Kurvendiskussion ( KD ) ist mein Hobby; deshalb mach ich sie dir ja gerne. Wie du weißt, beginnen wir immer mit den Nullstellen.

   y = f ( x ) := x ^ 4 - 8 x ³ + 21 x ² - 20 x + 4 ( 1 )

http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^4+-+8x^3+%2B+21x^2+-20x+%2B4

Ja ich weiß ich bin feige. Ich hab sie erst mal Wolfram übergeben. Das enthebt dich aber keiner eigenen Anstrengung, im Gegenteil. Dem Forum ===> Lycos weine ich noch heute manche Träne nach. Nach meiner 4 711. Sperrung bin ich endgültig draußen. Was bei denen eindeutig besser war; die unmittelbare Rückmeldung von den Fragestellern. ( Hier wenn du mir eine Mitteilung zukommen lassen willst. Bitte etwas, was online ganz dick blinkt und wo ich nur noch drauf klicken muss; alles andere übersehe ich. ) Und von der Publikumsbefragung bekam ich eben ganz schnell mit, dass die kein einziges Wort von mir verstanden. Hände ringend versuchte ich denen also zu vermitteln, dass Polynome Symmetrien aufweisen ( können ) Und dass das evtl. wichtig sein könnte. Und die waren jetzt von ihrem Schrat voll darauf abonniert, Nullstellen zu RATEN , sei das ultimativ höchste der Gefühle. Also schön; lassen wir uns von Wolfram überraschen. In aufsteigender Reihenfolge sortiert, spuckt Wolfram die folgenden 4 Knoten aus, die ich als ( endliche ) ===> Folge notiere ( Waren Folgen schon dran? )

       x < n > = < 2 - sqr ( 3 ) , 2 , 2 , 2 + sqr ( 3 ) > ; n = 1 , ... , 4 ( 2a )

     ( Die Nullstelle in x = 2 zählt doppelt; hier berührt der Graf und schneidet nicht nur; s.u. )

    " Was sagt uns das? Nix. Und was haben wir davon? Wieder nix ... "

Netter Kalauer; aber jetzt geht's echt ans Eingemachte. Ein gerades Polynom ( hier: 4. Grades ) KANN Achsensymmetrie aufweisen, muss aber nicht. Hier nun gilt es nachdrücklich einem geistigen Kurzschluss entgegen zu treten, den euch eure Lehrer in den Kopf gesetzt haben. Du glaubst vielleicht, wenn gerade und ungerade Exponenten gemischt vorkommen so wie hier, sei das schon hinreichend für " keine Symmetrie " Wer sagt dir denn, dass die Symmetrieachse ausgerechnet bei x = 0 verläuft ? Aus dem Studium Zahl reicher Internetforen gewann ich viel mehr den Eindruck, dass du einer Gleichung wie ( 1 ) explizit keine Info entnehmen kannst; ja mein eigener Kenntnisstand auf dem Gebiet reicht weiter als jene Foren. Gleich das Erste, worauf ich stieß. Aus Folge ( 2a ) kannst du dir eine notwendige und hinreichende Bedingung für Symmetrie schnitzen; bilde bitte die ===> Differenzenfolge von ( 2a )

    d < n > = < sqr ( 3 ) ; 0 ; sqr ( 3 ) > ; n = 1 , 2 , 3 ( 2b )

     Rein für die Anzahl der Elemente in ( 2b ) ist schon wichtig, dass x2 in ( 2a ) doppelt gezählt wurde; sonst käme es ja falsch heraus. Symmetrie liegt vor dann und nur dann, wenn ( 2b ) Spiegel symmetrisch ist gegen das mittelste Elememt d2 - also ja. Bitte versteh mich richtig; du kannst ja schon mal ins Unreine denken, welche Eigenschaften ein Polynom 4. Grades hat, in dem nur gerade Exponenten vorkommen. Das Dingsbums ist halt nur in x-Richtung verschoben; und das Symmetriezentrum xs gilt es zu ermitteln. In ( 2a ) gilt die Beziehung

     xs = 1/4 ( x1 + x2 + x3 + x4 ) = ( 3a )

          = 1/2 ( x1 + x4 ) = 1/2 ( x2 + x3 ) = 2 ( 3b )

      Und jetzt hast du mich glaub ich erstmals verstanden.

