Grenzwert einer quadratischen Funktion?

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6 Antworten

Hallo,

Du suchst den Differentialquotienten, den Grenzwert der Differenzenquotienten, der auch die Ableitung der Funktion genannt wird.

Ohne h geht's am schnellsten:

f'(x)=6x+5

Mal sehen, ob dasselbe herauskommt, wenn Du f(x+h) bildest und h gegen Null gehen läßt:

f(x)=3x²+5x-1

[f(x+h)-f(x)]/(x+h-x)=

[3*(x+h)²+5(x+h)-1-(3x²+5x-1)]/h

[3*(x²+2hx+h²)+5x+5h-1-3x²-5x+1]/h

(3x²+6hx+3h²+5x+5h-1-3x²-5x+1)/h

(6hx+3h²+5h)/h (der Rest ist beim Addieren weggefallen)

h ausklammern:

[h*(6x+3h+5)/h]

h kürzen:

6x+3h+5

Wenn h nun gegen Null geht, fällt der Summand 3h weg und übrig bleibt 
6x+5

Du hast so eine Funktion gefunden, die Dir für jedes x die Steigung von f(x) anzeigt. Durch die h-Methode entwickelst Du Steigungsdreiecke, die letztlich zu Null zusammenschrumpfen. So wird aus einer Sekante, die zwei Punkte auf dem Funktionsgraphen verbindet, eine Tangente, deren Steigung mit der Steigung an der Stelle des Funktionsgraphen übereinstimmt, den die Tangente berührt.

6x+5 ist die Ableitung f'(x) zu der Funktion f(x)=3x²+5x-1

Herzliche Grüße,

Willy

chuly 05.11.2016, 17:11

Erstmal danke für die Antwort. Das wird auch sicherlich alles richtig sein. Aber ich verstehe ehrlich gesagt den Schritt von [f(x+h)-f(x)]/(x+h-x) zu [3*(x+h)²+5(x+h)-1-(3x²+5x-1)]/h nicht :-(

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Willy1729 05.11.2016, 17:39
@chuly

Im Nenner sollte es klar sein: x+h-x=h, weil sich die beiden x aufheben.

Der Zähler ergibt sich, wenn Du einmal x+h in die Funktion anstelle von x einsetzt und davon dann f(x) abziehst.

f(x)=3x²+5x-1

Jetzt setzt Du für jedes x ein x+h ein:

3*(x+h)²+5(x+h)-1

Das multiplizierst Du aus:

(x+h)²=x²+2hx+h²

3*(x+h)²=3x²+6hx+3h²

5*(x+h)=5x+5h

Jetzt zusammensetzen:

3x²+6hx+3h²+5x+5h-1

Das ist f(x+h)

Um den Differenzenquotienten zu ermitteln, ziehst Du davon f(x) ab und teilst das Ganze durch h:

[3x²+6hx+3h²+5x+5h-1-(3x²+5x-1)]/h

Jetzt löst Du die runde Klammer auf:

(3x²+6hx+3h²+5x+5h-1-3x²-5x+1)/h

Nun hebt sich einiges auf: 3x²-3x²=0; 5x-5x=0; -1+1=0

Es bleiben nur noch Summanden mit h übrig:

(6hx+3h²+5h)/h

Oben kannst Du nun das h ausklammern und gegen das h im Nenner kürzen:

[h*(6x+3h+5)/h

6x+3h+5

Nun ist kein h mehr im Nenner und Du kannst h endlich gegen Null gehen lassen - was vorher nicht möglich war, weil es zu einer Division durch 0 gekommen wäre:

Übrig bleibt der Differentialquotient (die Ableitung) f'(x)=6x+5

Die h-Methode ist entwickelt worden, um auch bei Kurven die jeweilige Steigung bestimmen zu können.

Man ging dabei von folgender Überlegung aus:

Ich habe einen Funktionsgraphen, der eine Kurve beschreibt.

Dieser Graph ändert ständig seine Steigung, er steigt mal steil an, mal fällt er, mal geht er waagerecht usw.

Wenn ich nun zwei Punkte auf dem Graphen auswähle und die beiden mit einer Geraden (einer Sekante) verbinde, kann ich die Steigung dieser Geraden bestimmen. Diese Steigung ist zwar nicht die Steigung der Kurve, aber sie zeigt an, wie stark die Kurve im Durchschnitt zwischen diesen beiden Punkten steigt oder fällt.

Der eine Punkt sei f(x), der andere Punkt sei f(x+h), wobei h beliebig wählbar ist. Je größer h, desto weiter liegen beide Punkte auseinander.

Sowohl f(x) als auch f(x+h) sind dabei Punkte auf der Sekante.

Die Steigung einer Geraden berechnet man, indem man den Unterschied in der y-Richtung durch den Unterschied in der x-Richtung teilt. So kommt man auf die Formel [f(x+h)-f(x)]/(x+h-x)

Wenn Du ein kariertes Blatt hast und einen Punkt in die Ecke eines Kästchens zeichnest, von da aus 3 Kästchen nach rechts gehst (Abstand in x-Richtung) und von dort 5 Kästchen nach oben (Abstand in y-Richtung), ist die Steigung 5/3.

