Grenzwert einer Funktion mit 2 Variablen?
Aufgabe: Ich bräuchte Hilfe bei folgender Aufgabe:
Ich soll schauen, ob der Grenzwert
$$\lim\limits_{x,y\to\(0,0)}= \frac{(x-y)^{2}(e^{xy}-1)}{x^{4}+y^{4}}§§ existiert und ob f stetig in (0,0) ist.
lim (x,y)->(0,0) f(x,y), wobei f(x,y)=((x-y)2(e^(xy)-1))/(x4+y4)
Problem/Ansatz: Wie gehe ich hierbei vor?
4 Antworten
Setzte x=a und y=-a
Dann erhälst du:
4a^2(e^(-a^2)-1)/(2a^4)
Bzw gekürzt:
2(e^(-a^2)-1)/a^2
Zähler und Nenner gehen beide gegen 0, wenn a gegen 0 geht.
Du kannst also nun versuchen L'Hopital zu nutzen oder die Reihendarstellung der e-Funktion betrachten.
Dann wirst du einen Grenzwert erhalten der von 0 verschieden ist.
Wenn du x=a und und y=a setzt bekommst du den konstanten wert 0.
Du hast somit zwei Nullfolgen dessen Funktionswerte gegen einen unterschiedlichen wert konvergieren, es existiert also kein Grenzwert
Aber wieso a und -a?
Wir hatten das nur einmal auf einem Zettel und haben da zb 1/n eingesetzt, weil es gegen o geht für n gegen unendlich. Reicht da der Nebensatz "wenn a gegen o geht" aus?
L´Hopital hatten wir nicht, aber da weiß ich glaube ich, wie es gehen sollte :)
Boa du fragst mich Sachen XD
Der ist das Mathe Genie nicht ich XD ich weiß nicht Mal ob ich mein Abi nächstes Jahr schafe...
Du kannst natürlich auch 1/n und -1/n betrachten und dann n gegen unendlich laufen lassen.
Mit a gegen 0 ist es hakt weniger Schreibarbeit
Hattet ihr zumindest die Reihenentwicklung der e-Funktion? Damit müsste es eigentlich ganz einfach gehen
Super danke. Bei so einer Aufgabe dann einfach immer zb 1/n und -1/n wählen und einsetzen und schauen, was rauskommt?
Ist das die Taylor-Entwicklung? Die hat er in der Vorlesung auch nicht mehr geschafft, also nein..
Bist überhaupt noch ein Mensch?! XD
Ich bin jetzt schon nach einem Jahr satt von unserem Dr. Deutschlehrer... Unser Klassenschnitt ist ein 4,23 Punkte.
Und zum Glück gibt es auf der FOS keine LKs...
Also das wären Standartfälle, wo die Funktionen meist kaputt gehen. Es kann aber natürlich sein dass etwas komplizierteres gebraucht wird. Z.b 1/n^2 oder so was, man muss dann immer ein bisschen nachdenken.
Also Falls ihr die e-Funktion hattet, müsstet ihr doch auch die Reihendarstellung von der betrachtet haben oder nicht? Üblicherweise weise wird nämlich die Funktion durch die Reihe definiert. Dürfte ich fragen was (bzw in welcher Fachrichtung) du studierst?
Ja hab ich in der Klausur auch gemerkt, dass das dadurch komplizierter wird :D
Ist das denn die Taylor Entwicklung? Die hatten wir nicht - er hat das komplette 3. Kapitel nicht mehr geschafft.. Studiere Mathematik und das Wintersemester wird mein 3. Semester
Oh wow und ihr habt L'Hopital im 1. Semester nicht behandelt? Das ist doch Standard in der Analysis
Das ist im Grunde auch die Taylorreihe der e Funktion, jedoch wird normalerweise die E Funktion als grenzwert einer Reihe definiert, noch bevor man die Taylorentwicklung behandelt, da man dann durch die e-Funktion den Sinus und Cosinus sowie das rechnen mit den Komplexen Zahlen einführt
Hatte jetzt im 2. Semester erst Analysis, aber ja, der Prof kam absolut nicht mit den Themen durch..
