Wie berechne ich den Grenzwert mit der x gegen x0 Methode?
Kann mir bitte jmd helfen? Ich verstehe das irgendwie nicht. Ich brauche dringend eine Erklärung und zwar Schritt für Schritt:/. Könnte es mir vielleicht jmd an dem Beispiel lim x->1 4x² -4 /1-x
3 Antworten
Ich denke, dir fehlen hier ein paar Klammern und du meinst den Grenzwert von (4x² - 4)/(1 - x) für x gegen 1, also...
Zur Berechnung dieses Grenzwertes kann man im Zähler 4 ausklammern und die dritte binomische Formel nutzen. Klammert man dann im Nenner noch -1 aus, kann man den Bruch mit (x - 1) kürzen.
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Kleine Bemerkung noch: Es sieht übrigens ein wenig danach aus, als würde es um die Ableitung von f(x) = 4x² an der Stelle x = 1 gehen. Wenn das so ist, braucht man jedoch den Grenzwert von (4x² - 4)/(x - 1) für x gegen 1 und nicht den Grenzwert von (4x² - 4)/(1 - x) für x gegen 1.
Hallo,
ist eigentlich nicht nötig, da Du es mit einer behebbaren Definitionslücke zu tun hast.
4x²4=4*(x²-1)=4*(x+1)*(x-1)=-4*(x+1)*(1-x)
Da Du den Faktor (1-x) im Zähler gegen (1-x) im Nenner kürzen kannst, bleibt
f(x)=-4*(x+1), was bedeutet, daß f(1)=-8.
Natürlich ist -8 nur der Grenzwert, da die Originalfunktion für x=1 nicht definiert ist.
Dem Funktionsgraphen siehst Du das allerdings nicht an, da die Lücke unendlich klein ist.
Aber wenn es unbedingt x gegen x0 sein muß:
Du ersetzt x durch x0+h und läßt h gegen Null gehen:
Da x0=1:
f(1+h)=[4*(1+h)²-4]/[1-(1+h)]
Ausmultiplizieren und zusammenfassen:
(4*(1+2h+h²)-4)/(-h)
(4+8h+4h²-4)/(-h)
(8h+4h²)/(-h)
h ausklammern:
[h*(8+4h)]/(-h)
Jetzt kann h gekürzt werden:
-(8+4h).
Jetzt ist kein h mehr im Nenner und h darf gegen Null gehen:
Es bleibt als Grenzwert für x gegen 1 lim (x gegen 1)f(x)=-8.
Herzliche Grüße,
Willy
Wenn du das Gesetz von L'Hospital anwenden darfst, dann kannst du es hier nutzen.