Die Abschätzung
funktioniert nicht, weil der Grenzwert links nicht existiert. Du erhöhst den Wert nicht, es gibt keinen Wert.
In einem Zahlensystem zu einer "üblichen" Basis sicher nicht (üblich heißt hier so viel wie zu einer natürlichen Basis). Womöglich könnte man die b-adische Darstellung von Dezimalziffern so weit verallgemeinern, dass man Pi (z.B. in einem "Pi-adischen System") als abbrechenden Dezimalbruch darstellen kann. Wirklich sinnvoll wäre das aber nicht.
In der Regel numerisch.
wären die drei Verfahren, die mir spontan einfallen würden.
Beim Newton-Verfahren sucht man eine Nullstelle. Man definiert sich also eine Funktion, deren Nullstelle genau bei ln(x) liegt und bestimmt die Nullstelle numerisch durch die Newton-Approximation.
Bei der Integralapproximation definiert man sich ein Integral, in dem Falle
und nähert damit durch schrittweise Verfeinerung der Stützstellen den Wert des Integrals an. Damit kommt man hier auch auf den ln(x).
Die Taylorreihe
funktioniert für Werte von x zwischen -1 und 1. Hat man einen Wert außerhalb, muss man ihn runterskalieren - das klappt aber auch ohne Probleme. Dann muss man bis zur gewünschten Genauigkeit die Taylorglieder berechnen.
Welches Verfahren der Taschenrechner tatsächlich verwendet, weiß ich nicht. Diese drei Verfahren sind auch weitaus nicht die einzigen, die man zur Approximation des ln verwenden kann. Aber man sieht glaube ich ganz schön, dass es zumindest viele Möglichkeiten gibt, den ln zu berechnen.
LG
Schwierig zu sagen. Ich kann nur von der LMU sprechen, dort gibt es gar keine Vorlesung "Analytische Geometrie" mehr - sie fällt halt in die LA-Vorlesung, aber wird nicht separat behandelt. Es ist eben die Frage, was der Dozent für wichtig hält - das Durchbeißen durch abstrakte, schwer intuitiv vorstellbare Konzepte hat sicher auch einen wesentlichen Stellenwert am Anfang des Studiums.
Und die Überschneidung ist im gesamten auch eher gering - Vektorräume, lineare Abbildungen/Matrizen und Determinanten korrespondieren noch mit analytischer Geometrie, aber der ganze Rest, Ringtheorie, Modultheorie lässt sich eher schwer konkret greifen. Das ist aber sicher auch eine Kompetenz, die man im Laufe seines Studiums erreichen muss - abstrakte Dinge ohne intuitive Vorstellung greifen und verstehen zu können.
LG
Man kann natürlich unter diversen realitätsfremden vereinfachenden Annahmen einen Erwartungswert für die Zeit bestimmen. Wie sinnvoll das ist (und ob es den Aufwand wert ist), ist die andere Frage.
Eine nicht-leere Teilmenge eines Vektorraums ist genau dann ein Unterraum, wenn sie bzgl. Addition und Skalarmultiplikation abgeschlossen ist. Wenn du das gezeigt hast, bist du schon fertig.
Genauer: Sei V ein IR-Vektorraum und U eine Teilmenge von V. Dann ist U ein Unterraum von V, wenn:
(Das diese zwei Bedingungen ausreichen, damit die Teilmenge ebenfalls für sich einen Vektorraum bildet, ist wahrscheinlich entweder ein Satz deiner Vorlesung oder, wenn der Professor faul ist, einfach die Definition eines Unterraums).
Diese zwei Bedingungen musst du überprüfen. Erst nimmst du an, dass v und v' in U sind, bildest dann die Summe und zeigst, dass der Vektor v + v' ebenfalls in U liegt. Dann nimmst du dir einen Vektor und einen Skalar und zeigst, dass das Produkt mit dem Skalar ebenfalls in U liegt. Das ist alles.
LG
Es ist
was man als Menge aller Folgen mit Koeffizienten 0 oder 1 auffassen kann und analog
was man als Menge aller Funktionen, die jede reelle Zahl auf 0 oder 1 abbilden, auffassen kann.
