Die Abschätzung



funktioniert nicht, weil der Grenzwert links nicht existiert. Du erhöhst den Wert nicht, es gibt keinen Wert.

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In einem Zahlensystem zu einer "üblichen" Basis sicher nicht (üblich heißt hier so viel wie zu einer natürlichen Basis). Womöglich könnte man die b-adische Darstellung von Dezimalziffern so weit verallgemeinern, dass man Pi (z.B. in einem "Pi-adischen System") als abbrechenden Dezimalbruch darstellen kann. Wirklich sinnvoll wäre das aber nicht.

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In der Regel numerisch.

  • Newton-Verfahren,
  • Integralapproximation und
  • Taylorreihe

wären die drei Verfahren, die mir spontan einfallen würden.

Beim Newton-Verfahren sucht man eine Nullstelle. Man definiert sich also eine Funktion, deren Nullstelle genau bei ln(x) liegt und bestimmt die Nullstelle numerisch durch die Newton-Approximation.

Bei der Integralapproximation definiert man sich ein Integral, in dem Falle



und nähert damit durch schrittweise Verfeinerung der Stützstellen den Wert des Integrals an. Damit kommt man hier auch auf den ln(x).

Die Taylorreihe



funktioniert für Werte von x zwischen -1 und 1. Hat man einen Wert außerhalb, muss man ihn runterskalieren - das klappt aber auch ohne Probleme. Dann muss man bis zur gewünschten Genauigkeit die Taylorglieder berechnen.

Welches Verfahren der Taschenrechner tatsächlich verwendet, weiß ich nicht. Diese drei Verfahren sind auch weitaus nicht die einzigen, die man zur Approximation des ln verwenden kann. Aber man sieht glaube ich ganz schön, dass es zumindest viele Möglichkeiten gibt, den ln zu berechnen.

LG

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Wieso wird die Vorlesung "Lineare Algebra" und "Analytische Geometrie" getrennt gehalten?

Wenn ich mich recht entsinne war es früher so, dass die Lineare Algebra gemeinsam mit der Analytischen Geometrie in einer Vorlesung gehalten wurde. Persönlich sah ich gerade dort den Vorteil, dass ein wesentlich besserer und intuitiver Zugang zum Verständnis der Linearen Algebra möglich war, schon eben gleich für den Studienanfänger. Auch dieses Feedback konnte ich von einigen ehemaligen Studenten entnehmen. Daher jetzt die Kernfrage:

Nun sieht es heutzutage so aus, dass die meisten Universitäten allerdings die Lineare Algebra und Analytische Geometrie als getrennte Vorlesungen in verschiedenen Semestern halten. Ich sehe das als didaktischen Irrtum. Gerade vergangenes Semester bissen sich eine Menge Erstsemester an der Linearen Algebra I wie verrückt die Zähne aus, nur sodass sie nach der vielleicht knapp bestandenen Klausur alles wieder vergessen und anschließend erst im dritten Semester dann mit Analytische Geometrie konfrontiert werden, aber bis dahin das meiste aus LA I wieder verdrängt haben. Das kann doch nicht der richtige Weg sein!

Warum wurde also beide Themen voneinander in verschiedene Vorlesungen aufgespalten? Ist das nicht im Endeffekt kontraproduktiv wenn man gleich nur auf der abstrakten Ebene bleibt und nicht wenigstens einen intuitiven Zugang für die Mathematik eröffnet? Gerade Erstsemester würden doch davon profitieren und hätten ein tiefgreifenderes Verständnis über die algebraischen Strukturen und Objekte.

Ich will damit nicht behaupten, dass das einer vieler möglicher Gründe für die Durchfallquote ist. Aber ich sehe es schon als problematisch an, wenn Mathematik durchgehend nur auf abstrakter Ebene gehalten wird. Mathematische Konzepte sind vornehm abstrakt, kein Zweifel, aber sie lassen sich eben auch anschaulich und intuitiv darstellen, damit abstrakte Konzepte verstanden werden können. Warum also darauf verzichten? Was ist hier die Begründung seitens der Didaktiker der Mathematik? Ich würde gerne darüber etwas lesen, falls hier zufällig einige Experten vom Fach hier mitlesen.

