Wie man es üblicherweise liest, wurde ja schon ausreichend beantwortet.

Warum es diese Konvention gibt, ist aber auch eine spannende Frage, für deren Antwort ich mich auch erstmal am Kopf kratzen musste. Alles Folgende ist unpräzises Konventionen-Gefasel - klar, denn mathematisch ist es irrelevant, welches Symbol man verwendet und wie man Präzedenz definiert.

Die Kernfrage ist, warum man



liest.

Wikipedia liefert als Begründung im Wesentlichen nur "es war wohl schon immer so". Ich vermute, dass es sich einfach aus einfachen Zahlenmengen und deren Addition und Multiplikation ergibt - daraus, dass die Multiplikation üblicherweise als eine Kurzschreibweise für die Addition verwendet wurde.

Das beste Beispiel sind die natürlichen Zahlen, in denen sich zwei Elemente n und m als



verhalten. Und dann ist aus der Assoziativität der Addition natürlich klar, dass alles andere als



inkonsistent wäre. Gleichermaßen wird die Potenz-Schreibweise ursprünglich (und auch heute noch in trivialen Beispielen von Strukturen) als Kurzschreibweise für die Multiplikation verwendet,



und aus alledem ergibt sich, dass schon mal sinnvollerweise



gelten muss. Jetzt haben wir aber noch gar nicht über "Minus" gesprochen. Dafür müssen wir ein bisschen in die Gruppentheorie abdriften.

Das Minus ist üblicherweise Notation für dass additiv inverse Element. Betrachtet man eine Gruppe



mit Verknüpfungssymbol (!) Plus, so bezeichnet



für ein Gruppenelement g das Gruppenelement, das additiv verknüpft das neutrale Element ergibt. Die Existenz ist Voraussetzung, um eine Menge mit einer Verknüpfung "Gruppe" nennen zu dürfen und deshalb ergibt eine solche Notation auch Sinn.

Man kann sich jetzt leicht analog wie oben überlegen, dass wegen



auch



gelten muss (man überlege sich nur, wie sich das additive Inverse auf Produkte auswirkt und wie man Konsistenz mit der bereits definierten Notation für Addition und Multiplikation gewährleisten kann). Und hieraus folgt schließlich



direkt aus der Definition des additiven Inversen.

Ein Fazit: Die Konvention folgt letztlich daraus, dass die Multiplikation als eine Kurzschreibweise für die Addition entsprungen ist. Daraus ergibt sich direkt die Punkt-vor-Strich-Konvention als am sinnvollsten und überträgt man das schließlich noch auf die additiven Inversen, bleibt -x² = -(x²) als einzig sinnvolle Konvention.

Mal abgesehen von Formalismus-Problemen (das x muss natürlich sein, damit ein x-Eck Sinn ergibt, die Ableitung einer nur auf IN definierten Funktion ist nicht ganz einfach zu definieren, etc.pp.):

Wenn eine Kurve f(x) mit wachsendem x gegen Pi konvergiert, dann konvergiert die Ableitung notwendigerweise gegen 0 (das ist die "Ableitung an der Stelle unendlich"), ansonsten würde f ja immer weiter wachsen und könnte nicht konvergieren. Was du daraus ableiten willst, musst du dir selbst überlegen. Dann müsstest du aber erstmal eine sinnvolle Aussage daraus formulieren und dir Gedanken über die oben angesprochenen Ungenauigkeiten machen).

Na ja, was heißt mathematisch. Auch ein



ist mathematisch einwandfrei. Man muss nicht alles pervers formalisieren.

Aber man kann natürlich:







Kurz:

boolean hasRole(User user, Role role) {
  return user.getRoles().contains(role);
}

Unter der Voraussetzung, dass user.getRoles() eine List<Role> zurückgibt. Ansonsten müsstest du die Typen noch anpassen - aber strukturell kann man es so kurz prüfen.

Ansonsten, wenn du etwas nur auf eine bestimmte Übereinstimmung eines Attributs prüfen willst wie etwa ob die Liste eine Rolle mit gleichen Namen enthält (z.B. wenn es so modelliert ist, dass die Rolle explizit dem User zugeordnet ist, was zwar in der Regel schlechter Stil ist, aber leider manchmal vorkommt):

boolean hasRole(User user, Role role){
  return user.getRoles()
             .stream()
             .map(Role::getName)
             .anyMatch(userRoleName -> userRoleName.equals(role.getName());
}

Das ist eine kleine Hauptachsentransformation. Du sollst eine 2x2-Matrix finden, sodass



gilt. Wenn du noch nicht siehst, was die Matrix für Koeffizienten haben muss, multipliziere die linke Seite aus und mache einen Koeffizientenvergleich.