Wenn jetzt h kleiner wird, bedeutet das, daß die Punkte auf dem Funktionsgraphen näher zusammenrücken. Die Sekante, die diese beiden nahen Punkte verbindet, kommt der tatsächlichen Steigung der Funktion natürlich näher, als wenn die Punkte weit auseinanderliegen. Geht h gar gegen Null, verschmelzen beide Punkte zu einem und die Sekante wird zu einer Tangente. Wenn Du aber eine Tangente an den Graphen einer Funktion anliegst, entspricht deren Steigung genau der Steigung, die die Funktion an diesem Berührpunkt hat.

Du kannst dieses Spielchen nun für einen konkreten Punkt auf dem Graphen machen, zum Beispiel für f(3):

[(f(3+h)-f(3)]/h

oder Du machst es gleich allgemein für alle x und damit für die ganze Funktion.

Du bekommst dann eben keinen einzelnen Wert heraus, der nur für eine Stelle stimmt, sondern eine neue Funktion, in die Du beliebige Werte für x einsetzen kannst und als Ergebnis die Steigung an dem von Dir gewählten Punkt erhältst.

Voraussetzung ist nur, daß die Funktion an der jeweiligen Stelle differenzierbar ist, also kein Loch hat oder einen Knick, so daß dort keine Tangente angelegt werden kann.

Deine Funktion ist aber überall differenzierbar.

Willy

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Faktorisiere dazu:

f(x) = 3x² + 5x - 1 = x²(3 + 5/x - 1/x²)

5/x sowie 1/x² werden für x → ∞ null, dann bleibt noch übrig: x²(3 + 0 - 0) = 3x².

Und davon ist der Grenzwert für x → ∞ eben auch ∞.

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, nur her damit! :) 

LG Willibergi

ProfFrink 05.11.2016, 16:58

Aber wo steht denn dass x → ∞ ausgeführt werden soll?

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Suche den Termteil mit dem HÖCHSTEN Exponenten.

Das ist hier 3x².

Allgemeine Schreinweise: nx², wobei n>0 ist 

Dazu musst Du nur den Verlauf von x² kennen. Das n ist Nebensache, weil die Funktionswerte alle im 1. und 2. Quadranten liegen.

-------------------------------------

Man sucht sich also immer den Termteil mit dem höchsten Exponenten.

Dann muss man nur noch die Potenzfunktionen der Art:

f(x)=nx^a und f(x)=-nx^a mit a gerade und n>0

f(x)=nx^b und f(x)=-nx^b mit b ungerade und n>0

kennen.

Und der Grenzwert ist kein Problem mehr.

Und in welchem Zusammenhang steht h mit der Funktion?

chuly 05.11.2016, 16:59

Naja, also wir haben dieses Thema erst vor ein paar Tagen angefangen und unser Mathelehrer hat uns die Formel lim f(xo+h)-f(xo)/h vorgesetzt. deshalb dachte ich, dass ich lim h->0 dazu schreiben sollte

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ProfFrink 05.11.2016, 17:04
@chuly

Genau das ist das Problem. Die Formel sagt Dir möglichweise gar nichts. Du weist eigentlich nicht, was Du mit der Formel machen sollst. - Was fehlt ist nämlich genau der Wert xo, also der Wert, der im Grenzwertprozess angefahren werden soll. Willibergi hat ein x0 = ∞ angenommen. Aber ist das so?

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f(x0+h) - f(x0)   3(x0+h)^2 + 5(x0+h) - 1 - (3x0^2+5x0-1)
--------------- = ---------------------------------------
x0 + h - x0 h

3 (x0^2 +2x0h + h^2) + 5x0 + 5h - 1 - 3x0^2 - 5x0 + 1
= ------------------------------------------------------
h

3x0^2 + 6x0h +3h^2 + 5x0 +5h -1 -3x0^2 - 5x0 + 1
= ------------------------------------------------
h

6x0h + 3h^2 + 5h h (6x0 + 3h + 5)
= ---------------- = ---------------- = 6 x0 + 5 + 3h
h h

lim für h gegen 0: 6 x0 + 5
chuly 05.11.2016, 17:17

Kannst du mir den Schritt von [f(x+h)-f(x)]/(x+h-x) zu
[3*(x+h)²+5(x+h)-1-(3x²+5x-1)]/h erklären ?

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Schachpapa 05.11.2016, 17:24
@chuly

Deine Funktion ist f(x) = 3x²+5x-1

Du setzt (x0+h) bzw. x0 für x ein.

Dann ist f(x0+h) = 3*(x0+h)²+5(x0+h)-1

und f(x0) = 3x0² + 5x0 - 1

Nach dem Ausmultiplizieren und addieren fällt einiges weg.

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chuly 05.11.2016, 17:27
@Schachpapa

Okay, danke. Ich merke grade wieder, dass Mathe definitiv nicht mein Fach ist.

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In deiner Schule wird die dumme und unnötig komplizierte Mathematik erklärt. Vergiss das h. Du willst wissen wie der Graph im unendlichen aussieht (für x geht gegen unendlich)? dann setz für x =unendlich ein. Dunn erhälts du y=oo^2+oo+... Also sehen wir, jeweiter du nach rechts gehst wegen x, desto unendlicher werden die y-Werte. Nun mache das gleiche auch nach links für x gegen -oo.
oo:= steht für das Unendlichsymbol

Schachpapa 05.11.2016, 17:20

Aus der Antwort an Profifink vor 17 Minuten geht hervor, dass der Frager den Grenzwert des Differenzenquotienten an der Stelle x0 meint, auch bekannt und gefürchtet als h-Methode.

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