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Schwierig zu sagen. Ich kann nur von der LMU sprechen, dort gibt es gar keine Vorlesung "Analytische Geometrie" mehr - sie fällt halt in die LA-Vorlesung, aber wird nicht separat behandelt. Es ist eben die Frage, was der Dozent für wichtig hält - das Durchbeißen durch abstrakte, schwer intuitiv vorstellbare Konzepte hat sicher auch einen wesentlichen Stellenwert am Anfang des Studiums.

Und die Überschneidung ist im gesamten auch eher gering - Vektorräume, lineare Abbildungen/Matrizen und Determinanten korrespondieren noch mit analytischer Geometrie, aber der ganze Rest, Ringtheorie, Modultheorie lässt sich eher schwer konkret greifen. Das ist aber sicher auch eine Kompetenz, die man im Laufe seines Studiums erreichen muss - abstrakte Dinge ohne intuitive Vorstellung greifen und verstehen zu können.

LG

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Man kann natürlich unter diversen realitätsfremden vereinfachenden Annahmen einen Erwartungswert für die Zeit bestimmen. Wie sinnvoll das ist (und ob es den Aufwand wert ist), ist die andere Frage.

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Eine nicht-leere Teilmenge eines Vektorraums ist genau dann ein Unterraum, wenn sie bzgl. Addition und Skalarmultiplikation abgeschlossen ist. Wenn du das gezeigt hast, bist du schon fertig.

Genauer: Sei V ein IR-Vektorraum und U eine Teilmenge von V. Dann ist U ein Unterraum von V, wenn:

  • 
  • 

(Das diese zwei Bedingungen ausreichen, damit die Teilmenge ebenfalls für sich einen Vektorraum bildet, ist wahrscheinlich entweder ein Satz deiner Vorlesung oder, wenn der Professor faul ist, einfach die Definition eines Unterraums).

Diese zwei Bedingungen musst du überprüfen. Erst nimmst du an, dass v und v' in U sind, bildest dann die Summe und zeigst, dass der Vektor v + v' ebenfalls in U liegt. Dann nimmst du dir einen Vektor und einen Skalar und zeigst, dass das Produkt mit dem Skalar ebenfalls in U liegt. Das ist alles.

LG

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Es ist



was man als Menge aller Folgen mit Koeffizienten 0 oder 1 auffassen kann und analog



was man als Menge aller Funktionen, die jede reelle Zahl auf 0 oder 1 abbilden, auffassen kann.

Ausschreiben kann man aber beides nicht in aufzählender Schreibweise - das liegt einfach an der Überabzählbarkeit. Die Idee an einer aufzählenden Schreibweise wie bei



ist, dass die Aufzählung eine logische Abfolge von Zahlen ist, zu der es nur eine offensichtliche Fortsetzung gibt - das sind hier einfach die natürlichen Vielfachen von 4. Das korrespondiert auch mit der Abzählbarkeit - oder genauer: Jede Menge, die man so schreiben kann, ist abzählbar (mit anderen Worten: Überabzählbare Mengen können man so nicht schreiben).

Das hat den einfachen Grund, dass wir mit dieser Schreibweise auch intuitiv einfach sagen können, was das erste, zweite, dritte, vierte, ... Element ist - und das ist nichts Anderes als die Definition von Abzählbarkeit.

Das geht bei überabzählbaren Mengen aber nicht - weil wir bei diesen eben nicht klar das n-te Element verifizieren können. Du kannst auch die reellen Zahlen so nicht aufschreiben - da ist es vielleicht klarer.