(Du kannst die Matrix sogar symmetrisch wählen.)

Es scheint so, als hättest du ein etwas verquertes Verständnis von Stochastik bzw. Wahrscheinlichkeitstheorie.

Wahrscheinlichkeitstheorie ist überhaupt kein ungefähr oder eventuell. Nur ist es eben leider so, dass wir nicht hellsehen können und damit zum Beispiel bzgl. der Häufigkeiten eines Ereignisses nur Aussagen über Grenzwertprozesse machen können. Bezeichnet #(n) in einem n-maligen Münzwurf den Anteil, bei dem Kopf geworfen wurde, so liefert das Gesetz der Großen Zahlen (ein mathematischer Satz über das Konvergenzverhalten von Summen integrierbarer messbarer Funktionen)



- und das ist eine mathematisch exakte Aussage, meint nämlich



und salopp: Wirft man nur oft genug, kommt der Anteil der Kopf-Würfe der 1/2 beliebig nahe. Liest man aber natürlich nur den letzten Satz, mag das ein bisschen wie vermeintliche Wahrsagerei wirken.

Dass wir nicht hellsehen können, macht die Aussagen, die in der Wahrscheinlichkeitstheorie gemacht werden, aber nicht weniger ungenau.

Das ist ein kleines, griechisches Theta, das man gerne für Winkel in der komplexen Ebene verwendet.

Tipp: Versuche mal eine durch die andere Funktion auszudrücken. Dann sieht man es direkt.

Man könnte zum Beispiel



schreiben.

Für f(20) überlege dir einfach, was die kleinste Primzahl ist, die größer als 20 ist.

Mit anderen Worten: Was ist die nächste Primzahl nach 20? Da Primzahlen natürlich sind und man bei kleinen Zahlen erwarten kann, dass der Abstand zur nächsten Primzahl überschaubar ist, kann man einfach abzählen,

• 21?
• 22?
• 23?
• 24?
• 25?,

und bei der ersten Primzahl stoppen.

Es hat eine andere Bedeutung, aber dasselbe Symbol. Für Basen



zweier Vektorräume V und W lässt sich die Basis des Tensorprodukts mit dem kartesischen Produkt



der Basen der Ausgangsräume identifizieren. Für Basiselemente schreibt man suggestiv



und meint damit aber auch nur das entsprechende Element im kartesischen Produkt. Es ist also nur Notation.

(Durch bilineare Fortsetzung kann man



auch für beliebige Vektoren (also nicht notwendigerweise Basisvektoren) aus V bzw. W definieren.)

Das kann man sich sehr leicht selbst klar machen.

Überlege dir, was die elementaren Umformungen einer Matrix, d.h.

• Addieren zweier Zeilen
• Vertauschen zweier Spalten oder Zeilen
• Multiplizieren einer Zeile mit einem Skalar ungleich 0

für das dahinterliegende Gleichungssystem bedeuten.

Zum Beispiel: Vertauschen zweier Spalten entspricht dem Vertauschen zweier Gleichungen. Da die Reihenfolge der Gleichungen nichts an der Lösungsmenge des Gleichungssystem ändert, ist das Vertauschen zweier Zeilen erlaubt.

Dann überleg dir, was es für das Gleichungssystem bedeutet, wenn eine Matrix in Dreiecksform ist.

Schließlich mach dir klar, warum das Gauß-Verfahren funktioniert: Solange elementar umformen, bis die Matrix in Dreiecksgestalt ist. Das ist klar, wenn dir bewusst ist, dass die elementaren Umformungen nichts an der Lösungsmenge ändern.

Durch die Abbildungsvorschrift



ist bereits eine eindeutige lineare Abbildung definiert. Ausführlicher könnte man schreiben:



Eine lineare Abbildung ist bereits durch die Bilder der Basisvektoren eindeutig bestimmt. Denn jeder Vektor kann als Linearkombination der Basisvektoren geschrieben werden und die Linearität reduziert das Bild des allgemeinen Vektors auf eine Linearkombination der Bilder der Basisvektoren. Und weil die bekannt sind, ist damit auch das Bild allgemeiner Vektoren definiert.

Du sollst jetzt nur noch Bijektivität nachweisen, d.h. einmal Injektivität (trivialer Kern) und einmal Surjektivität (jeder Wert wird angenommen). Hat es das ein bisschen klarer gemacht?

Man müsste spezifizieren, was "unendlich oft würfeln" sein soll.

Wahrscheinlichkeitstheoretisch ist das ganz einfach: Die Wahrscheinlichkeit, nur die Zahlen 1 bis 5 gewürfelt zu haben, geht mit steigender Anzahl der Durchgänge gegen 0. Das heißt, wenn wir "unendlich oft würfeln" als einen Grenzwertprozess verstehen (der in der Realität natürlich nicht auftritt), ist die Wahrscheinlichkeit tatsächlich 0.

