Satz vom Nullprodukt

5 Antworten

  Schau mal in Wiki, was ===> Nullteiler sind. Vielleicht hast du noch nie darüber nach gedacht; wenn du eine Zahl x1 hast, die beim Teilen durch 30 den Rest 2 lässt. Man sagt dann vornehm lateinisch


     " x1 modulo 30 = 2 "    oder abgekürzt   x1 mod 30 = 2


     Und jetzt sei x2 mod 30 = 3 . Frage. Was ist


      x1 x2 mod 30 ? Ganz un kompliziert; genau das, was du denkst.


      x1 x2 = 6  mod 30 


   Mit RESTEN KANN MAN RECHNEN .

  ( du könntest sie auch addieren; aber das gehört nicht hierher. )


     Und wenn ich jetzt sage

   x1 = 5 mod 30 ; x2 = 6 mod 30


     Dann passiert doch was ganz Komisches. Modulo 30 gilt doch die Identität


     5 * 6 = 0    ( 1 )


        weil eine Zahl mit Rest 30 ist ja eigentlich wieder eine Zahl mit Rest Null.  D.h. es kann der Unfall passieren, dass wenn beide Zahlen größer oder ungleich Null sind, ist ihr Produkt trotzdem Null. Und sowas nennt man eben Nullteiler.

   Sagen wir's noch elitärer.

   " Null Mal irgendeine Zahl a gibt immer Null. "  ( * )

   Ist das immer und ausnahmslos wahr? Ja.

   Hier du kennst das doch. Wenn der Strom ausfällt, brennt die Lampe nicht mehr. Ist die Umkehrung dann auch automatisch richtig?

  "   Wenn die Lampe nicht scheint, ist der Strom ausgefallen. "

   Eindeutig nein. Und die Umkehrung des obigen Satzes, den ich mit ( * ) markiert habe, die würde doch lauten

   " Wenn ich eine beliebige Zahl a her nehme und a x = 0 , dann muss die Unbekannte x notwendig x = 0 sein. "

   Du hast verstanden, dass diese Umkehrung nur richtig ist, wenn es keine Nullteiler gibt. Also mod 30 geht es eindeutig schief.

   Jetzt kommt ein ganz wichtiger Punkt. Was passiert, so bald du uneingeschränkt dividieren kannst? Z.B. wenn du 1 teilst durch 4 711, dann kriegst du zwar den Bruch 1/4711 , aber du kriegst ein konkretes Ergebnis. Und genau so meine ich das jetzt. Hier du kennst das doch mit den ganzen gleichungen; wenn da steht


      a x = b    ( 2a )


     dann tust du durch a teilen, um die Unbekannte x zu isolieren:


       x = b/a   ( 2b )

   

    wir haben uns oben mit der Frage beschäftigt; wie muss ich x wählen, damit bei gegebenem a die gleichung gilt


       a x = 0  | : a      ( 3a )

        x = 0 / a = 0   ( 3b )


    du hast also in ( 3ab ) bewiesen: Wenn ein Produkt Null ist, dann muss ( mindestens ) ein Faktor Null sein.

   Und wenn da die ===> Polynomgleichung steht


    ( 2 x + 8 ) ( 3 x - 2 ) = 0    ( 4a )


     Dann kann sowas eben nur richtig sein, wenn entweder


      2 x + 8 = 0 ===> x1 = ( - 4 )   ( 4b )


    oder


    3 x - 2 = 0 ===> x2 = 2/3   ( 4c )


    Hast du das wirklich verstanden? Weil ich will verhindern, dass du den Anschluss verpasst; das kommt zwar nicht dauernd dran, aber es ist doch ein sehr wichtiges Thema und wird öfters gebraucht.

   Ich bekomme immer so viel unnütze Systemnachrichten - hast nicht du die Möglichkeit, mir eine Nachricht zu zukommen zu lassen mit einem Link, wo ich nur drauf klicken muss, um zu kommentieren? In " Lycos " gabs das; das hioeß dann PN wie persönliche Nachricht.

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