2a) geht x->∞ geht 1/x gegen 0 und somit ist der Grenzwert für e^(1/x) gleich 1, d. h. der Grenzwert von f(x) ist für x->∞ gleich 0.

Von rechts gegen 0 läuft der Exponent 1/x Richtung ∞, und somit e^(1/x) und damit f(x) auch (-1 hinten im Funktionsterm spielt keine Rolle).

Von links gegen 0 läuft 1/x gegen -∞, d. h. für e^(1/x) als Grenzwert 0 (e^(-∞)=1/e^∞)), d. h. f(x) läuft dann gegen -1.

Bei b) musst Du die Teilfunktionen betrachten, die für die gesuchten Grenzwerte in Frage kommen, d. h. für x->0 von links musst Du die obere Funktion betrachten und für x->0 von rechts und für x->∞ die untere. Die entsprechenden Grenzwertermittlungen sollten kein Problem sein...

Du teilst die angegebenen Kalorien durch die zugehörige Grammzahl (meist pro 100g, oder auch pro Portion, z. B. 20g) und multiplizierst dann mit der Grammzahl die du abgewogen/vorliegen hast bzw. essen möchtest.

Gesucht ist der Graph einer Stammfunktion zu der abgebildeten Funktion, d. h. was Du dort siehst ist der Graph der Ableitungsfunktion des Graphen den Du zeichnen sollst.

Da keine Anfangspopulation angegeben ist, beginnst Du den Graphen auf der y-Achse irgendwo über der x-Achse (im Negativen wäre ja für eine Population auch unlogisch). Dann steigt der Graph bis er beim gezeigten Hochpunkt seinen Wendepunkt und bei der Nullstelle bei x=2 seinen Hochpunkt erreicht. Bei x=3 erreicht der Graph dann seinen nächsten Wendepunkt und bei x=4 seinen Tiefpunkt - und das alles oberhalb der x-Achse. Sind die Flächen zwischen den Nullstellen gleich groß? Kann ich gerade schlecht abschätzen... Wenn ja, dann sollte der Graph bei x=4 auf gleicher Höhe sein wie bei x=0, weil dann von 0 bis 2 die Populationssteigerung genauso groß ist wie anschließend die Minderung von 2 bis 4.

Sollen g und h zwei Geraden sein, deren Lage zueinander bestimmt werden soll? Wenn ja: wo ist der Ortsvektor von g?

Außerdem: beim Gleichsetzen musst Du einen der beiden Parameter umbenennen. Dann berechnest Du die beiden Variablen mit zwei der drei Gleichungen und prüfst beide dann in der dritten Gleichung.

6.1 Das Baumdiagramm ist falsch: zum einen sind die Wahrscheinlichkeiten 10-tel (ungekürzt) und nicht 6-tel, zum anderen hast Du im zweiten Schritt nicht berücksichtigt, dass die Sektoren verändert werden!

6.2 stimmt: die Wahrscheinlichkeit für weiß ist beim ersten Drehen 7/10, und für rot oder grün entsprechend 3/10. Bei weiß bleibt das Glücksrad unverändert...

6.3 bei P(A) hast Du einen Wert größer als 1 raus - das kann ja nicht stimmen, Wahrscheinlichkeiten sind immer zwischen 0 und 1 (jeweils einschließlich)! Wenn Du das Baumdiagramm richtig machst (mit allen Pfadwahrscheinlichkeiten hinten dran), dann kannst Du Deine Ergebnisse leicht prüfen, indem Du die passenden Pfade addierst...

P(A)=1 - (3/10 * 4/10) = 1-12/100 = 88/100 = 88 %
P(B)=1/10 * 2/10 + 2/10 * 3/10 + 7/10 * 7/10 = ...
P(C)=3/10 * 4/10 = ...
P(D)=1 - P(B) = ...

6.4 der Spieler gewinnt, wenn keinmal weiß erscheint, also: p=1-P(A)

6.5 E=Gewinnerwartung des Veranstalters:

E=2 * P(A) - 28 * (1/10 * 2/10) - 10,5 * (1/10 * 2/10 + 2/10 * 1/10) - 3 * (2/10 * 3/10) = ...

6.6 Setze E=0 und statt hinter der 3 (=5 € Auszahlung minus 2 € Einsatz) setzt Du allgemein ein x und löst danach auf... Anschließend musst Du dann x+2 rechnen, weil ja nach dem Auszahlungsbetrag gefragt ist - in dieser Rechnung von E sind ja die 2 € Einsatz von der Auszahlung abgezogen.