    " Können wir das auch ohne Wolfram? Und gibt es einen Algoritmus, xs zu errechnen, OHNE AUCH NUR ZU WISSEN, ob ( 1 ) überhaupt Nullstellen hat? ( Warum sind reelle Wurzeln nicht zwingend? ) " Was ich hierzu in den Übungsforen des Internet fand, war echt Haar sträubend. Meine Empfehlung: Aktiviere doch mal deine Kenntnisse über die ===> Taylorentwicklung; dann merkst du quasi sofort, was hier abgeht. Wenn wir ( 1 ) um den beliebigen Punkt x0 entwickeln

     f ( x0 + h ) = f ( x0 ) + h f ' ( x0 ) + ( 1/2 ) h ² f " ( x0 ) + ( 1/3 ! ) h ³ f(³) ( x0 ) + h ^ 4 ( 4a )

      h := x - x0 ( 4b )

      Der Term 4. Ordnung, " h hoch 4 " , geht mit Koeffizient Eins ein - unabhängig von der Wahl von x0. Deshalb werden wir Glieder mit gerader Symmetrie niemals aus dem Polynom eliminieren. Jetzt folge mal meinem Gedankengang. Die 3. Ableitung eines Polynoms vom 4. Grade ist selbst vom ersten Grade; und lineare Gleichungen können wir ja lösen. Es gibt ein und nur ein x0 , welches dadurch ausgezeichnet ist, dass

       f(³) ( x0 ) = 0 ( 4c )

      f ( x0 + h ) = f ( x0 ) + h f ' ( x0 ) + ( 1/2 ) h ² f " ( x0 ) + h ^ 4 ( 4d )

     Jetzt sind wir schon am Anschlag; mehr Freiheitsgrade sind ja nicht mehr. Wir können nur noch beten, dass uns die erste Ableitung eben Falls den Gefallen tun möge zu verschwinden:

     f ' ( x0 ) = 0 ( 4e )

     f ( x0 + h ) = f ( x0 ) + ( 1/2 ) h ² f " ( x0 ) + h ^ 4 ( 4f )

     Klar, was ich mit ( 4f ) erreiche? Eine echte Knochenmühle harrt unser; Polynom ( 1 ) um x0 in ( 4c ) in eine Taylorreihe entwickeln - Schreck lass nach. Erst mal die ganzen Ableitungen:

  Es gibt da irre Dinger; die ===> Kochsche Schneeflockenkurve. Eine Funktion, die überall ===> stetig, aber nirgnds differenzierbar ist. Wir wissen sogar, dass eine Funktion auf einem Interrvall nuir dann monoton sein kann, wenn sie f.ü. differenzierbar ist.

   Die Menschheit brauchte JAHRTAUSENDE , um da durch zu steigen. Die ersten verlässlichen Fassungen dieser Theorie sind im Übrigen nicht wesentlich älter als 1890.

   Eure Lehrer tun immer so, als sei " eben mal alles grade ganz einfach " ...

  Lass dich nicht verwirren. Beides ist nämlich das Selbe; es ist nur

    h = b - a  ( 1 )

   Das heißt übrigens DIFFERENZENquotient ( DQ ) ( Sehnensteigung ) was ein " Differenzialquotient " ist, lass ich erst mal weg. Das würde dich bloß zu sehr verwirren.

   Mausi; hast du echt noch nie ===> interpoliert? Ach so; heut braucht's ja keine Tabellenwerke mehr wie etwa ===> Logaritmentafeln; wir konnten das noch

   " Jaja; die Jugend von Heute ... "

   Da gibt es übrigens eine Alternative. Ich jeden Falls finde sie voll schick; Mangoldt lässt sich leiten von der Beobachtung, dass die Studenten von dem DQ immer so verworren sind.

   " Durch h = 0 darf man doch nicht dividieren; also was wird denn nun aus dem DQ für h = 0 ? "

   Er begründet die Ableitung ohne eine einzige Division.

   f ( x0 + h ) = f ( x0 ) + h [ f ' ( x0 ) + R ( x0 ; h ) ]     ( 2 )

   In Worten. Wir wollen die Funktion in ( x0 + h ) ausdrücken durch ihren Wert in x0 . also den ersten Term f ( x0 ) verstehst du.