Ausschreiben kann man aber beides nicht in aufzählender Schreibweise - das liegt einfach an der Überabzählbarkeit. Die Idee an einer aufzählenden Schreibweise wie bei
ist, dass die Aufzählung eine logische Abfolge von Zahlen ist, zu der es nur eine offensichtliche Fortsetzung gibt - das sind hier einfach die natürlichen Vielfachen von 4. Das korrespondiert auch mit der Abzählbarkeit - oder genauer: Jede Menge, die man so schreiben kann, ist abzählbar (mit anderen Worten: Überabzählbare Mengen können man so nicht schreiben).
Das hat den einfachen Grund, dass wir mit dieser Schreibweise auch intuitiv einfach sagen können, was das erste, zweite, dritte, vierte, ... Element ist - und das ist nichts Anderes als die Definition von Abzählbarkeit.
Das geht bei überabzählbaren Mengen aber nicht - weil wir bei diesen eben nicht klar das n-te Element verifizieren können. Du kannst auch die reellen Zahlen so nicht aufschreiben - da ist es vielleicht klarer.
Das
das erste Element der Produktmenge wäre (0,0,0,...(∞-oft die 0),1) wenn man so will.
klappt eben formal so nicht. Das wie vielte Element wäre das mit 1 an erster und letzter Stelle? Aber ja, so kann man sich die Menge zumindest vorstellen.
Kann man sicher. So weit sind wir aber neurologisch nicht.
Hier stellt sich doch zuerst die wichtigste Frage: Was ist eine Dimension?
Du stellst dir Dimension so wie orthogonale lokale Richtungen vor - d.h. nach vorne/hinten, oben/unten, rechts/links. In dieser Vorstellung gibt es nicht mehr als drei Dimensionen. Aber es ist möglich, den Begriff der Dimension weiter zu verallgemeinern.
In der "naiven" Linearen (Schul-)Algebra legt man intuitiv ein reelles Koordinatenkreuz in den Raum und hat damit die Möglichkeit, jeden Ort als Punkt (bzw. reellen Vektor) eindeutig zu beschreiben. Die Dimension dieses Raumes definiert man dann als die minimale Anzahl an Vektoren, sodass man jeden Vektor durch diese Vektoren darstellen kann.
Etwas konkreter: Wir befinden uns im IR³, das heißt, du legst in eine Ecke des Raumes den Ursprung und nach oben/unten, links/rechts und vorne/hinten geht eine Achse weg. Ich gebe dir jetzt einen beliebigen Vektor, zum Beispiel (8,4,3) und du sollst mir jetzt so viele Vektoren wie nötig aber so wenig wie möglich angeben, sodass ich nur durch Skalieren und Aneinanderkleben dieser Vektoren zum Punkt (8,4,3) komme. Man sieht schnell ein, dass die Vektoren
diese Bedingung erfüllen, denn es ist
d.h. wir müssen 8 Mal den Vektor (1,0,0) hintereinanderkleben (dann sind wir bei (8,0,0)), dann noch 4 Mal den Vektor (0,1,0) (dann sind wir bei (8,4,0)) und dann noch 3 Mal den Vektor (0,0,1) (dann sind wir bei (8,4,3)). Diese Vektoren erfüllen auch die Intuition der Richtung, denn alle drei zeigen in verschiedene Richtungen und spannen damit den ganzen Raum auf. Hier ist unsere Dimension also 3, denn mit 3 Vektoren klappt es und man sieht schnell ein, dass es mit nur 2 nicht klappen kann (dann bleiben wir bei Addition und Skalierung immer in einer Ebene).
Man kann allerdings diese Struktur noch weiter verallgemeinern: Gehen wir vom konkreten IR^3 weg, sondern beschreiben einen Vektorraum einfach durch eine Menge mit irgendwelchen Elementen, die aber
Wesentlich ist, dass wir eine Menge, einen Raum haben und die Vektoren darin beliebig skalieren und addieren können und dabei in der Menge drin bleiben. Jetzt kann man sich wieder fragen, wie man denn jetzt die Dimension dieses Vektorraums definiert: Und wieder machen wir es ähnlich, nämlich sagen wir, die Dimension ist die minimale Anzahl an Vektoren (man nennt diese Basisvektoren), mit denen wir jeden anderen Vektor beschreiben können. Wenn du also irgendeinen Vektor aus dieser Menge gegeben hast, musst du allein durch Addition und Skalierung der Basisvektoren diesen Vektor darstellen können.