Etwas formaler: Beschreibt die Zufallsvariable X_n die Anzahl an 6ern nach n Würfen mit einem gewöhnlichen Würfel, dann ist:



Unendlich oft zu würfeln, lässt sich in der Realität aber nicht umsetzen. Deshalb ist die naive Aussage, dass die Wahrscheinlichkeit null ist, mit Vorsicht zu interpretieren.

Die 0 ist ein Grenzwert. Für kein n ist die Wahrscheinlichkeit tatsächlich null. Sie wird mit steigendem n nur immer kleiner und kommt der 0 beliebig nah.

So sollte man die Konvergenzaussage auch interpretieren: Die Wahrscheinlichkeit fällt mit wachsendem n unter alle positiven Schranken, aber für kein n ist das Ereignis, in n Würfen keine 6 zu würfeln, unmöglich. Es wird nur mit wachsendem n immer unwahrscheinlicher.

Der Satz von Moivre-Laplace besagt, dass die Binomialverteilung mit wachsendem Stichprobenumfang gegen die Normalverteilung konvergiert. Dementsprechend kann die Binomialverteilung bei hinreichend großem Stichprobenumfang durch die (i.d.R. leichter zu berechnende) Normalverteilung abgeschätzt werden.

Vermutlich sollst du in der Aufgabe eine Binomialverteilung einmal durch Normalapproximation mit Moive-Laplace und einmal anders (z.B. explizit) berechnen.

Nachdem Halbrecht eine entsprechende PDF verlinkt hat: Es geht um Funktionentheorie.

• Sp(∆) ist die Spur der Dreieckskurve ∆, d.h. ihr Bild und hier genau der Rand des Dreiecks.
• int(∆) ist das Innere der Dreieckskurve ∆, d.h. genau das durch das Dreieck eingeschlossene zusammenhängende Gebiet, das beschränkt ist (siehe auch Jordan’scher Kurvensatz, dieser liefert die Existenz eines "Inneren").

Ich habe das Gefühl, es fehlt dir vor allem an Fokus.

Bist du viel an Handy und PC? Die sind der absolute Fokuskiller, weil sie einfach eine Reizüberflutung verursachen. Versuch mal darauf zu achten, weniger Dinge gleichzeitig zu machen und dir Zeit zu nehmen. Konzentriere dich auf die Sache, die du gerade tust. Ist natürlich gerade jetzt alltäglicher denn je, in einer Zeit, in der man während des Kundenmeetings Wäsche aufhängt oder im Unterricht auf der Schüssel sitzt.

Der Klassiker hierbei ist Wartezeit (auch das Warten, bis etwas zu Ende ist), verbunden mit Gedanken und vor allem Streitigkeiten. Wenn du gerade auf etwas wartest, dann warte und wenn du dich gerade (auch innerlich) streitest, dann streite dich. Aber du solltest aufhören, dich während des Wartens noch mit etwas anderem rumzuärgern. Es bringt dir auch nichts.

Dasselbe lässt sich auf so gut wie alle Situationen übertragen. Mach beim Wäsche aufhängen nichts anderes als Wäsche aufhängen, beim Essen nichts anderes als Essen. Das ist alles leichter gesagt als getan und mag im ersten Moment etwas ungewohnt, womöglich auch langweilig erscheinen. Aber du wirst sehen, wie viel fokussierter und konzentrierter du im Alltag wirst.

Lies ein Buch - mit Geschichte, kein Fachbuch. Beim Lesen macht man nichts anderes als sich zu fokussieren. Und wenn du dann weißt, wie es sich anfühlt, sich zu fokussieren, kannst du versuchen, das auf andere Dinge im Alltag zu übertragen.

Warum belastet es dich so, dass du mit Sauna, Meditation und Hobbys nichts anfangen kannst? Meinst du, du musst das? Braucht jeder ein nennbares Hobby? Nein.

Versuch mal herauszufinden, was dich unter Druck setzt, was dich davon abhält, dich zu entspannen. Zu wenig Struktur im Tag? Zu viel Multitasking? Das Problem zu verstehen ist ja oft der erste Schritt zur Lösung.

Das Inverse von ab soll ja mit ab multipliziert das neutrale Element ergeben. Das heißt, von rechts an ab multipliziert muss das Inverse erst das b und dann das a wegheben und analog (umgekehrt) von links.



Bei abelschen Gruppen macht das natürlich keinen Unterschied. Bei nicht-abelschen Gruppen ist aber



im Allgemeinen nicht das neutrale Element (betrachte zum Beispiel die symmetrische Gruppe mit drei Elementen).