   Und jetzt wird gesagt, es kommt etwas dazu, das geht linear oder proportional mit h . Bloß der Faktor, wie steil dass es ansteigt, das ist gerade diese eckige Klammer. Was steht da drin?

   Der erste Term in der Klammer ist f ' ( x0 ) und hängt NUR von x0 ab und nicht von dem Inkrement h . Dieses f ' definiere ich als " Ableitung " in x0 . Die Ableitung alleine würde also bewirken, dass die Funktion um h f ' wächst - voll linear wie eine Gerade auch.

   Wenn aber die Kurve krumm verläuft, dann heißt das doch nichts, als dass diese eckige Klammer in Abhängigkeit von h " dynamisch " angepasst werden muss. Das leistet das Restglied R , welches i.A. so wohl von x0 als auch von h abhängt.

   Die eckige Klammer alles zusammen ist die Sehnensteigung; aaber. Wenn ich doch R anpassen darf, wie ich will. Dann ist doch der ganze Aparillo nix weiter als die Definition von R , und damit ist niemandem gedient. Was wir brauchen, ist eine zusätzliche definierende -forderung an dieses Restglied R . Und genau hier kommt bei Mangoldt der Limes ins Spiel:

   lim h ===> 0 R ( x0 ; h )  = 0   ( 3 )

    Wie ist ( 3 ) zu verstehen? Wenn h = 0 , kannst du über R sowieso nichts aussagen. Du kannst die gleichung ja nicht nach R auflösen eben WEIL die division durch Null verboten ist.

   Aber Mangoldt sagt, im Limes soll das Restglied vernachlässigbar klein sein; die Sehnensteigung ( ganze eckige Klammer ) geht gegen die Tangentensteigung f '

  Lass dich nicht veraaschen; Krankenschwestern können doch gar keine Unbekannten. Im Internet hat mir eine Schwester mal das ===> Mischungskreuz ( MK ) gelernt. Wenn du das vorträgst, kriegst du eine mündliche Eins für deine Initiative, und ihr alle dürft das benutzen ( Oder du machst das auf dem Spickzettel unter der Bank. )

    20 ============= 5

     ===== 10 ========

    5 ============= 10

    Gebrauchsanleitung. Oben steht Essenz, unten Esssig . Links tust du jeweils die Istprozente abtragen ( 20 bzw. 5 ) In den Kreuzungspunkt kommen die Soll-oder wunschprozente = 10 alles, was du noch tun musst: über Kreuz subtrahieren.

     10 % - 5 % = 5 T(eile) Essenz - weil es oben steht.

    20 % - 10 % = 10 T Essig - weil es unten steht . Kürzen nichtg vergessen: 10 : 5 = 2 : 1 ; 1 T Essenz auf 2 T Essig.

    Probe. 1 T Essenz enthält ja 0.2 T reine Säure  , und 2 T Essig entsprechen 0.1 T Säure ( 5 % = 1/20 ) Ergo a tergo enthalten 3 T des Mischlings 0.3 T Säure; perfektamento.

  Absolut niemand hat hier vom Mischungskreuz ( MK ) gehört; im Internet hat mir das mal eine Krankenschwester erklärt. Die können doch gar keine Unbekannten.

     80 ============= 5

     ======== 5 =====

      0 ============= 75

    Gebrauchsanweisung; oben steht Essenz, unten Wasser. Links kommen die Istprozente, also 80 bei Essenz und Null bei destilliertem Wasser, weil Wasser ja keine säure hat.

   In den Kreuzungspunkt kommen die Soll-oder Wunschprozente, das wären 5 . Alles was jetzt noch zu tun bleibt: Über Kreuz subtrahieren.

   5 T(eile) Essenz, weil es oben steht.

   75 T Wasser, weil es unten steht . Kürzen nicht vergessen; 75 : 5 = 15 : 1

  1 T Essenz wird mit der 15-fachen Menge Wasser verdünnt.

   Probe. 80 % sind 4 T Säure auf 5 T Essenz . Verdünne ich mit der 15-fachen Menge Wasser , das macht 75 T , also insgesamt 4 T Säure auf 80 T Gemisch. 40 auf 80 wären 50 % , 4 auf 80 = 5 %

  Hier ich will euch mal beweisen, dass ich in situ was produziere. Der einfachste Ansatz, der sich denken lässt. Stell doch mal die Kreisgleichung in Polarkoordinaten auf; Radius und Tangente stehen senkrecht aufeinander.

