Du dieses Gelichungssystem, indem Du eine Gleichung nach x oder y umstellst, und das in die andere einsetzt. Du erhältst eine quadr. Gleichung, die Du wie gewohnt löst.

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Du hast die Fläche mit a * b = 120 angesetzt, es gilt aber beim rechtwinkligen Dreieck 1/2 * a * b = 120; dann kommst Du auch auf die Musterlösung.

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Ihr wollt rausfinden, wer von euch alle Aufgaben lösen kann und Du fragst dann hier?

Das ist sicher nicht Sinn des Versuchs...

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Du kannst die Potenzen erst einmal zusammenrechnen...:
(geht sicher noch auf andere, evtl. stilvollere od. einfachere Weise, als wie meine nun folgende)

24^-5=1/24^5, das mal 9^5 ergibt 9^5/24^5=(9/24)^5. Die Basis kann man durch 3 kürzen, also =(3/8)^5.

Jetzt kommt die Potenz 16^4 ins Spiel: 16^4 * (3/8)^5
Damit man beide Potenzen verrechnen kann, muß man entweder gleiche Basen oder gleiche Exponenten haben, also: = 16^4 * (3/8)^4 * (3/8)

das jetzt noch "etwas" umformen und zusammenfassen...:
= [16 * 3/8]^4 * 3/8 = 6^4 * 3/8 = (2 * 3)^4 * 3/8 = 2^4/8 * 3^4 * 3 = 2^4/2³ * 3^5 = 2 * 3^5 = 486.

also: 486 * 3^(-x) = 6 |:6
81/3^x = 1 |* 3^x
81 = 3^x
3^4 = 3^x
Beide Basen sind gleich, also müssen auch die Exponenten gleich sein, also:

4=x

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Hast Du einen Wendepunkt ermittelt, dann ist dort, verglichen mit der unmittelbaren Umgebung, der Betrag der Steigung entweder am Geringsten, nämlich 0 (=Sattelpunkt) oder der Betrag ist am größten (bei "normalen" Wendepunkten).

Richtung Sattelpunkt nimmt der Betrag der Steigung immer weiter ab (die Kurve wird flacher), um hinter dem Sattelpunkt wieder zu steigen.

Richtung normalem Wendepunkt steigt der Betrag der Steigung (die Kurve wird steiler); hinter diesem Wendepunkt nimmt dieser dann wieder ab.

Das heißt aber nicht, dass am Wendepunkt die höchste Steigung der gesamten Funktion ist; genausowenig wie am Hochpunkt der höchste Funktionswert der Funktion sein muss...

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Die Steigung ist das Verhältnis der Veränderung der y-Werte zur Veränderung der x-Werte.

Am Steigungsdreieck veranschaulicht ist es die Länge der senkrechten Seite (y-Änderung) durch die Länge der waagerechten Seite (x-Änderung).

Das m stellt zwar die Steigung dar, das ist aber keine Erklärung dafür, was dieser Wert bedeutet bzw. wie er zustande kommt...

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Eine ganzrationale Funktion dritten Grades, also allgemein f(x)=ax³+bx²+cx+d geht durch Ursprung, also durch (0|0). x=0 und f(0)=0 in die allgemeine Funktion eingesetzt, ergibt d=0, also bleibt erst einmal f(x)=ax³+bx²+cx übrig.
Bei x=1 soll ein Maximum sein, d. h. f'(1) muß Null sein (notwendige Bedingung für eine Extremstelle). Bei x=2 soll eine Wendestelle sein, d. h. f''(2) muß Null sein (notwendige Bedingung für eine Wendestelle). Dann soll die Fläche zwischen Null und zwei gleich 6 Einheiten groß sein, also F(2)-F(0)=6. Nachdem Du integriert hast, wirst Du sehen, dass F(0)=0 ist, also bleibt F(2)=6 übrig.

Damit Du aus diesen Angaben ein Gleichungssystem machen kannst, musst Du nun die allgemeine Funktion zweimal ableiten und einmal integrieren.

Du erhältst drei Gleichungen, die es nun aufzulösen gilt.

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