wie prüft man eine ganze Funktion auf stetigkeit, wenn ich z. B. habe arctan(x), ist ja stetig, aber woher weiß man das?

Der Tangens ist auf dem Bereich, wo man ihn invertieren will, streng monoton, stetig und surjektiv.

Somit ist die Umkehrfunktion auch stetig.

Siehe:

https://de.m.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Stetigkeit_der_Umkehrfunktion

Überprüf 1/(1+x^2) auf Stetigkeit. Daraus folgt die stetige differenzierbarkeit und dementsprechend Stetigkeit der Stammfunktion arctan(x)