Was mich jedes Mal aufregt. Du glaubst, diese Aufgabe sei Sinn voll bzw. die individuelle Eigenschaft eines einzelnen Polynoms.

  Euren Lehrern gehören paar hinter die Ohren; warum sagen die euch nicht die Wahrheit?

   eine Wahrheit, die ihr z.B. bei vielen Steckbriefaufgaben dringend nötig hättet.

   " Alle kubistischen Polynome singen immer wieder die selbe Melodie. Sie verlaufen nämlich PUNKT SYMMETRISCH gegen ihren WP. Daraus folgt insbesondere, dass dass ( x | y ) max aus ( x | y ) min entsteht durch Spiegelung an dem WP. Drei kritische Punkte; Minimum, Maximum und WP. Kenne ich 2 von ihnen, so automatisch den dritten. "

   WIESO liegen Urpunkt, Bildpunkt und Symmetriezentrum immer auf einer Geraden?

  Wäre aber mal'ne geile Übung. Du versuchst diese 'Symmetrie selber zu beweisen. Hinweis. Den Koordinatenursprung in den WP  legen. Naa; willste dir ne mündliche Eins verdienen?

Kurvendiskussion ( KD ) ist mein Hobby; deshalb mach ich sie dir ja gerne. Wie du weißt, beginnen wir immer mit den Nullstellen.

   y = f ( x ) := x ^ 4 - 8 x ³ + 21 x ² - 20 x + 4 ( 1 )

http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^4+-+8x^3+%2B+21x^2+-20x+%2B4

Ja ich weiß ich bin feige. Ich hab sie erst mal Wolfram übergeben. Das enthebt dich aber keiner eigenen Anstrengung, im Gegenteil. Dem Forum ===> Lycos weine ich noch heute manche Träne nach. Nach meiner 4 711. Sperrung bin ich endgültig draußen. Was bei denen eindeutig besser war; die unmittelbare Rückmeldung von den Fragestellern. ( Hier wenn du mir eine Mitteilung zukommen lassen willst. Bitte etwas, was online ganz dick blinkt und wo ich nur noch drauf klicken muss; alles andere übersehe ich. ) Und von der Publikumsbefragung bekam ich eben ganz schnell mit, dass die kein einziges Wort von mir verstanden. Hände ringend versuchte ich denen also zu vermitteln, dass Polynome Symmetrien aufweisen ( können ) Und dass das evtl. wichtig sein könnte. Und die waren jetzt von ihrem Schrat voll darauf abonniert, Nullstellen zu RATEN , sei das ultimativ höchste der Gefühle. Also schön; lassen wir uns von Wolfram überraschen. In aufsteigender Reihenfolge sortiert, spuckt Wolfram die folgenden 4 Knoten aus, die ich als ( endliche ) ===> Folge notiere ( Waren Folgen schon dran? )

       x < n > = < 2 - sqr ( 3 ) , 2 , 2 , 2 + sqr ( 3 ) > ; n = 1 , ... , 4 ( 2a )

     ( Die Nullstelle in x = 2 zählt doppelt; hier berührt der Graf und schneidet nicht nur; s.u. )

    " Was sagt uns das? Nix. Und was haben wir davon? Wieder nix ... "

Netter Kalauer; aber jetzt geht's echt ans Eingemachte. Ein gerades Polynom ( hier: 4. Grades ) KANN Achsensymmetrie aufweisen, muss aber nicht. Hier nun gilt es nachdrücklich einem geistigen Kurzschluss entgegen zu treten, den euch eure Lehrer in den Kopf gesetzt haben. Du glaubst vielleicht, wenn gerade und ungerade Exponenten gemischt vorkommen so wie hier, sei das schon hinreichend für " keine Symmetrie " Wer sagt dir denn, dass die Symmetrieachse ausgerechnet bei x = 0 verläuft ? Aus dem Studium Zahl reicher Internetforen gewann ich viel mehr den Eindruck, dass du einer Gleichung wie ( 1 ) explizit keine Info entnehmen kannst; ja mein eigener Kenntnisstand auf dem Gebiet reicht weiter als jene Foren. Gleich das Erste, worauf ich stieß. Aus Folge ( 2a ) kannst du dir eine notwendige und hinreichende Bedingung für Symmetrie schnitzen; bilde bitte die ===> Differenzenfolge von ( 2a )

    d < n > = < sqr ( 3 ) ; 0 ; sqr ( 3 ) > ; n = 1 , 2 , 3 ( 2b )