Wenn der Ortsvektor A die Länge 3 hat und P 1,5 Einheiten von A entfernt sein soll (also in diesem Fall auf halbem Weg von 0 nach A), dann gilt P=0,5 * A

Q liegt bei einem Abstand von d=1,5 eine halbe Länge weiter weg, d. h. Q=1,5 * A

b) hier hat Ortsvektor A die Länge 13. P soll die Länge d=2 davon entfernt sein, also hat P von 0 aus gesehen die Länge 13-2=11, d. h. P=11/13 * A, usw.

Nachtrag: sehe gerade, dass die Lösungen (Nr. 21) nicht die der gezeigten Aufgabe (Nr. 18) sind.

Bei 10-maligem Spiel ein Gewinn von 8,- € bedeutet pro Spiel einen Gewinn von 0,8 €.

D. h. Du musst nun mit unbekanntem Einsatz den Erwartungswert gleich 0,8 setzen.

Und der Erwartungswert bzgl. des Gewinns ist ja bekanntlich die Summe aus "Wahrscheinlichkeit mal Gewinn" aller "Gewinnstaffeln", also hier: E=1/6 * (3-x) + 2/6 * (1,5-x) - 3/6 * x.

D. h. Du musst das nun für E=0,8 nach x auflösen (x=Einsatz pro Spiel).

x²+11x+31,25=-x²-9x-14,25 |alles nach links
2x²+20x+45,5=0 |:2
x²+10x+22,75=0 |pq-Formel
x=-5+-W(25-22,75)=-5+-W(2,25)=-5+-1,5

x1=-5-1,5=-6,5; x2=-5+1,5=-3,5

Jetzt die y-Werte ausrechnen sollte kein Problem sein...

Was ist denn hier überhaupt die Aufgabe...?

So wirst Du zumindest die Minuszeichen los:

Um zuerst einmal die negativen Winkel loszuwerden, addierst Du jeweils 360° hinzu, d. h. Du wanderst einen kompletten Vollkreis weiter und landest wieder da, wo Du gestartet bist, d. h. z. B. cos(-20°)=cos(-20°+360°)=cos(340°).

Jetzt ist hier aber nicht cos(340°) gefragt, das wäre im Einheitskreis die positive Kathete auf der x-Achse, sondern die nach links gespiegelte Kathete. D. h. Du musst im Einheitskreis das Dreieck mit Winkel 340° an der y-Avhse spiegeln und erhältst so den Winkel (180°+20°)=200°, denn: 340° bedeutet, von 360° um 20° nach unten gehen; auf der "anderen (linken) Seite" bedeutet 20° nach unten gehen +20°, und die linke Seite gegenüber von 0° entspricht 180°.

Also: -cos(-20°)=cos(200°)

Als konstante Faktoren bleiben die Zahlen erhalten, konstante Summanden fallen weg.

Klingt banal, aber Du musst auf jedes Wort achten und was das dann genau bedeutet...: oft wird der Fehler gemacht, dass man z. B. beim Wortlaut "weniger als x" als Gegenereignis "mehr als x" annimmt, was dann zur Folge hat, dass das "arme x" nicht berücksichtig wird.

Geht es um Zahlen, dann überlegst Du am besten, welche Zahlen für eine Beschreibung in Frage kommen, und was das dann für das "Gegenteil" bedeutet.

So bedeutet z. B. "maximal 10" (mathematisch <=10), dass alles bis einschließlich 10 dazu gehört, und somit alles größer als 10 (mathematisch >10) nicht mehr.

1) Eine Geradengleichung besteht aus dem "Startpunkt" (dem Ortsvektor) plus eines Vielfachen des Richtungsvektors.

Als Startpunkt nimmst Du einen der beiden gegebenen Punkte und als Richtungsvektor die Differenz der beiden Punkte, z. B.:
1. Gerade: A als Startpunkt; Richtungsvektor B-A
2. Gerade: B als Startpunkt; Richtungsvektor B-A
3. Gerade: A als Startpunkt; Richtungsvektor A-B

2) Du setzt die gegebene Geradengleichung mit dem zu prüfenden Punkt gleich, machst dann daraus für jede Koordinate (x, y, und z) eine eigene Gleichung und rechnest von allen das t aus. Kommt bei allen 3 Gleichungen derselbe Wert für das t raus, dann liegt der Punkt auf der Geraden, ansonsten nicht.

Was soll denn gemacht werden...?