Das

das erste Element der Produktmenge wäre (0,0,0,...(∞-oft die 0),1) wenn man so will.

klappt eben formal so nicht. Das wie vielte Element wäre das mit 1 an erster und letzter Stelle? Aber ja, so kann man sich die Menge zumindest vorstellen.

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Kann man sicher. So weit sind wir aber neurologisch nicht.

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Hier stellt sich doch zuerst die wichtigste Frage: Was ist eine Dimension?

Du stellst dir Dimension so wie orthogonale lokale Richtungen vor - d.h. nach vorne/hinten, oben/unten, rechts/links. In dieser Vorstellung gibt es nicht mehr als drei Dimensionen. Aber es ist möglich, den Begriff der Dimension weiter zu verallgemeinern.

In der "naiven" Linearen (Schul-)Algebra legt man intuitiv ein reelles Koordinatenkreuz in den Raum und hat damit die Möglichkeit, jeden Ort als Punkt (bzw. reellen Vektor) eindeutig zu beschreiben. Die Dimension dieses Raumes definiert man dann als die minimale Anzahl an Vektoren, sodass man jeden Vektor durch diese Vektoren darstellen kann.

Etwas konkreter: Wir befinden uns im IR³, das heißt, du legst in eine Ecke des Raumes den Ursprung und nach oben/unten, links/rechts und vorne/hinten geht eine Achse weg. Ich gebe dir jetzt einen beliebigen Vektor, zum Beispiel (8,4,3) und du sollst mir jetzt so viele Vektoren wie nötig aber so wenig wie möglich angeben, sodass ich nur durch Skalieren und Aneinanderkleben dieser Vektoren zum Punkt (8,4,3) komme. Man sieht schnell ein, dass die Vektoren



diese Bedingung erfüllen, denn es ist



d.h. wir müssen 8 Mal den Vektor (1,0,0) hintereinanderkleben (dann sind wir bei (8,0,0)), dann noch 4 Mal den Vektor (0,1,0) (dann sind wir bei (8,4,0)) und dann noch 3 Mal den Vektor (0,0,1) (dann sind wir bei (8,4,3)). Diese Vektoren erfüllen auch die Intuition der Richtung, denn alle drei zeigen in verschiedene Richtungen und spannen damit den ganzen Raum auf. Hier ist unsere Dimension also 3, denn mit 3 Vektoren klappt es und man sieht schnell ein, dass es mit nur 2 nicht klappen kann (dann bleiben wir bei Addition und Skalierung immer in einer Ebene).

Man kann allerdings diese Struktur noch weiter verallgemeinern: Gehen wir vom konkreten IR^3 weg, sondern beschreiben einen Vektorraum einfach durch eine Menge mit irgendwelchen Elementen, die aber

  • unter Addition abgeschlossen ist (d.h. sind v und v' in der Menge, dann ist auch v + v' darin) - das macht Sinn, dass wir durch Aneinanderkleben der Vektoren nicht irgendwann aus dem Raum rausfallen
  • unter Skalierung abgeschlossen ist (d.h. ist v in der Menge, dann ist auch a * v in der Menge für eine "Zahl" (auch das kann man noch weiter verallgemeinern) a).
  • und noch ein paar anderen Dingen wie Existenz additiver inverser, Assoziativität, etc.

Wesentlich ist, dass wir eine Menge, einen Raum haben und die Vektoren darin beliebig skalieren und addieren können und dabei in der Menge drin bleiben. Jetzt kann man sich wieder fragen, wie man denn jetzt die Dimension dieses Vektorraums definiert: Und wieder machen wir es ähnlich, nämlich sagen wir, die Dimension ist die minimale Anzahl an Vektoren (man nennt diese Basisvektoren), mit denen wir jeden anderen Vektor beschreiben können. Wenn du also irgendeinen Vektor aus dieser Menge gegeben hast, musst du allein durch Addition und Skalierung der Basisvektoren diesen Vektor darstellen können.