     Rein für die Anzahl der Elemente in ( 2b ) ist schon wichtig, dass x2 in ( 2a ) doppelt gezählt wurde; sonst käme es ja falsch heraus. Symmetrie liegt vor dann und nur dann, wenn ( 2b ) Spiegel symmetrisch ist gegen das mittelste Elememt d2 - also ja. Bitte versteh mich richtig; du kannst ja schon mal ins Unreine denken, welche Eigenschaften ein Polynom 4. Grades hat, in dem nur gerade Exponenten vorkommen. Das Dingsbums ist halt nur in x-Richtung verschoben; und das Symmetriezentrum xs gilt es zu ermitteln. In ( 2a ) gilt die Beziehung

     xs = 1/4 ( x1 + x2 + x3 + x4 ) = ( 3a )

          = 1/2 ( x1 + x4 ) = 1/2 ( x2 + x3 ) = 2 ( 3b )

      Und jetzt hast du mich glaub ich erstmals verstanden.

    " Können wir das auch ohne Wolfram? Und gibt es einen Algoritmus, xs zu errechnen, OHNE AUCH NUR ZU WISSEN, ob ( 1 ) überhaupt Nullstellen hat? ( Warum sind reelle Wurzeln nicht zwingend? ) " Was ich hierzu in den Übungsforen des Internet fand, war echt Haar sträubend. Meine Empfehlung: Aktiviere doch mal deine Kenntnisse über die ===> Taylorentwicklung; dann merkst du quasi sofort, was hier abgeht. Wenn wir ( 1 ) um den beliebigen Punkt x0 entwickeln

     f ( x0 + h ) = f ( x0 ) + h f ' ( x0 ) + ( 1/2 ) h ² f " ( x0 ) + ( 1/3 ! ) h ³ f(³) ( x0 ) + h ^ 4 ( 4a )

      h := x - x0 ( 4b )

      Der Term 4. Ordnung, " h hoch 4 " , geht mit Koeffizient Eins ein - unabhängig von der Wahl von x0. Deshalb werden wir Glieder mit gerader Symmetrie niemals aus dem Polynom eliminieren. Jetzt folge mal meinem Gedankengang. Die 3. Ableitung eines Polynoms vom 4. Grade ist selbst vom ersten Grade; und lineare Gleichungen können wir ja lösen. Es gibt ein und nur ein x0 , welches dadurch ausgezeichnet ist, dass

       f(³) ( x0 ) = 0 ( 4c )

      f ( x0 + h ) = f ( x0 ) + h f ' ( x0 ) + ( 1/2 ) h ² f " ( x0 ) + h ^ 4 ( 4d )

     Jetzt sind wir schon am Anschlag; mehr Freiheitsgrade sind ja nicht mehr. Wir können nur noch beten, dass uns die erste Ableitung eben Falls den Gefallen tun möge zu verschwinden:

     f ' ( x0 ) = 0 ( 4e )

     f ( x0 + h ) = f ( x0 ) + ( 1/2 ) h ² f " ( x0 ) + h ^ 4 ( 4f )

     Klar, was ich mit ( 4f ) erreiche? Eine echte Knochenmühle harrt unser; Polynom ( 1 ) um x0 in ( 4c ) in eine Taylorreihe entwickeln - Schreck lass nach. Erst mal die ganzen Ableitungen:

   

" Kurvendiskussion ( KD ) rückwärts " heißt allgemein " Steckbriefaufgabe " Hier ich bin ein Prediger in der wüste, auf den niemand hört. Sämtliche Antworten, die ich hier lese - ich habe nichts anderes erwartet - offenbaren einen ungeschickten Umweg. Das alles hättest du billiger haben können. Gegeben die NORMALFORM eines kubischen Polynoms

  f ( x ) = x ³ + a2 x ² + a1 x        ( 1 )


 Bitte merk dir jetzt eines, und vergiss das nie nie nie wieder. Für den WP zu berechnen braucht's keine 2. Ableitung. Ich weiß; euer Lehrer verheimlicht euch das; vielleicht is der auch zu doof dazu - egal. Es steht auch nirgends; um so nötiger ist hier meine Mitarbeit. Diktat für spickzettel und Formelsammlung; in der Normalform ( 1 ) hast du


x ( w ) = - 1/3 a2 = 2 ===> a2 = ( - 6 )    ( 2a )

f ( x ) = x ³ - 6 x ² + a1 x   ( 2b )

Und a1 natürlich aus der Bedingung, indem du den WP = ( 2 | 2 ) konkret einsetzt.