    r ( ß ) = 2 R cos ( ß )   ( 2.1a )

     x ( ß ) = 2 R cos ² ( ß )   ( 2.1b )

    y ( ß )  2 R sin ( ß ) cos ( ß )   ( 2.1c )

     F ( ß ) = x y = 4 R ² sin ( ß ) cos ³ ( ß )   ( 2.2a )

      U ( ß ) := ln ( F ) = 3 ln cos ( ß )  + ln sin ( ß ) = max  ( 2.2b )

   Zu dem Logaritmus bin ich nur über gegangen, weil wenn wir die Rechenstufe vermindern, sich die Ableitungen erleichtern.

   U ' ( ß ) = ctg ( ß ) - 3 tg ( ß ) = 0 ===> tg ( ß ) = 1/sqr ( 3 )    ( 2.3 )

   Der Winkel beträgt 30 ° ; das Kosinusquadrat in ( 2.1b ) folgt zu 3/4 im einklang mit ( 1.4c )

Die Rechtecksfläche

F ( x ; y ) := x y = max ( 1a )

 mit der Nebenbedingung

 D ( x ; y ) := ( x - R ) ² + y ² = R ² = const ( 1b )

 Zum Einsatz kommt das Lagrangeverfahren; dieses nimmt allerdings nicht zur Kenntnis, dass x0 = R . Den Lagrangeparameter nenne ich k ; wir bilden somit die Linearkombination

H ( x ; y ) := F ( x ; y ) + k D ( x ; y ) ( 2 )

Notwendige Bedingung für Maximum: Der Gradient von ( 2 ) verschwindet.

H_x = y + 2 k ( x - R ) = 0 | * y ( 3a )

H_y = x + 2 k y = 0 | * ( x - R ) ( 3b )

In ( 3ab ) habe ich die Umformungen vermerkt, wie wir uns mittels des Subtraktionsverfahrens des Dummy k entledigen können.

   y ² = x ( x - R )    ( 4a )

     Allerdings haben wir noch keinen Gebrauch gemacht von Nebenbedingung ( 1b ) ; umgestellt nach y , ergibt das

   y  = x ( 2 R - x )   ( 4b )

   x ( max ) = 3/2 R   ( 4c )

 Wenn ich mir mal erlaube, rückwärts zu denken - ist ohnehin meine Spezialität. die Kongruenzsätze hast du ( hoffentlich ) auswändig gelernt. Für uns intressant ist jetzt Satz SSS . D.h. a = a ' ; b = b ' und c = c ' .

  Würde es dir sehr schwer fallen, aus diesen Angaben die gleichung zusdammen zu stellen, welche besagt, dass die beiden Dreiecke gleichen Umfang haben?

 Zu der Antwort von JotEs . Dem seine Funktionenschar hat es wirklich in sich:

    f ( x ; a ) := a x ³ + x ²   ( 1 )

   Das ist jetzt nur ein Beispiel. Ich diskutier die mal, damit du merkst, welche Stolpersteine dir so drohen.

   Als Erstes hast du die doppelte Nullstelle im Ursprung. Eine Nullstelle von gerader Ordnung ist immer ein Extremum; ob Minimum oder Maximum, wissen wir noch nicht so genau.

   Viel wesentlicher ist die Fallunterscheidung bezüglich a ; welchen Grad hat Polynom ( 1 ) ? Offensichtlich 2 im Falle a = 0 ; sonst 3 .

   Jetzt kriegst du erstmals mit mir zu tun. wie bestimmt man den WP eines Polynoms 3. Grades? Bitte mach das NIE WIEDER über die 2. Ableitung. Von mir lernst du Technik. Du gehst über zur Normalform

   F ( x ; a ) = x ³ + ( 1/a ) x ²  ( 2a )

   x ( w ) = - a2/3 = - 1/3a   ( 2b )

   wieder Fallunterscheidung; für positive a kommt Funktion ( 1 ) von Rechts asymptotisch von ( + °° ) Der Ursprung liegt rechts von dem WP ===> Minimum . Wenn a < 0 , kommt das ( ungerade ) Polynom ( 1 ) von Links von ( + °° ) Jetzt liegt der Ursprung links von dem WP; abermals hast du ein Minimum.