Die Komplexen Zahlen hatten wir im ersten Semester im Modul "Grundlagen der Mathematik", aber Taylor fehlt uns
Ja im 1. Semester haben wir Lineare Algebra 1, Informatik und Grundlagen, im 2. Lineare Algebra 2 und Analysis 1, aber eig sollte man L´Hopital und so schon geschafft haben.. .-.
Danke nochmal. :) Wie begründe ich, ob f stetig in (0,0) ist?
Das ist komplizierter
Entweder du nutzt das Epsilon Delta Kriterium um zu zeigen dass es stetig ist oder du zeigst dass die Funktion eine Verknüpfung von Funktionen ist, die an dieser Stelle stetig sind
Geht das nicht leichter? Darauf gibts nur einen Punkt..
Die oben..
f(x,y)=((x-y)2(e^(xy)-1))/(x4+y4) wenn (xx,y) ungleich (0,0)
und 0, wenn (x,y)=(0,0)
Die Funktion ist nach dem Folgenkriterium nicht stetig. Du hast 2 Folgen gefunden, die gegen den Ursprung konvergieren, dessen Funktionswerte aber nicht gleich sind
Welche 2 Folgen denn? meinst du als erstes für x=1/n und y=-1/n und dann für x=y=1/n?
Kann man dann sagen, dass es nie stetig ist, wenn der Grenzwert nicht existiert?
Weiß nicht was Konvergenzverhalten ist.
Meine Gedanken:
x und y gehen gegen null, das heißt die müssen gleich sein. Von einander subtrahiert ist es gleich null, somit ist die ganze Gleichung Null... Somit ist f stetig in 0,0
Ich weiß nicht was ich da falsch mache oder richtig mache, das sieht halt für mich logisch aus...
Wenn du die richtige Lösung dazu irgendwann bekommst, wäre nett wenn du sie hier teilen würdest.
Wir setzen ja nicht überall 0 ein. X - Y ergibt halt in diesem Fall 0. X*Y ist nicht gleich 0. Und X⁴+Y⁴ ist auch nicht gleich 0, also wird es auch nicht durch 0 geteilt.
So wie wir letztes Jahr gelernt haben, ist es unwichtig zu wissen was der Wert ist, weil den gibt's nicht. Die beide zahlen gehen gegen 0 aber die sind immer noch -(y+x)<0<(y+x). Das kann man doch nicht wisse welches Zahl am nächsten zu 0 ist wenn alle ℝ Zahlen berücksichtigst
Bei uns war es auch nicht besser mit Corona... Seit dem wir mit Präsenzunterricht begonnen haben mussten wir 3 bis 4 Sache in ne Woche schreiben. War nicht wirklich amüsant
In der Uni lernt man extra Grenzwertsätze, mit denen man genau bestimmen kann gegen was etwas konvergiert.
Im Mehrdimensionalen ist das ganze etwas komplizierter, weswegen "einfach Nahe werte" einsetzen nicht funktioniert, da es sein kann, dass es Richtungen gibt, wo die Funktion was komisches macht
Beispiel:
xy/(x^2+y^2)
Entlang der x und y Achse nimmt die Funktion. Den konstanten wert 0 an.
Wenn man aber die Funktion entlang der Geraden y=x betrachtet also y=a und x=a einsetzt hat die Funktion darauf den konstanten wert 1/2.
Somit ist die Funktion an dem Ursprung nicht stetig
Da ich sehe, dass du sehr gewandt in Bereich Mathematik, würde ich gerne um deine Hilfe bitten mir paar gute Literaturen zur Thema "Quaternionen" zu empfehlen. Bitte bitte bitte Meister 🥺
So funktioniert das nicht, der Grenzwert existiert genau dann wenn für jede Folge (x_n,y_n) die gegen (0,0) geht die Folge der Funktionswerte immer gegen den selben wert gehen. Du betrachtest hier nur einen einzigen Fall, und zwar x=y
Ist es nicht einfach 0? Da in der Funktion am Anfang x-y steht und das muss doch 0 sein oder?
Ich bin nicht gute in Mathe...
Aber x-y sagt ja nichts über das Konvergenzverhalten aus?
Im Normalfall transformierst du in Polarkoordinaten und lässt dann r gegen 0 gehen
Ich hab grad nicht so wirklich Lust darauf, und wenn du das sowieso noch nicht hattest, ist es wohl auch nicht gefragt.
Nice, Dankeschön