  Schau mal in Wiki, was ===> Nullteiler sind. Vielleicht hast du noch nie darüber nach gedacht; wenn du eine Zahl x1 hast, die beim Teilen durch 30 den Rest 2 lässt. Man sagt dann vornehm lateinisch

     " x1 modulo 30 = 2 "    oder abgekürzt   x1 mod 30 = 2

     Und jetzt sei x2 mod 30 = 3 . Frage. Was ist

      x1 x2 mod 30 ? Ganz un kompliziert; genau das, was du denkst.

      x1 x2 = 6  mod 30 

   Mit RESTEN KANN MAN RECHNEN .

  ( du könntest sie auch addieren; aber das gehört nicht hierher. )

     Und wenn ich jetzt sage

   x1 = 5 mod 30 ; x2 = 6 mod 30

     Dann passiert doch was ganz Komisches. Modulo 30 gilt doch die Identität

     5 * 6 = 0    ( 1 )

        weil eine Zahl mit Rest 30 ist ja eigentlich wieder eine Zahl mit Rest Null.  D.h. es kann der Unfall passieren, dass wenn beide Zahlen größer oder ungleich Null sind, ist ihr Produkt trotzdem Null. Und sowas nennt man eben Nullteiler.

   Sagen wir's noch elitärer.

   " Null Mal irgendeine Zahl a gibt immer Null. "  ( * )

   Ist das immer und ausnahmslos wahr? Ja.

   Hier du kennst das doch. Wenn der Strom ausfällt, brennt die Lampe nicht mehr. Ist die Umkehrung dann auch automatisch richtig?

  "   Wenn die Lampe nicht scheint, ist der Strom ausgefallen. "

   Eindeutig nein. Und die Umkehrung des obigen Satzes, den ich mit ( * ) markiert habe, die würde doch lauten

   " Wenn ich eine beliebige Zahl a her nehme und a x = 0 , dann muss die Unbekannte x notwendig x = 0 sein. "

   Du hast verstanden, dass diese Umkehrung nur richtig ist, wenn es keine Nullteiler gibt. Also mod 30 geht es eindeutig schief.

   Jetzt kommt ein ganz wichtiger Punkt. Was passiert, so bald du uneingeschränkt dividieren kannst? Z.B. wenn du 1 teilst durch 4 711, dann kriegst du zwar den Bruch 1/4711 , aber du kriegst ein konkretes Ergebnis. Und genau so meine ich das jetzt. Hier du kennst das doch mit den ganzen gleichungen; wenn da steht

      a x = b    ( 2a )

     dann tust du durch a teilen, um die Unbekannte x zu isolieren:

       x = b/a   ( 2b )

   

    wir haben uns oben mit der Frage beschäftigt; wie muss ich x wählen, damit bei gegebenem a die gleichung gilt

       a x = 0  | : a      ( 3a )

        x = 0 / a = 0   ( 3b )

    du hast also in ( 3ab ) bewiesen: Wenn ein Produkt Null ist, dann muss ( mindestens ) ein Faktor Null sein.

   Und wenn da die ===> Polynomgleichung steht

    ( 2 x + 8 ) ( 3 x - 2 ) = 0    ( 4a )

     Dann kann sowas eben nur richtig sein, wenn entweder

      2 x + 8 = 0 ===> x1 = ( - 4 )   ( 4b )

    oder

    3 x - 2 = 0 ===> x2 = 2/3   ( 4c )

    Hast du das wirklich verstanden? Weil ich will verhindern, dass du den Anschluss verpasst; das kommt zwar nicht dauernd dran, aber es ist doch ein sehr wichtiges Thema und wird öfters gebraucht.

   Ich bekomme immer so viel unnütze Systemnachrichten - hast nicht du die Möglichkeit, mir eine Nachricht zu zukommen zu lassen mit einem Link, wo ich nur drauf klicken muss, um zu kommentieren? In " Lycos " gabs das; das hioeß dann PN wie persönliche Nachricht.

  5 / ( x - 3 ) - 3 / ( 2 x - 6 ) = 2 / ( x + 3 ) - 4 / ( 3 x + 9  )    ( 1 )

 

   HN = 6 ( x - 3 ) ( x + 3 )   ( 2 )

     30 ( x + 3 ) - 9 ( x + 3 ) = 12 ( x - 3 ) - 8 ( x - 3 )   ( 3 )

  

    Es gibt zwei Arten von Termen ; ( x + 3 ) so wie ( x - 3 ) sortieren; bitte nicht immer Geist los Klammern auflösen.