Das wirkt jetzt alles ziemlich konstruiert, deshalb vielleicht ein weiteres Beispiel: Der Polynomraum. Ein Polynom ist einfach gesagt eine Funktion
Ich behaupte jetzt: Die Menge aller Polynome bildet (mit trivialen Verknüpfungen, wie wir gleich sehen werden) ebenfalls einen Vektorraum, denn sind f und g Polynome, ist auch f + g eines (wobei wir die Addition einfach durch die Addition der Abbildungsvorschriften definieren) und s * f für eine Zahl s ebenfalls. Da haben wir also wieder unseren Vektorraum. Und jetzt können wir uns wieder fragen: Welche Polynome brauchen wir mindestens, sodass wir uns daraus jedes beliebige andere Polynom bauen können. Und die Antwort ist:
Unendlich viele. Weil wir die höchste Potenz der Polynome nicht beschränken, brauchen wir alle möglichen Exponenten, um uns daraus alle möglichen Polynome basteln zu können. Aber dann klappt es:
Weil wir hier aber unendlich viele Basisvektoren brauchen, ist die Dimension des Polynomraumes unendlich. Hier haben wir sie also die unendliche Dimension. Auch wenn das nicht mehr wirklich viel mit dem "alltäglichen" Begriff der Dimension zu tun hat. Aber es ist eben eine Verallgemeinerung und in dieser Verallgemeinerung ist es möglich, auch Dimension 5, 12 oder unendlich zu erreichen.
LG
Du nutzt die Reihenentwicklung des natürlichen Logarithmus
(dort verschwindet auch die 1 - das ist einfach Teil der Identität). Diese Form hast du aber noch nicht vorliegen, erreichst du durch die Umformung
und Ausschreiben liefert dann die entsprechende Summe.
n nimmt ja nur diskrete Werte an. Bemerke also, dass
monoton steigend ist und probiere die ersten paar n durch. Dann kommst du schnell darauf, dass
aber
und damit
Das kann man so nicht sagen. Eine Depression ist eine Erkrankung und zur Feststellung benötigt es mehr als einen kleinen Schwenk aus deinem Leben.
Natürlich klingt das nicht gut und die Suizidgedanken geben Anlass, das mal ärztlich abklären zu lassen. Aber so aus der Ferne ist es einfach nicht möglich, so etwas zu diagnostizieren - auch wenn das natürlich bequem wäre. Frag dich halt selbst: Hast du einen Suiziddrang? Belastet dich die Situation so sehr, dass du ärztliche Behandlung benötigst? Oder ist das eher eine erlernte Hilflosigkeit und du genießt es, schlechte Gefühle auszufühlen (was per se auch nicht bedenklich sein muss).
Wenn es dich wirklich belastet, dann geh zu einem Arzt. Du kannst auch einfach zu deinem Hausarzt gehen, den du kennst und dich überweisen lassen. Das ist natürlich ein schwieriger Schritt und es kostet Überwindung, sich so zu öffnen. Aber wenn du in der aktuellen Situation wirklich Probleme hast, dann musst du diesen Schritt eben einmal gehen. Wenn du Lungenschmerzen hast, gehst du auch zum Arzt, weil es dich belastet. Psychische Belastung ist nichts Verwerfliches.
Alles Gute.
Du verwechselst da was: Es ist zwar n^(1/2) divergent, es gilt
aber das liefert dir a priori noch nicht die Aussage, die du zeigen sollst. Du sollst ja die Konvergenz der Reihe
überprüfen. Hier hilft dir aber auch, dass n^(1/2) divergent ist, denn die unendliche Summe über n^(1/2) kann schon intuitiv nicht endlich sein, wenn n^(1/2) immer größer wird (genauer: es reicht sogar schon, dass n^(1/2) keine Nullfolge ist, denn wenn eine Reihe konvergent ist, muss die Folge, über die summiert wird, eine Nullfolge sein - ist sie das nicht, kann die Reihe nicht konvergent sein).