   ( Ich geb's zu; bei dieser Funktionenschar entscheidest du das eindeutig schneller über die 2. Ableitung. ) Dieses Minimum ist quasi die Konstante in der Erscheinungen Flucht; der WP divergiert ja für a ===> 0 .

   Bei Funktionenscharen musst du immer so höllisch auf die Grenzfälle Acht passen.

   Für das Maximum brauch ich auch keine ( erste ) Ableitung; ein Trick, den du von mir übernehmen solltest. Jedes kubische Polynom verläuft PUNKT SYMMETRISCH gegen seinen WP.

   Damit passiert aber was voll Komisches. Relativ zu ( 2b ) hast du also ungerade Symmetrie ( allerdings gegenüber dem WP, NICHT gegen x ( w ) ! ) Wenn jetzt für a ===> 0 dieser Punkt die Flatter macht, hast du auf einmal GERADE Symmetrie gegen x = 0 . Physiker bezeichnen sowas als spontane Symmetriebrechung.

  Um jetzt das Maximum zu erhalten, tust du nix weiter, als den Ursprung an dem WP ( 2b ) spiegeln:

    x ( max ) = - 2/3a     ( 3 )

   Ich hoffe ich konnte dir die Problematik dieses Parameters ein bissele näher bringen so wie paar meiner Techniken.

   Ach eben fällt mir noch was ein. Leider ist diese aufgabe nicht kompliziert genug; bei Lycos habe ich mich richtig warm gelaufen. Ich kann das hier nur andeuten - es sei denn, es kommen mal so Aufgaben.

   Stell dir vor, du hast ein Polynom in x , dessen sämtliche Koeffizienten nur linear von a  abhängen. Wenn du sowas hast - okay. Dann ist es nämlich ein Klax, alles nach a umzustellen. Das führt dann auf eine nomografische Lösung a = a ( x ) , eine gebrochen rationale funktion, der du z.B.Wert volle Hinweise entnehmen kannst, in welchem Bereich von a die Gleichung wie viele Lösungen hat bzw. wie viele Extrema es gibt. Aber ohne Beispiel kann ich da schwer was machen.

  Ich weiß nicht, ob du hier die Möglichkeit hast, meine bisherigen Antworten zu beobachten bzw. einzusehen. Du solltest es tun, denn dann wirst du erkennen, dass ich ein Kompromiss loser Steiter vor dem Herrn bin. Die Techniken, die ich eingeführt habe zur Untersuchung ( individueller ) Polynome 3. und 4. Grades, weichen doch erheblich von dem ab, was so in den Büchern steht - und das hab ich mir alles selber erkämpft. Nennenswerte Konkurrenz ist mir auf dem Gebiet noch nicht erwachsen.

    Ich kann weiter nichts tun, als auf Aufgaben von dir zu reagieren. Okay; mit 17 war ich schon ein recht unternehmungslustiger Bursche - aber kein Vergleich mit Heute. Ich habe ohne Weiteres Verständnis, dass du noh Anleitungen von einem Lehrer bedarfst.

   Ich selbst hatte mal einen Mathe-und Physiklehrer, den die EIGENEN KOLLEGEN das " Vollgenie " nannten. Meint unser Chemielehrer

   " Niemals würde ich meine Jungs an diese Anstalt geben. Sicher.

 Da fände sich immer ein Weg, dass die nicht zu Pappi in die Klasse kommen. aber wenn die dann heim kommen und mir Mittags ihre so genannten Ansichten über das Vollgenie berichten - nie wieder könnte ich Kollegen XY unbefangen in die Augen sehen ... "

   spürst du das Selbstbezügliche hinter dieser Aussage? Dabei war XY höchst kompetent; er war nur gefühlsblind ===> Damasio ===> Amygdala.

   Heute, wo ich das alles weiß, ist mir längst klar, dass es eine Matematik ohne Emotionen, ohne Engagement nicht gibt. Der Matematiker ist immer auch Künstler und Schriftsteller.

   Und das Frappante an deinem Simons - unser XY war auch konstant der Meinung, er selber brauche gar nichts tun und sagen. Die ganze Klasse werde sich den Stoff schon autodidaktisch beibringen.