   ( " Erst mal aufräumen; dann auspacken. " )

        21 ( x + 3 ) = 4 ( x - 3 )    ( 4a )

   

       21 x + 63 = 4 x - 12  ( 4b )

      17 x = - 3 ( 21 + 4 ) = ( - 75 ) ===> x = ( - 75/17 )   ( 4c )  ( vgl. Wolfram ) 

  Von mir bekommst du gleich eine sen-sa-tio-nelle Antwort - einen Lehrsatz, von dem dein Lehrer noch nie gehört hat. Bei dir ist das sicher; denn sonst hättest du diese Frage nie gestellt. Schau mal, was Pappi alles weiß

 http://de.wikipedia.org/wiki/Satz\_%C3%BCber\_rationale\_Nullstellen

     Du da bin ich absolut sicher. Vieles wirst du in deinem späteren Leben von deiner Schulmatematik wieder vergessen. Aber DAS nie mehr ...

   Du hast verstanden: Dein Polynom kann höchstens ganzzahlige Wurzeln haben; nix mit 2/3 .

   Ach übrigens; WARUM ist Wurzel ( 2 ) irrational? Im japanischen ===> Zen heißt der Moment der Erleuchtung ===> Satori .

    Jetzt haben dir meine Kollegen schon eröffnet, du musst substituieren

      x := r ³    ( 1a )

      x ² - 19 x - 216 = 0   ( 1b )

       Unser Mathelehrer " Rolf " fragte immer

    " Ist es selbstverständlich, dass drei Punkte auf einer Geraden liegen?

    Ist es selbstverständlich, dass zwei Punkte auf einer Geraden liegen? "

    In Rolfs Sinne.

    " Gesetzt den Fall, ein Polynom 6. Grades spaltet einen rationalen Linearfaktor ( RLF ) ab. Ist es dann selbstverständlich, dass es ( vollständig ) zerfällt?

Und wenn ein Polynom 2. Grades einen RLF abspaltet. Ist es dann selbstverständlich, dass es zerfällt? "

   In diesem Sinne. Ich tippe mal, ( 1b ) hat RLF

     x1;2 := p1;2 / q1;2   € |Q     ( 2a )

    p1 p2 = a0 = ( - 216 )  ( 2b )

    q1 q2 = a2 = 1   ( 2c )

   Unmittelbar nach Bekanntwerden des " Satzes von der rationalen Nullstelle "  ( SRN ) entdeckte ich die pq-Formeln ( 2bc ) Immerhin war Gauß ein Genie; völlig abwegig, dass ihm die Bedeutung von ( 2bc ) entgangen sein sollte, wäre er tatsächlich der Entdecker des SRN .

    Wie heißt das Adjektiv für diese Charaktereigenschaft? Die offiziellen Hochschulmatematiker schämen sich, dass es ein anonymer Außenseiter aus dem Internet entdeckt hat. Und da sagen die

   " Dat hat schon de jroße Jauß jesaht. "

   " Herr Professor; Schreibt man Gauß mit ' G ' oder mit ' J ' ? "

   " Mit Jee meine Herrn; mit Jee ... "

   Die Witze sind ja alle gar nicht erfunden. Sie sind ja alle wahr ...

   Du hast verstanden; in ( 1b ) müssen wir sämtliche Zerlegungen des Absolutgliedes 216 raten. Keine sehr rationelle Vorgehensweise; nun sind aber x1;2 TEILER FREMD . Woher weiß ich jetzt das schon wieder; hat mir das der Gauß auch vorgesagt? Komm ich am Schluss drauf zurück; machen wir erst mal fertig.

   Die Primfaktorenzerlegung ist 216 = 2 ³ * 3 ³ ; Teiler fremd bedeutet: Weder das Zweier-noch das Dreierpäckchen darfst du " aufschnüren " Es verbleiben die triviale Zerlegung derr 216 = 1 * 216 so wie die nicht triviale 216 = 8 * 27  ( Hinreichende ) Probe; überlebenswichtig in jeder Klausur, ist immer der Vieta von ( 1b )

     | x1 | = 1 ; | x2 | = 216 ; | p | = 215    ( 3a )

     | x1 | = 8 ; | x2 | = 27 ; | p | = 19      ( 3b )   ;  okay

      Jetzt noch das Vorzeichen richtig drehen - fertig ist die Laube.