Das wirkt jetzt alles ziemlich konstruiert, deshalb vielleicht ein weiteres Beispiel: Der Polynomraum. Ein Polynom ist einfach gesagt eine Funktion



Ich behaupte jetzt: Die Menge aller Polynome bildet (mit trivialen Verknüpfungen, wie wir gleich sehen werden) ebenfalls einen Vektorraum, denn sind f und g Polynome, ist auch f + g eines (wobei wir die Addition einfach durch die Addition der Abbildungsvorschriften definieren) und s * f für eine Zahl s ebenfalls. Da haben wir also wieder unseren Vektorraum. Und jetzt können wir uns wieder fragen: Welche Polynome brauchen wir mindestens, sodass wir uns daraus jedes beliebige andere Polynom bauen können. Und die Antwort ist:



Unendlich viele. Weil wir die höchste Potenz der Polynome nicht beschränken, brauchen wir alle möglichen Exponenten, um uns daraus alle möglichen Polynome basteln zu können. Aber dann klappt es:



Weil wir hier aber unendlich viele Basisvektoren brauchen, ist die Dimension des Polynomraumes unendlich. Hier haben wir sie also die unendliche Dimension. Auch wenn das nicht mehr wirklich viel mit dem "alltäglichen" Begriff der Dimension zu tun hat. Aber es ist eben eine Verallgemeinerung und in dieser Verallgemeinerung ist es möglich, auch Dimension 5, 12 oder unendlich zu erreichen.

LG

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Du nutzt die Reihenentwicklung des natürlichen Logarithmus



(dort verschwindet auch die 1 - das ist einfach Teil der Identität). Diese Form hast du aber noch nicht vorliegen, erreichst du durch die Umformung



und Ausschreiben liefert dann die entsprechende Summe.

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n nimmt ja nur diskrete Werte an. Bemerke also, dass



monoton steigend ist und probiere die ersten paar n durch. Dann kommst du schnell darauf, dass



aber



und damit



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Woran merkt man, dass man Depression hat?

Guten Tag liebe GuteFrage.net-Community,

ich habe seit 3 Jahren (bin gerade 15) das emotionale Gefühl, dass ich wertlos bin und, dass ich eher Menschen belaste und stoppe. Ich wurde immer Gefühlskälter nach Außen hin und einige meinen, ich hätte keine Emotionen mehr. Früher (schon im Kindergarten) wurde ich als "Autist" (die 'Krankheit', nicht im Sinne der heutigen Jugend) abgestempelt. Dauerhaft empfinde ich Trauer und Wut, kann aber nicht weinen (Auch Try-Not-To-Cry-Challanges helfen nicht xD). Mittlerweile weiß ich nicht mehr, ob ich überhaupt etwas fühle oder ob ich so viele Gefühle gleichzeitig fühlen, sodass ich Gefühlsblind bin. Seit jetzt ca. 2 Jahren habe ich auch Suizidgedanken und habe beinahe das Bedürfnis diesem "Nichts" zu entweichen. Habe auch keinen Plan, ob ich sozial beinahe isoliert aufgrund der psychischen Krankheit bin oder eine psychische Krankheit habe, weil ich teilweise sozial isoliert bin. Immer wenn ich jemanden hasse, denke ich mir, dass es meine Schuld ist, dass ich ihn hasse und, deshalb mich selber zusätzlich hasse, dafür, dass ich so fühle. Bisher habe ich nur einer Person (einem damaligen Freund, welchen ich aufgab) angedeutet, dass ich eventuell an einer emotionalen Schwäche leide, doch dieser hat typische Stigmatisierungen aufgebracht und nicht geholfen. Ich fühle außerdem alles auf emotionaler Ebene intensiver als die anderen, die ich kenne. Mittlerweile empfinde ich die Suizidgedanken auch auf der rationalen Ebene und habe mir ständig logisch erklärt, weshalb es sinnvoll sei. Ich bin mir nicht mehr sicher, ob ich mir das einbilde. Ich habe auch keine schlimme Vergangenheit oder traumatisierende Ereignisse erlebt. Hauptsächlich drücke ich meine Emotionen durch Musik (Klavier) aus und durch verschlüsselte Nachrichten, wofür ich beleidigt werde, weil keiner weiß, warum ich so etwas mache (das hilft für eine bis drei Stunden). Bitte um Hilfe!

