Wie berechne ich den Grenzwert meiner Wurzelfunktion?
Das Grenzwerte berechnen ist an sich kein Problem, nur sobald Wurzeln mit ins spiel kommen wird es hässlich für mich.
Habe die Aufgabe:
Limes (x geht gegen unendlich) (wurzel(x+2)-wurzel(x-3))/(x+2)
Ich schaffe hier nicht einmal den ersten schritt, weil ich einfach nicht weiß was ich denn tun soll..
4 Antworten
Hallo,
ich würde den Bruch zunächst in zwei Brüche aufspalten:
[Wurzel(x+2)]/(x+2)-[Wurzel(x-3)]/(x+2).
Den linken Bruch kannst Du durch Wurzel(x+2) kürzen:
1/Wurzel(x+2). Für x gegen unendlich geht dieser Bruch gegen Null.
Bei dem zweiten Bruch kannst Du die Regel von l'Hospital anwenden, indem Du die Ableitungen von Zähler und Nenner bildest:
1/[2*Wurzel(x-3)]. Auch dieser Bruch geht für x gegen unendlich gegen Null.
Der Limes der Funktion für x gegen unendlich ist also 0-0=0
Herzliche Grüße,
Willy
Kennst du die Regel von de l’Hôpital? Die hilft hier weiter.
Da deine Funktion (für x gegen Unendlich) einen unbestimmten Ausdruck ergibt, kannst du gemäß dieser Regel Zähler und Nenner ableiten und dann erneut versuchen, den Limes zu bilden.
Für den Grenzwert deiner Funktion ergibt sich dann der Wert 0.
Ja die Regel kenne ich, allerdings ist das hier eine ältere Aufgabe & sollte deshalb ohne hospital gelöst werden
{√(x + 2) ‒ √(x ‒ 3)} / (x + 2) =
{√(x + 2) ‒ √(x ‒ 3)} {√(x + 2) + √(x ‒ 3)} / (x + 2) {√(x + 2) + √(x‒ 3)} =
(x + 2 ‒ x + 3) / (x + 2) {√(x + 2) + √(x ‒ 3)} = 5 / (x + 2){√(x + 2) + √(x ‒ 3)}
In diesem Fall kannst du den Bruch auseinanderziehen und die Grenzwerte der beiden Summanden einzeln berechnen. (Das geht immer, wenn alle Grenzwerte existieren.)
Dann hast du im Zähler eine Funktion der Ordnung x^(1/2) und im Nenner der Ordnung x^1. Die Grenzwertregel mit Brüchen mit Potenzen verschiedener Ordnung gilt auch für Wurzeln.
Du kannst auch versuchen, den Ausdruck zu quadrieren, wenn dadurch die Wurzel verschwindet. Den Grenzwert bekommst du wieder durch Wurzelziehen. (Beide möglichen Vorzeichen berücksichtigen und prüfen.)
Dann kannst du substituieren, sodass unter der Wurzel nur ein einzelner Buchstabe steht. Damit siehst du vielleicht leichter, dass beide Funktionen für x -> unendlich gegen 0 gehen.
Was nützt es mir die Grenzwerte einzeln zu berechnen?
Dann habe ich immer noch: (Wurzel(x+2))/(x+2) & (-Wurzel(x-3))/(x+2).
Ändert ja rein gar nichts an meinem Problem.