    Wie war das jetzt mit dem ggt? Gauß, der Großfürst aller Teiler, Entdecker von Teilbarkeitseigenschaften, die ich bescheidener Computerix nicht mal verstehe, soll sich nicht gefragt haben, was ist ggt x1;2 ? Doch wohl nur dann, wenn er, wie ich hier nicht müde werde zu unterstellen, er nicht der Entdecker des SRN ist.

    Sei m ein Teiler; dann folgt aus dem Vieta ( in der Notation ( 2a-c ) )

     m | p1;2 <===> m | a1 : m ² | a0   ( 4a )

    ( In unserem Fall ist ja p1;2 mit x1;2 gleich zu setzen. ) Ein m, das die rechte Seite von ( 4a ) befriedigt, möge K-Teiler des Polynoms f ( x ) heißen ( K wie Koeffizient ) Der größte K-teiler ist dann selbst redend der gkt . Die Behauptung

     ggt p1;2 = gkt ( f )    ( 4b )

  Schon Apollonios antwortete seiner Zeit Alexander dem Großen, es gebe keinen Königsweg zur Matematik.

    Ich weiß nicht, " ob man beweisen kann, dass es auch ohne sinus und Kosinus geht " Es soll ja kleine Bübchen geben, die wollen die ART erklärt haben, weil sie mal Kommandant eines intergalaktischen Raumkreuzers werden wollen. Ich meine Dreiecke sind noch nix für kleine Bübchen - und schon gar nicht, wenn der Herr Lehrer autoritär verlangt, er " solle " das  machen.

   Oder bist du nur ein Troll, der in wirklichkeit für die NSA arbeitet, schiebst deinen Bruder vor und haust hier mächtig auf den Putz, ob auch einfacher ginge, was die ganze Menschheit bisher kompliziert gelöst hat?

  Es gibt da irre Dinger; die ===> Kochsche Schneeflockenkurve. Eine Funktion, die überall ===> stetig, aber nirgnds differenzierbar ist. Wir wissen sogar, dass eine Funktion auf einem Interrvall nuir dann monoton sein kann, wenn sie f.ü. differenzierbar ist.

   Die Menschheit brauchte JAHRTAUSENDE , um da durch zu steigen. Die ersten verlässlichen Fassungen dieser Theorie sind im Übrigen nicht wesentlich älter als 1890.

   Eure Lehrer tun immer so, als sei " eben mal alles grade ganz einfach " ...

  Erst mal stimmt deine Ableitung nicht. Kettenregel

     f ' ( x ) = 2 exp ( 2 x )    ( 1 )

    Für Spickzettel und Formelsammlung. Die Tangente g ( x ; x0 ) in x0 ist der lineare Anteil der ===> Taylorentwicklung

   g ( x ; x0 )  := f ( x0 ) + ( x - x0 ) f ' ( x0 )   ( 2a )

    Stimmt ja auch

   

     g ( x0 ; x0 )  = f ( x0 )   ( 2b )

     x0 = 1 ( 3a )

     f ( x0 ) = ( - 1 )  ( 3b )

     f ' ( x0 ) = 2  ( 3c )

    ( 3a-c ) einsetzen in ( 2a )

     g ( x ; 1 ) = ( - 1 ) + 2 ( x - 1 )  =  ( 4a )

               = 2 x - 3    ( 4b )

     Und jetzt die Normale in x0.  Wegen der Steigung 2 hat der Tangentenvektor an die Kurve Komponenten

      v = ( 1 | 2 )     ( 5 )

     Statt der einen Normalen in x0 stellst du dir eine Schar paralleler Höhenlinien vor

    F ( x ; y ) := a x + b y = c    ( 6a )

      wobei c von Linie zu Linie variiert. Die Richtung des steilsten Anstiegs, das war schon in Erdkäs dran, gibt der Gradient, und der steht senkrecht auf diesem Höhenlinienprofil:

     ( F_x | F_y )  = ( a | b )    ( 6b )

   

    die Koeffizienten von ( 6a ) kehren also genau in den Vektorkomponenten von ( 6b ) wieder.  Senkrecht auf der Normale? Ist doch nix als die Tangente. Die Normalengleichung kriegst du demnach, indem du ( 5 ) in ( 6a ) einsetzt:

    F ( x ; y ) = x + 2 y = c    ( 6c )

    Und c ermittelst du, indem du für x und y ( 3ab ) einsetzt:

       c = 1 - 2 = ( - 1 )   ( 6d )

      F ( x ; y ) = x + 2 y = ( - 1 )   ( 6e )

  Zahl reiche Internetportale enthalten Übungen zur Lambertschen W-Funktion .