   Ach eben fällt mir ein, wie der Spitzname " Vollgenie " entstand. Unser Chemielehrer hatte berichtet, XY habe ernstlich versucht, einer Kl. 7 die Integralrechnung ( ! ) näher zu bringen ...

  Wo du mir jetzt technisch weiter helfen müsstest. Bei den Kollegen von Lycos ging das ja organisatorisch voll easy; da hieß es, deine Antwort auf Frage X hat einen Kommentar erhalten. Oder DU hast eine private Naxhricht erhalten.

   scheint mir das hier nur so; oder ist diese Oberfläche tatsächlich schwerfälliger? Irgendwie fühle ich mich allein gelassen und ganz hilflos. Welche Wege gibt es für dich, mich z.B. wissen zu lassen, dass du Aufgaben oder Fragen für mich hast?

  Es " juckt mir in den Fingern " Mein Daddy " Leo " meinte auch immer

   " Das kann ich gar nicht mit ansehen. "

   Ich führe dir jetzt eine Kurvendiskussion ( KD ) ohne eine einzige Ableitung vor. Kubistische Polynome sind ein sonderfall; als Erstes bestimmst du immer den WP . Dafür braucht's nämlich keine 2. Ableitung; insbesondere für deinen Spickzettel. Du gehst aus von der Normalform ( liegt bereits vor )

   x ( w ) = - 1/3 a2 = ( - 1 )   ( 1a )

   y ( w ) = 2   ( 1b )

   Jetzt die Extrema. Eine Nullstelle von gerader Ordnung, hier: doppelte im Ursprung, ist immer ein Extremum. Hier offenbar das Minimum, da du dich RECHTS von dem wP befindest:

   ( x | y ) ( min ) = ( 0 | 0 )  ( 2 )

   Auch für das Maximum braucht's keine ( erste ) Ableitung; du tust spiegeln, wie gesagt. Wir haben eine Mittelwertbeziehung

   x ( w ) = 1/2 [ x ( max ) + x ( min ) ] ===> x ( max ) = ( - 2 )  ( 3a )

   y ( w ) = 1/2 [ f ( max ) + f ( min ) ] ===> f ( max ) = 4 ( 3b )

 Warum bin ich verrutscht? Meine Antwort gehört hier hin.

  Es " juckt mir in den Fingern " Mein Daddy " Leo " meinte auch immer

   " Das kann ich gar nicht mit ansehen. "

   Ich führe dir jetzt eine Kurvendiskussion ( KD ) ohne eine einzige Ableitung vor. Kubistische Polynome sind ein sonderfall; als Erstes bestimmst du immer den WP . Dafür braucht's nämlich keine 2. Ableitung; insbesondere für deinen Spickzettel. Du gehst aus von der Normalform ( liegt bereits vor )

   x ( w ) = - 1/3 a2 = ( - 1 )   ( 1a )

   y ( w ) = 2   ( 1b )

   Jetzt die Extrema. Eine Nullstelle von gerader Ordnung, hier: doppelte im Ursprung, ist immer ein Extremum. Hier offenbar das Minimum, da du dich RECHTS von dem wP befindest:

   ( x | y ) ( min ) = ( 0 | 0 )  ( 2 )

   Auch für das Maximum braucht's keine ( erste ) Ableitung; du tust spiegeln, wie gesagt. Wir haben eine Mittelwertbeziehung

   x ( w ) = 1/2 [ x ( max ) + x ( min ) ] ===> x ( max ) = ( - 2 )  ( 3a )

   y ( w ) = 1/2 [ f ( max ) + f ( min ) ] ===> f ( max ) = 4 ( 3b )

  Zu a) ; soo direkt hab ich das noch nie gesehen. Ist aber voll die Veraasche. Seifert, unser Feuerzangenlehrer in " oiigaanischer Kämmie " fragte auch immer so durchtrieben. Was ist ein mol? Wohl wissend, dass dann die Antwort kam

  " Ein Mol ist die selbe Anzahl Moleküle, die ein ideales Gas bei Normalbedingungen enthält. "

   " Ein Mol enthält immer gleich viel Teilchen - egal was für ein Stoff !!! "

   " ach so "

   " achchch - soooo !!! "

   Absolut keiner will es kapiern. Weil es euch weder die Lehrer noch das Internet verraten. alle kubischen Polynome sind sowas von einfallslos; sie singen immer wieder die selbe Melodie.