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Das kann man so nicht sagen. Eine Depression ist eine Erkrankung und zur Feststellung benötigt es mehr als einen kleinen Schwenk aus deinem Leben.

Natürlich klingt das nicht gut und die Suizidgedanken geben Anlass, das mal ärztlich abklären zu lassen. Aber so aus der Ferne ist es einfach nicht möglich, so etwas zu diagnostizieren - auch wenn das natürlich bequem wäre. Frag dich halt selbst: Hast du einen Suiziddrang? Belastet dich die Situation so sehr, dass du ärztliche Behandlung benötigst? Oder ist das eher eine erlernte Hilflosigkeit und du genießt es, schlechte Gefühle auszufühlen (was per se auch nicht bedenklich sein muss).

Wenn es dich wirklich belastet, dann geh zu einem Arzt. Du kannst auch einfach zu deinem Hausarzt gehen, den du kennst und dich überweisen lassen. Das ist natürlich ein schwieriger Schritt und es kostet Überwindung, sich so zu öffnen. Aber wenn du in der aktuellen Situation wirklich Probleme hast, dann musst du diesen Schritt eben einmal gehen. Wenn du Lungenschmerzen hast, gehst du auch zum Arzt, weil es dich belastet. Psychische Belastung ist nichts Verwerfliches.

Alles Gute.

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Du verwechselst da was: Es ist zwar n^(1/2) divergent, es gilt



aber das liefert dir a priori noch nicht die Aussage, die du zeigen sollst. Du sollst ja die Konvergenz der Reihe



überprüfen. Hier hilft dir aber auch, dass n^(1/2) divergent ist, denn die unendliche Summe über n^(1/2) kann schon intuitiv nicht endlich sein, wenn n^(1/2) immer größer wird (genauer: es reicht sogar schon, dass n^(1/2) keine Nullfolge ist, denn wenn eine Reihe konvergent ist, muss die Folge, über die summiert wird, eine Nullfolge sein - ist sie das nicht, kann die Reihe nicht konvergent sein).

LG

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Kurz:

  • Wir nehmen eine Basis B_1 von R^4 und eine Basis B_2 von R^3.
  • Die Darstellungsmatrix enthält nun die Koeffizienten der Linearkombinationen, wenn man die Bilder der Basisvektoren aus B_1 durch die Basisvektoren von B_2 darstellt.

Lass dir den zweiten Punkt mal auf der Zunge zergehen. Nehmen wir mal sowohl für B_1, als auch für B_2 die entsprechenden Standardbasen und den Homomorphismus



und versuchen, die Darstellungsmatrix rauszukriegen. Zuerst rechnen wir die Bilder der Basis B_1 aus:



Diese Bilder drücken wir jetzt durch die Basisvektoren B_2 der Zielmenge aus - das ist hier dieselbe Basis (das muss aber nicht so sein):



und wir schreiben die Koeffizienten der ersten Zeile untereinander in die erste Spalte und die der zweiten Zeile untereinander in die zweite Spalte:

1 0
0 1
1 1

Und da haben wir sie unsere Darstellungsmatrix. Ein paar wichtige Dinge:

  • Dass die Koeffizienten hier genau die Einträge der Basisvektoren sind, liegt daran, dass wir die kanonische Standardbasis benutzt haben. Das ist also nicht immer so, gerade wenn die Basen komplizierter sind, wird es schwieriger, die Vektoren als Linearkombination der Zielbasis auszudrücken (dann hat man schlimmstenfalls noch ein Gleichungssystem zu lösen).
  • Die Darstellungsmatrix ist immer abhängig von der Basis. Verschiedene Basen, verschiedene Darstellungsmatrizen. Jede Darstellungsmatrix mit angegebener Basis beschreibt aber eindeutig einen Homomorphismus (und andersherum).
  • Die Basis der Definitionsmenge bestimmt, welche Basisvektoren du für die Bilder einsetzen musst. Die Basis der Zielmenge sagt dir, als Linearkombination welcher Basisvektoren du die Bilder darstellen musst.

Natürlich ist das bei mir jetzt ein triviales Beispiel. Wenn du allerdings auch die Standardbasis verwenden darfst, ist es bei dir auch nicht viel schwieriger - nur das explizite Ausrechnen der Bilder der Basisvektoren ist ein bisschen aufwändiger.

LG

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Die Periodizität mal unbeachtet, geht der arccos ganz natürlich:



Wenn der arctan sich so einfach berechnen ließe wie du sagst - das wäre schön. Es gilt aber im Allgemeinen nicht, dass die Umkehrfunktion von



einfach durch



gegeben ist. Ich vermute, dass es keine so schöne Darstellung mit dem arcsin alleine gibt (zumindest keine, die man einfach in den Taschenrechner eingeben kann) Wahrscheinlich könnte man sich irgendeinen Ausdruck in Potenzreihenform in Abhängigkeit vom arcsin basteln, aber eine kanonische Form wird es vermutlich nicht geben.

LG

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Du betrachtest die Verknüpfung + auf der (additiven) Gruppe Z. Dort ist die Voraussetzung g² = e nicht erfüllt, deshalb kannst du die Aussage auch nicht anwenden.

Die Aussage ist: Falls g² = e gilt, dann gilt auch g = g^-1 - nicht andersherum! (Das wäre eine andere Aussage und die ist falsch, wie du ja schon selbst gemerkt hast).

Was man tut, ist einfach von rechts mit dem multiplikativen Inversen von g zu multiplizieren:



Aber die Umkehrung gilt nicht: Es ist nicht so, dass in jeder abelschen Gruppe g² = e gilt. Mach dir unbedingt den Unterschied zwischen einem "wenn" (Implikation) und einem "genau dann wenn" (Äquivalenz) klar.

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Stetigkeit: Ja. Stetigkeit heißt nichts anderes als das:



Das ist ziemlich suggestiv aufgeschrieben und nicht ganz präzise (z.B. ist es noch wesentlich, dass der Grenzwert existiert), aber kann man sich finde ich sehr gut merken. Wir müssen den Limes reinziehen können. Nichts anderes ist Stetigkeit (aber nicht immer ist das die beste Beweismethode, manchmal muss man tatsächlich mit dem Epsilon-Delta-Kriterium ran, wenn das nicht klappt und zu umständlich ist).

Differenzierbarkeit hat auch etwas mit dem Limes zu tun: f ist differenzierbar an der Stelle x_0, wenn der Grenzwert



existiert - wir also beim Ausrechnen einen reellen Wert rausbekommen. Existenz des Grenzwertes muss man nicht sofort sehen, die Herangehensweise ist, zu versuchen, den Grenzwert zu berechnen - wenn es klappt, supi, wenn es nicht klappt, muss man gucken, woran es liegt: entweder ist f dann an der Stelle nicht differenzierbar (dann muss man im Anschluss gucken, wie man das begründen kann) oder der Grenzwert lässt sich doch ausrechnen und man hat nur nicht den richtigen Weg gefunden.

In der Lösung berechnet man nun obigen Grenzwert an der Stelle x_0 = 0:



und formt wie in der Lösung weiter um, bis man beim Ergebnis 1 ankommt. Damit wurde gezeigt: f ist in 0 differenzierbar und es ist f'(0) = 1. Jetzt klar?

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