Geht es darum, f(x)=-0,1x²+x+1 in die Scheitelpunktform zu wandeln, dann wird zuerst -0,1 ausgeklammert, d. h. die Vorzeichen in der Klammer werden sich alle ändern.

Sollst Du die Nullstellen mit der pq-Formel berechnen, dann wird nach aufstellen der Gleichung -0,1x²+x+1=0 zuerst durch -0,1 geteilt, damit vorne 1x² steht und man die pq-Formel anwenden kann. Und durch dieses Teilen durch -0,1 ändern sich ebenfalls alle Vorzeichen.

a) ist falsch für die Sonderfälle p=0 und p=1, denn:

bei p=0 gilt z. B. P(X=0)=1 und P(X=1)=0 => P(X<=0)=P(X<=1) und nicht P(X<=0)<P(X<=1)

bei p=1 gilt P(X=0)=0, P(X=1)=0 => ebenfalls P(X<=0)=P(X<=1)

Für alle anderen p's sind die Wahrscheinlichkeiten P(X=k) "theoretisch" ungleich Null, und somit werden dann auch die kumulierten Wahrscheinlichkeiten mit größeren k's größer.

b) falsch, als Gegenbeispiel kannst Du da auch einfach den Teil a) nehmen...

c) falsch, wenn Du die Erfolgswahrscheinlichkeit p erhöhst, dann verringert sich die Wahrscheinlichkeit für die "kleinen" Trefferanzahlen k.
Beispiel: Basketballspieler 1 trifft mit einer Wahrscheinlichkeit von p=5 % in den Korb, Spieler 2 mit 90 %iger Wahrscheinlichkeit. Es wird 10mal geworfen.
Dass Spieler 1 maximal 2-mal in den Korb trifft ist hierbei höher als bei Spieler 2, denn Spieler 2 wird höchstwahrscheinlich deutlich öfter treffen, d. h. für Spieler 2 ist maximal "nur" zweimal zu treffen recht unwahrscheinlich...

zu 1) es wird MIT Zurücklegen gezogen, d. h. 3+3=6 und 4+4=8 gehören auch noch dazu

zu 2) hier würde ich ein Baumdiagramm anlegen und für alle möglichen Ausgänge die Wahrscheinlichkeiten berechnen, d. h. Du beginnst mit 3 Ästen (mit "1", "3" und "4") und von jedem Ast gehen diese Äste nochmal ab.
So kommst Du dann an die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Summen S und kannst diese z. B. durch Stabdiagramme darstellen, d. h. Du notierst unten auf der x-Achse die möglichen Summen S und auf der y-Achse die Einteilung der Wahrscheinlichkeiten.

Was meinst Du denn mit "auf der Geraden und/oder auf der Strecke"?

Eine Strecke ist quasi eine begrenzte Gerade.

Hier geht es doch generell um Geraden! (g: Vektor x=Ortsvektor + r * Richtungsvektor).

Erhältst Du bei der Punktprobe für jede Koordinate (x, y und z) denselben Wert für den Parameter r, dann liegt der geprüfte Punkt auf der Geraden, fertig! Wenn Du das r "unbedingt" interpretieren möchtest: je größer der Betrag von r, desto weiter liegt der geprüfte Punkt vom "Startpunkt" (Ortsvektor) der Geraden entfernt. Denn Du beginnst ja am Startpunkt und bewegst Dich von dort r-mal um den Richtungsvektor auf der Geraden zum entsprechenden Punkt. Ist das r negativ, dann geht es in die entgegengesetzte Richtung des Richtungsvektors.

Bzgl. der Lagebeziehung: zuerst prüfst Du, ob die Richtungsvektoren vielfache voneinander sind. Wenn ja, dann sind die Geraden entweder identisch oder parallel; wenn nicht dann sind sie entweder windschief oder haben einen Schnittpunkt.

Danach ermittelst Du aus dem LGS mit 2 der 3 Gleichungen (egal ob die bzgl. x und y, oder x und z, oder y und z) die Parameter r und s (oder wie sie auch immer heißen mögen) der setzt deren Werte in die übrige Gleichung ein. Kommt ein wahres Ergebnis raus, dann sind die Geraden identisch (im Falle, dass die Richtungsvektoren vielfache sind) bzw. haben einen Schnittpunkt, falls die Richtungsvektoren keine vielfachen voneinander sind. Kommt bei der dritten Gleichung ein falsches Ergebnis raus, dann sind die Geraden parallel bzw. windschief.