  " alle kubischen Polynome verlaufen PUNKT SYMMETRISCH gegen ihren WP. "

  ( Soll übrigens bei Steckbriefaufgaben sehr nützlich sein; mit der Erkenntnis schlagt ihr den Lehrer um Längen. )

   Rein teoretisch hindert mich doch niemand daran, den WP in den Ursprung zu verschieben : ( 0 | 0 ) Um mal etwas bestimmtes anzunehmen; k > 0 , das ( ungerade ) Polynom kommt asymptotisch von ( - °° )

   Das MAXIMUM liegt LINKS vom WP und das Minimum rechts. Für das Minimum hast du die Koordinaten

   ( x | y ) ( min )   ( 1 )

   eine Erkenntnis, die dir bei diesen Steckbriefaufgaben noch sehr zustatten kommen wird. Das Maximum entsteht durch Spiegelung an dem von uns gewählten Ursprung.

  ( x | y ) ( max ) = - ( x | y ) ( min )   ( 2 )

  Drei Punkte; das Zentrum der Punktspiegelung, Urpunkt und Bildpunkt liegen IMMER suf einer Geraden. Das ist so bei ALLEN kubischen Polynomen.

Kennst du aus " Asterix und Kleopatra " die Szene mit den streikenden Arbeitern? " Unzufrieden; unzufrieden ... " An der Uni wären so Aufgaben wie deine a) überhaupt nicht zugelassen ===> schlechte Konditionierung ===> lineare Abhängigkeit. Du irrst nämlich, wenn du vermeinst, die beiden Gleichungen ( 1.3ab ) sind für die beiden Unbekannten k und C hinreichend. Das kann man auch Schülern nahe bringen, die nicht wissen, was eine ===> Determinante ist. Setzen wir erst mal x = 0 . Dann entartet ( 1.3b ) zu der viel sagenden Aussage 0 = 0 In ( 1.3a ) hast du C = f ' ( x ) Über den Leitkoeffizienten k erfahren wir nichts. Wenn jetzt x < > 0 , dürfen wir ( 1.3b ) durch x kürzen; lineare Abhängigkeit stellt sich jetzt ein, wenn in beiden Gleichungen ( 1.3ab ) auf der linken Seite das Selbe steht; d.h. der Koeffizient von k ist gleich.

   1/4 x ^ 4 - 1/2 x ² = 1/20 x ^ 4 - 1/6 x ² | * HN    ( 3.1a ) 

     15 x ^ 4 - 30 x ² = 3 x ^4 - 10 x ² ===> x1;2 ( krit ) = -/+ sqr ( 5/3 ) = ( 3.1b )

= 1.291   ( 3.1c )

   Und dieser ===> Eigenwert liegt gefährlich nahe bei deinem Eins.

   Was passiert jetzt genau an der kritischen Stelle? Entweder ( 1.3b ) präsentiert weiter nichts als eine Wiederholung von ( 1.3a ) ; dann ist sie überflüssig. Oder sie widerspricht ihr sogar; schließlich bin ich in der Wahl der rechten Seite frei. Mitunter kann die 100. Nachkommastelle entscheiden, ob lösbar oder nicht. Diese Instabilität, die stark an den Schmetterlingseffekt erinnert, ist mit schlechter Konditionierung gemeint.

    Und jetzt stell dir mal vor, ich hätte mich auf 3 Unbekannte a1;3;5 eingelassen statt nur zwei. Das wird doch alles nur beliebig unübersichtlich.

   Übrigens: Aufg. b) ist NICHT schlecht konditioniert.

5 Punkte extra !

   z := x ²   ( 2.1a )

  f ( z ) = z ² - p z + q  ( 2.1b )

  z1 = z ( w ) = 1   ( 2.2a )

  z ( min ) = p/2 = 3  ( 2.2b )   ; vgl. ( 1.4e )

   p = 6    ( 2.2c )

     Satz von vieta

    p = z1 + z2 ===> z2 = 5 ; x2 = sqr ( 5 )   ( 2.3a )

   q = z1 z2 = 5   ( 2.3b )

   f ( x ) = x ^ 4 - 6 x ² + 5   ( 2.4 )

  eine voll SCHMISSIGE Lösung des Problems ...