LG
Kurz:
Lass dir den zweiten Punkt mal auf der Zunge zergehen. Nehmen wir mal sowohl für B_1, als auch für B_2 die entsprechenden Standardbasen und den Homomorphismus
und versuchen, die Darstellungsmatrix rauszukriegen. Zuerst rechnen wir die Bilder der Basis B_1 aus:
Diese Bilder drücken wir jetzt durch die Basisvektoren B_2 der Zielmenge aus - das ist hier dieselbe Basis (das muss aber nicht so sein):
und wir schreiben die Koeffizienten der ersten Zeile untereinander in die erste Spalte und die der zweiten Zeile untereinander in die zweite Spalte:
1 0
0 1
1 1
Und da haben wir sie unsere Darstellungsmatrix. Ein paar wichtige Dinge:
Natürlich ist das bei mir jetzt ein triviales Beispiel. Wenn du allerdings auch die Standardbasis verwenden darfst, ist es bei dir auch nicht viel schwieriger - nur das explizite Ausrechnen der Bilder der Basisvektoren ist ein bisschen aufwändiger.
LG
Die Periodizität mal unbeachtet, geht der arccos ganz natürlich:
Wenn der arctan sich so einfach berechnen ließe wie du sagst - das wäre schön. Es gilt aber im Allgemeinen nicht, dass die Umkehrfunktion von
einfach durch
gegeben ist. Ich vermute, dass es keine so schöne Darstellung mit dem arcsin alleine gibt (zumindest keine, die man einfach in den Taschenrechner eingeben kann) Wahrscheinlich könnte man sich irgendeinen Ausdruck in Potenzreihenform in Abhängigkeit vom arcsin basteln, aber eine kanonische Form wird es vermutlich nicht geben.
LG
Du betrachtest die Verknüpfung + auf der (additiven) Gruppe Z. Dort ist die Voraussetzung g² = e nicht erfüllt, deshalb kannst du die Aussage auch nicht anwenden.
Die Aussage ist: Falls g² = e gilt, dann gilt auch g = g^-1 - nicht andersherum! (Das wäre eine andere Aussage und die ist falsch, wie du ja schon selbst gemerkt hast).
Was man tut, ist einfach von rechts mit dem multiplikativen Inversen von g zu multiplizieren:
Aber die Umkehrung gilt nicht: Es ist nicht so, dass in jeder abelschen Gruppe g² = e gilt. Mach dir unbedingt den Unterschied zwischen einem "wenn" (Implikation) und einem "genau dann wenn" (Äquivalenz) klar.
Du nimmst f(n) = f(m) an und zeigst dann n = m.
Zumindest als Summe bzw. Reihe von Sinusfunktionen, das wäre nämlich die Fourierreihe. Dafür muss die Funktion aber noch stetig und zumindest stückweise C1 sein (sonst erreicht man nur punktweise Konvergenz gegen die arithmetisch gemittelte Funktion).
Ist beides dasselbe. Schreib es dir explizit hin, dann siehst du es.
Stetigkeit: Ja. Stetigkeit heißt nichts anderes als das:
Das ist ziemlich suggestiv aufgeschrieben und nicht ganz präzise (z.B. ist es noch wesentlich, dass der Grenzwert existiert), aber kann man sich finde ich sehr gut merken. Wir müssen den Limes reinziehen können. Nichts anderes ist Stetigkeit (aber nicht immer ist das die beste Beweismethode, manchmal muss man tatsächlich mit dem Epsilon-Delta-Kriterium ran, wenn das nicht klappt und zu umständlich ist).
Differenzierbarkeit hat auch etwas mit dem Limes zu tun: f ist differenzierbar an der Stelle x_0, wenn der Grenzwert
existiert - wir also beim Ausrechnen einen reellen Wert rausbekommen. Existenz des Grenzwertes muss man nicht sofort sehen, die Herangehensweise ist, zu versuchen, den Grenzwert zu berechnen - wenn es klappt, supi, wenn es nicht klappt, muss man gucken, woran es liegt: entweder ist f dann an der Stelle nicht differenzierbar (dann muss man im Anschluss gucken, wie man das begründen kann) oder der Grenzwert lässt sich doch ausrechnen und man hat nur nicht den richtigen Weg gefunden.
In der Lösung berechnet man nun obigen Grenzwert an der Stelle x_0 = 0:
und formt wie in der Lösung weiter um, bis man beim Ergebnis 1 ankommt. Damit wurde gezeigt: f ist in 0 differenzierbar und es ist f'(0) = 1. Jetzt klar?
Oder keins von beidem?