   1/2 exp ( 1/2 x ) - x - 3 = 0 | + x + 3   ( 1 )

   ( x + 3 )  exp ( - 1/2 x )  = 1/2  | * ( - 1/2 )   ( 2 )

    Ganz analog der quadratischen Ergänzung ( die du natürlich perfektement beherrschst ) besteht deine Politik darin, auf der linken Seite von ( 2 ) ein " vollständiges W " zusammen zu bekommen.

    ( - 1/2 x - 3/2 ) exp ( - 1/2 x ) = ( - 1/4 )   | * exp ( - 3/2 )    ( 3 )

   ( - 1/2 x - 3/2 )  exp ( - 1/2 x - 3/2 )  = - 1 / 4 e sqr ( e )  | W   ( 4 )

    Nun musst du zweierlei bedenken. Für negatives Argument besitzt die W-Funktion immer zwei Lösungen analog Plus/Minus Wurzel. Und genau wie reelle Wurzeln aus negativen Zahlen nicht möglich sind, muss notwendig das Argument der W-Funktion ( dem Betrage nach ) immer < = 1/e .

      x1;2 = - 3 + 2 | W1;2 [  - 1 / 4 e sqr ( e )   |     (  5 )

   ( vgl. wolfram )

Bei mir musst du dich bitte an Schmuddeltricks gewöhnen. Ich arbeite

   1) effizient

    2) mit möglichst allgemeinen Prinzipien

    3) minimiere die Zahl der Unbekannten und

   4) bin von dem ehrgeiz zerfressen, besser zu sein als ihr alle.

   Wenn du mir nacheiferst, ist das nur gut für dich ... Das ist so ähnlich wie Training beim Fußball.

   Gleich die erste Info; in x = 0 haben wir diese waagrechte Tangente. Das bedeutet schon mal: eine Nullstelle höherer Ordnung; doppelte, vielleicht sogar 3-fache. Du manchmal sind die echt bösartig ...

    Wir setzen also an

    f ( x ) = k x ² ( x - x3 )   ( 1 )

    Was du gleich als Erstes beherzigen solltest: So bald du mehr wie zwei Unbekannte hast, denkst du für schulische Begriffe eindeutig zu kompliziert; irgendwo gibt es immer einen Trick, das einzusparen.

   Wie tu ich den ===> Leitkoeffizienten k von der Nullstelle x3 trennen? Dieses k ist ja höchst lästig; die eigentliche Info steckt in x3 . Mir fällt dazu die Metode des ===> logaritmischen Differenzierens ein; dir ist vielleicht bekannt, dass Logaritmen die Rechenstufe um Eins erniedrigen.

    ln ( y ) = 2 ln ( x ) + ln ( x - x3 )   ( 2a )

    y ' / y = 2 / x + 1 / ( x - x3 )   ( 2b )

   Und tatsächlich ist ja ( 2b ) auch eine Beziehung ohne k . wir kennen auch alles, wenn du setzt x3 = 2

     y = f ( 2 ) = 2   ( 3a )

    y ' = f ' ( 2 ) = 1   ( 3b )

     Dann steht in ( 2b )

    2/2 + 1 / ( 2 - x3 )  = 1/2 ===> x3 = 4   ( 3 )

    Und k kriegst du jetzt durch konkretes Einsetzen.

   Definiert ist lineare Abhängogkeit eigentlich für ein System von Vektoren; dabei gilt es noch eine Kalamität zu beachten: Ein System ist nicht notwendig eine Menge.

   So ist das System < u ; u > wegen der Doppelnennung mit Sicherheit immer abhängig. Dagegen darf eine Menge niemals Doppelnennungen enthalten; eine Menge { Dagobert ; Dagobert } gibt es nicht. So viel zu einem Ausflug in die ganz abstrakte Mathematik.

   Aber tun wir doch mal schnoddrig so wie die ganzen Lehrbücher. So hat es durchaus Sinn zu fragen, ist die Menge aller Punkte einer Geraden linear abhängig? Mit Sicherheit; in der Ebene kann es ja höchstens zwei und im Raum drei linear unabhängige Vektoren geben ( sog. Dimensionsaxiom ) aber die Gerade besteht ja aus ===> überabzählbar unendlich vielen Punkten.