Beweisen könnte man das Ganze an der Gleichung



indem man von links mit dem Inversen von a und dann mit dem Inversen von b multipliziert. Dann steht es direkt da.

Der Punkt ist die Gruppenverknüpfung. (Und auch eine Multiplikation. Multiplikation ist (zumindest in der Algebra) nur eine Art der Notation der Gruppenverknüpfung.)

Im Wesentlichen zur Strukturierung und Formalisierung von Problemen in der Informatik. Mathematik ist die Sprache, mit der man in der Informatik arbeitet.

Um nur ein einziges einfaches Beispiel zu nennen: In der Komplexitätstheorie (d.h. vereinfacht ausgedrückt Effizienz-Untersuchung von Algorithmen) geht es im Wesentlichen um Analysis, vor allem um das Wachstumsverhalten von Funktionen. Algorithmen werden abstrakt durch Funktionen beschrieben und die Mathematik liefert Mittel, um deren Wachstumsverhalten zu bestimmen und zu vergleichen.

Mit Q[a] bezeichnet man üblicherweise die Körperadjunktion von Q mit a. Ist a algebraisch, stimmen die Körperadjunktion Q[a] und die Körpererweiterung Q(a) überein.

https://de.wikipedia.org/wiki/Adjunktion_(Algebra)

int und Integer haben eine besondere Beziehung zueinander in Java.

int ist der primitive Datentyp und erlaubt daher ein paar syntaktische Besonderheiten, etwa dass er einfach als int i = 0 deklariert und initialisiert werden kann und man sich den new-Overhead einer Klasseninstanziierung spart (bzw. genauer liegt das daran, dass 0 als primitiver int bereits immer existiert und damit nicht mehr extra instanziiert werden muss).

Integer ist der dazugehörige Wrapper-Typ. d.h. eine reale Klasse mit Konstruktor und Methoden. Er kapselt im Grunde genommen den primitiven Datentyp in ein OOP-verträgliches Objekt. Wrapper-Typen benötigt man zum Beispiel für Umwandlungen (Integer.valueOf(...) erlaubt zum Beispiel die Typumwandlung von String nach Integer) und für Listen (Listentypen dürfen keine primitiven Typen sein).

Trotzdem ist eine Umwandlung von int nach Integer und andersherum oft notwendig (denn beide sind ja abstrakt verschiedene Repräsentationen des selben Objekts). Deshalb ist int (bzw. alle primitiven Datentypen) eines der wenigen Beispiele, mit dem eine implizite Typumwandlung möglich ist. Normalerweise ist eine Zuweisung

A a = b;

nur dann erlaubt, wenn b vom Typ A (oder ein Kind davon) ist. (Ich kann ja nicht

Katze k = new Katze();
Hund h = katze;

schreiben.)

Allerdings sind int und Integer weder dieselben Typen, noch ist eins ein Kind des anderen.

"Explizite implizite" Typumwandlung (d.h. dass man in der Klasse B selbst (= explizit) festlegt, wie eine Instanz wie b z.B. in einem Ausdruck wie oben ohne weiteren Code (= implizit) als A interpretiert werden kann) wie sie beispielsweise in C++ möglich ist, gibt es in Java nicht. Bei Typen, die zu Java selbst gehören, weiß der Compiler aber ausdrücklich, wie er sie umwandeln soll (das ist eine Besonderheit und nur einzelnen internen Java-Klassen vorbehalten!). Daher ist eine Initialisierung

Integer i = 0;

möglich, obwohl links und rechts zunächst komplett verschiedene Typen stehen. Der Compiler wendet den primitiven int rechts implizit (d.h. automatisch) in eine Integer-Instanz um. Das heißt, obiges ist äquivalent zu

Integer i = new Integer(0);

nur muss es nicht so explizit geschrieben werden. Genauso funktioniert auch die andere Richtung, d.h. der Compiler castet eine Integer-Instanz automatisch zu einem int, wenn es notwendig ist. In deinem Code passiert nun folgendes:

1. Deklariere i als Integer.
2. Erzeuge eine neue Integer-Instanz, die den int 0 enthält und weise diese i zu.
3. Wandle (den int) 0 zu int um (redundant) und weise dies i zu. Hier findet die implizite Typumwandlung statt. Im Wesentlichen passiert aber nichts, weil i bereits vor Zeile 6 den Wert Integer(0) hatte.

i ist also in Zeile 6 der Integer, der 0 enthält.

Im Übrigen nimmt der Compiler eine unmögliche Umwandlung in der Regel nicht einfach stillschweigend hin und setzt stattdessen null. Üblicherweise wirft er in so einem Fall eine ClassCastException und verursacht einen Programmabbruch.