  Zu a) kennst du den " Pfeifer " von ===> Reinhart Mey? ( Youtube ) Eine witzige Parodie; dort heißt es

  " Man nennt mich hier den Denker ... "

   Ich bin mir da absolut sicher; so wie sich dein Lehrer das denkt, kommt da gar nix bei raus. Ich mach das immer mit schmuddeltricks; das ist quasi mein Ehrgeiz. Für Leute, die " holistisch " denken; etwas " sehen "

  Meine Idee erklär ich dir jetzt mal ganz langsam, damit du auch einverstanden bist. Voraus gesetzt war Punktsymmetrie

    f ( x ) := a5 x ^ 5 + a3 x ³ + a1 x   ( 1a )

   f ' ( x ) = 5 a5 x ^ 4 + 3 a3 x ² + a1   ( 1b )

   f " ( x ) = 20 a5 x ³ + 6 a3 x   (1c )

   Ich geruhe jetzt, dein Augenmerk auf den Umstand zu lenken, dass die 2. Ableitung ( 1c ) EBEN FALLS Punkt symmetrisch ist. Was heißt das?

   f " hat eine Nullstelle im Ursprung x2 = 0 Dann natürlich noch den WP bei x1 = ( - 1 ) Du solltest aber immer symmetrisch denken; natürlich hat f " noch eine dritte Nullstelle x3 = 1 entsprechend einem gespiegelten WP.

  ( Beide Begründungen folgen je getrennt aus der Symmetrie; die Nullstelle und der WP . ) Bis auf den ===> Leitkoeffizienten k hast du eifentlich alles beisammen:

    f " ( x ) = k x ( x + 1 ) ( x - 1 ) = ( 2a )

   = k ( x ³ - x )   ( 2b )

   Bisher sehe ich nur eine Unbekannte. Die Kollegen von " Lycos " sprechen hier von " Aufleiten " ===> integrieren ===> Stammfunktion ( ist wirklich nix Schweres; rückwärts Denken hat mich im Leben schon oft weiter gebracht. )

   f ' ( x ) = k ( 1/4 x ^ 4 - 1/2 x ² ) + C   ( 3a )  ; C = ===> Integrationskonstante

   f ( x ) = k ( 1/20 x ^ 5 - 1/6 x ³ ) + C x   ( 3b )

    Die Integrationskonstante D ist Null; warum? D.h. statt wie dein Lehrer mit 3 Unbekannten a1;3;5 sehe ich hier nur die beiden k und C .

   Claro, was du in ( 3a;b ) einzusetzen hast?

   Ich weiß leider nicht, ob hier in diesem forum auch Ergänzungen gestattet sind. Darum zu Aufg. b) Abermals bin ich im Vorteil und euer Pauker im Nachteil, weil ICH nämlich meine Hausaufgaben gemacht habe. Was du wegen der Symmetrie bekommst, ist eine biquadratische Funktion ( BQF )

    f ( x ) := x ^ 4 - p x ² + q   ( 4a )

    Für ( 4a ) habe ich nun eine Kategorienlehre aufgestellt. An sich sagt Einem ja schon der gesunde Menschenverstand, dass es Regeln geben musss für p und q . Diese Regeln, so weit sie uns betreffen, diktiere ich nunmehr für Spickzettel und Regelheft.

  Die ===> Topologie der Kurve hängt nur von p ab. Für p < 0 hast du V-Form so ähnlich wie Parabel mit dem ( absoluten ) Minimum bei x = 0 und

     f ( min ) = q   ( 4b )

     Im falle p > 0 hast du W-form; ( 4b ) entspräche dann der mittleren Spitze des W , einem ( lokalen ) Maximum . die beiden ( absoluten ) Minima, entsprechend der linken und rechten Spitze des W, liegen bei

        x1;2 ( min ) = -/+ sqr ( p/2 )   ( 4c )

     f ( min ) = q - ( p/2 ) ²   ( 4d )

    Nur weil du die WP zur Kurvenbestimmung hast. Zwischen den Extrema und den WP besteht eine feste Proportionalität ( Plotte das ruhig mal alles übersichtlich raus )

     x ( min  ) = x ( w ) sqr ( 3 )   ( 4e )

    Sag selbst; kann ich's dir noch Mund gerechter vor kauen? sooo genau weiß das nicht mal dein Lehrer ...