    Geht die Gerade ferner durch den Ursprung, ist sie eindimensional. Die Null ist der Startpunkt und t sagen wir der Richtungsvektor.

     g ( k ) = k t

     Geht die Gerade dagegen nicht durch den ursprung, muss sie zwei linear unabhängige Vektoren enthalten; weil sonst könntest du die ja zu Null zusammen setzen.

  Lass dich nicht verwirren. Beides ist nämlich das Selbe; es ist nur

    h = b - a  ( 1 )

   Das heißt übrigens DIFFERENZENquotient ( DQ ) ( Sehnensteigung ) was ein " Differenzialquotient " ist, lass ich erst mal weg. Das würde dich bloß zu sehr verwirren.

   Mausi; hast du echt noch nie ===> interpoliert? Ach so; heut braucht's ja keine Tabellenwerke mehr wie etwa ===> Logaritmentafeln; wir konnten das noch

   " Jaja; die Jugend von Heute ... "

   Da gibt es übrigens eine Alternative. Ich jeden Falls finde sie voll schick; Mangoldt lässt sich leiten von der Beobachtung, dass die Studenten von dem DQ immer so verworren sind.

   " Durch h = 0 darf man doch nicht dividieren; also was wird denn nun aus dem DQ für h = 0 ? "

   Er begründet die Ableitung ohne eine einzige Division.

   f ( x0 + h ) = f ( x0 ) + h [ f ' ( x0 ) + R ( x0 ; h ) ]     ( 2 )

   In Worten. Wir wollen die Funktion in ( x0 + h ) ausdrücken durch ihren Wert in x0 . also den ersten Term f ( x0 ) verstehst du.

   Und jetzt wird gesagt, es kommt etwas dazu, das geht linear oder proportional mit h . Bloß der Faktor, wie steil dass es ansteigt, das ist gerade diese eckige Klammer. Was steht da drin?

   Der erste Term in der Klammer ist f ' ( x0 ) und hängt NUR von x0 ab und nicht von dem Inkrement h . Dieses f ' definiere ich als " Ableitung " in x0 . Die Ableitung alleine würde also bewirken, dass die Funktion um h f ' wächst - voll linear wie eine Gerade auch.

   Wenn aber die Kurve krumm verläuft, dann heißt das doch nichts, als dass diese eckige Klammer in Abhängigkeit von h " dynamisch " angepasst werden muss. Das leistet das Restglied R , welches i.A. so wohl von x0 als auch von h abhängt.

   Die eckige Klammer alles zusammen ist die Sehnensteigung; aaber. Wenn ich doch R anpassen darf, wie ich will. Dann ist doch der ganze Aparillo nix weiter als die Definition von R , und damit ist niemandem gedient. Was wir brauchen, ist eine zusätzliche definierende -forderung an dieses Restglied R . Und genau hier kommt bei Mangoldt der Limes ins Spiel:

   lim h ===> 0 R ( x0 ; h )  = 0   ( 3 )

    Wie ist ( 3 ) zu verstehen? Wenn h = 0 , kannst du über R sowieso nichts aussagen. Du kannst die gleichung ja nicht nach R auflösen eben WEIL die division durch Null verboten ist.

   Aber Mangoldt sagt, im Limes soll das Restglied vernachlässigbar klein sein; die Sehnensteigung ( ganze eckige Klammer ) geht gegen die Tangentensteigung f '

  Für Spickzettel und Formelsammlung. Die Tangente g ( x ; x0 ) ist der lineare Anteil der ===> Taylorentwicklung

   g ( x ; x0 ) := f ( x0 ) + ( x - x0 ) f ' ( x0 )   ( 1a )

   Stimmt ja auch; denn

      g ( x0 ; x0 ) := f ( x0 )   ( 1b )

    In unserem Falle

       f ( x ) = f ' ( x ) = exp ( x )  ( 2 )

     x0 = 0  ( 3a )

    f ( x0 ) = f ' ( x0 ) = 1  ( 3b )

   Das eingesetzt in ( 1a )

    g ( x ; x0 ) = x + 1   ( 3c )

    Und für die Normale folge mal meinem Gedankengang. Aus der Tangentensteigung bekommst du doch unmittelbar den Tangentialvektor an die Kurve in x0:

    v = ( 1 | 1 )    ( 4 )

     Für die Normale hast du eine Gleichung der Art

    F ( x , y ; a , b ) = a x + b y = C = const   ( 5a )

    Und diese eine Normale denken wir uns nun ersetzt durch eine parallele NormalenSCHAR so wie ein Höhenlinienprofil auf der Landkarte . Dabei übernimmt dann C die Rolle des Höhenparameters.