Bringst Du bei a) und b) die Matrizen in die Stufenform, wirst Du bei a) in der dritten Zeile alles Nullen stehen haben, also gilt dort rg(A)=2, und bei b) ist die letzte Zeile von a abhängig: ist a=0, ist die komplette letzte Zeile 0, also rg=2, ist a≠0, dann ist die letzte Zeile nicht 0, also rg=3.

Bei c) berechnest Du die Determinante und berechnest, für welche c diese Null wird. Mit diesen c's ist die Matrix nicht invertierbar, mit allen anderen schon (det=-2c²+4c+16, also det=0 für c=-2 und c=4)

a) ist korrekt: aus den drei "Startästen" kann man ablesen, dass es sich um 13 Kugeln handelt (Nenner=13) und im Zähler steht die Anzahl Kugeln der jeweiligen Farbe

b) die Wahrscheinlichkeit eines Pfades erhält man, indem man die Wahrscheinlichkeiten der beiden zugehörigen Äste multipliziert.

So hat z. B. der Pfad ganz rechts (weiß/weiß) die Wahrscheinlichkeit 10/13*10/13=100/169

"Mindestens eine weiße Kugel" bedeutet, dass alle Pfade in Frage kommen, bei denen mindestens ein weißer Ast dabei ist, also hier 5 Äste. Die gefragte Wahrscheinlichkeit ergibt sich aus der Addition der Wahrscheinlichkeiten der in Frage kommenden Pfade

c) hier musst Du zuerst ein neues Baumdiagramm machen, weil sich die Wahrscheinlichkeiten aller zweiten Äste ändern: es sind dort nur noch 12 Kugeln in der Urne und die zuvor gezogene Farbe reduziert sich um 1. So ist z. B. hier die Wahrscheinlichkeit des letzten Pfades (weiß/weiß) nun 10/13*9/12=10/13*3/4=5/13*3/2=15/26.

Letztendlich wieder die Wahrscheinlichkeiten aller in Frage kommenden Pfade addieren.

Rechts im dunklen Kasten siehst Du die drei Möglichkeiten, wie man die Funktionsgleichung einer Parabel notieren kann: in der Scheitelpunktform, Nullstellenform (faktorisierte Form) oder in der allgemeinen Form (Normalform).

Ist der Scheitelpunkt eindeutig erkennbar (oder wie hier konkret angegeben), würde ich immer auch die Scheitelpunktform nehmen (auch wenn zusätzlich beiden Nullstellen bekannt sind wie bei Beispiel a) und c) ). D. h. Du setzt die Werte des Scheitelpunkts S(b|c) in die Scheitelpunktform für die Parameter b und c ein (bei negativen Werten diese "sicherheitshalber" immer zuerst in Klammern einsetzen), und liest zusätzlich noch einen gut ablesbaren Punkt P(x|y) ab und setzt dessen Werte für x und y ein. Somit hast Du eine Gleichung, in der nur noch das a unbekannt ist.

Kennst Du 2 Nullstellen (x1|0) und (x2|0), setzt Du deren x-Werte für x1 und x2 ein plus die Koordinaten eines weiteren Punktes für x und y, sodass wieder nur das a als Unbekannte übrig bleibt.

Kennst Du weder Nullstellen noch Scheitelpunkt (bzw. kannst diese nicht eindeutig ablesen), dann benötigst Du 3 gut ablesbare Punkte, setzt deren Werte in 3 Gleichungen der allgemeinen Form für x und y ein und musst in diesem Fall "leider" das so entstehende Gleichungssystem lösen.

Beispiel a): der Scheitelpunkt S(2,5|-9) ist gegeben, also in Scheitelpunktform einsetzen: y=a(x-2,5)²+(-9)=a(x-2,5)²-9. Jetzt brauchst Du noch einen weiteren Punkt, z. B. die Nullstelle (1|0): 0=a(1-2,5)²-9.

Jetzt die rechte Seite ausrechnen und nach a auflösen:
a(-1,5)²-9=0 |+9
2,25a=9 |:2,25
a=9/2,25=4 => y=4(x-2,5)²-9

Ist keine spezielle Form angegeben, würde ich die gewählte Form dann auch so stehen lassen, und nicht etwa in die allgemeine Form umstellen.

Bei dem Punkt R war das x bekannt, und Du hast dessen Wert für x in die Funktionsgleichung eingesetzt. Jetzt ist y bekannt, also f(x), d. h. Du setzt links die 0 ein und rechnest x aus.

In diesem Fall klammerst Du zuerst x aus, und erhältst so x * (quadr. Term) = 0. Diese Gleichung wird Null, wenn entweder das x Null wird oder der quadr. Term...