    Der Gradient von ( 5a ) steht senkrecht auf den Höhenlinien ( weist also in die Richtung von v ) und gibt gleichzeitig die Richtung des steilsten Anstieges:

    grad ( F ) = ( F_x | F_y ) = ( a | b )   ( 5b )

    grad ( F ) = v   ( 5c )

   Da uns aber v in ( 4 bekannt ist, kennen wir auch a und b in ( 5ab )

      a = b = 1    ( 6a )

     x + y = C    ( 6b )

   C durch Einsetzen des Punktes ( x0 | y0 )

  " Selbst eine alte Kuh / Lernt doch immer noch dazu "

   Mathematische Beweise werden ausschließlich mit hinreichenden Bedingungen geführt - etwas anderes kann sich die Matematik gar nicht leisten. Wenn du hast

   A ===> B  ( 1 )

   Dann ist A hinreichend für B . Ob es auch notwendig ist, steht jeden Falls nicht da.

   Jetzt kehre mal die Schlussrichtung um; wie du weißt, ist das ja nicht das Selbe:

   B ===> A   ( 2 )

   ( 2 )   heißt grade; A ist notwendig für B ( 2 ) bedeutet ja explizit

  " A oder nicht B "

   Wenn B wahr ist, muss A auch wahr sein, damit die Disjunktion wahr ist.

  Eher Kreuzprodukt ===> n-form ===> Grassmann-Algebra. Der Flächeninhalt eines Dreiecks im |R ³ ergibt sich als Kreuzprodukt

   F = 1/2 a X b   ( 1 )

   d.h. du bekommst einen " Schraubenvektor " ===> Axialvektor der senkrecht steht auf der Dreiecksfläche.

  Hinweis auf meine Antweort; die Frage wurde ja zwei Malgestellt.

https://www.gutefrage.net/frage/hilfe-bei-textgleichung?foundIn=my_stream

Wenn du mich kennen lernen willst. Ich beantworte derartige Fragen grundsätzlich mit dem Hinweis " Diktat für Formelsammlung und Spickzettel " Die Tangente g ( x ; x0 ) an die Stelle x0 ist definiert als linearer Anteil der ===> Taylorentwicklung

      g ( x ; x0 ) := f ( x0 ) + ( x - x0 ) f ' ( x0 ) ( 1a )

Stimmt ja auch; denn

g ( x0 ; x0 ) = f ( x0 ) ( 1b )

In unsserem Falle

f ( x ) := 1/2 exp ( - 2 x ) ( 2a )

x0 = 0 ( 2b )

f ( x0 ) = 1/2 ( 2c )

Die Ableitung bildest du am Schnellsten logaritmisch:

ln ( y ) = - 2 x ( 3a )

y ' / y = ( - 2 ) ( 3b )

f ' ( x0 ) / f ( x0 ) = ( - 2 ) ===> f ' ( x0 ) = ( - 1 ) ( 3c )

( 2c;3c ) einsetzen in die Grundgleichung ( 1a )

g ( x ; x0 ) = 1/2 - x ( 4 )

  Der Trick; quasi der Ansatz. Wechsle in das Bezugssystem des ersten SpeiseICE .

   Beurteilt von den Fahrgästen aus, beträgt der Abstand

 zum Zielort Frankfurt um 11h = ( 200 - 60 ) = 140 km . Der Gegenzug kommt ihnen entgegen mit der Summengeschwindigkeit ( 60 + 80 = 140 ) km/h . Also . In welcher Zeit, vermeinst du wohl, legt ein Zug mit Tempo 140 eine Strecke von 140 kleinen Männern zurück?

  Schau dir in Wiki ( oder wo auch immer ) die ===> Ähnlichkeitssätze von ===> ähnlichen Dreiecken an.

   Mein Rat: Und dann lerne die ===> winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens. Du verlierst sonst rasch jeden Sinnbezug.

   Dass ich Recht habe, magst du schon daraus ersehen, dass diese Funktionen auf deinem TR drauf sind.