Elementare Kurvendiskussion liefert Extrema bei x = -1 und x = 1, genauer einen Hochpunkt bei (-1, c + 2) und einen Tiefpunkt bei (1, c - 2). Monotonie und Stetigkeit liefern also: Der Graph sieht aus wie ein N.

Überlege dir jetzt die verschiedenen Möglichkeiten, wie das N im Koordinatensystem liegen kann (Hochpunkt über/auf/unter der x-Achse, Tiefpunkt über/auf/unter der x-Achse) und welche Nullstellenanzahl sich jeweils ergibt.

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Betrachte zunächst folgende elementarere Funktion:



Ein bisschen Nachdenken liefert, dass die Funktion für x < 1 mit steigendem n immer kleiner wird und gegen 0 konvergiert, für x = 1 konstant 1 ist und für x > 1 bestimmt gegen Unendlich divergiert. Es gilt also (punktweise)



Für die eigentliche, verkettete Funktion



bleibt nun nur die Frage: Wann ist



– damit lässt sich die Konvergenz von f auf die von f Tilde zurückführen. Damit lässt sich dann auch der stetige Teil der Grenzfunktion herauslesen und eine Aussage über den Teil des Definitionsbereiches, auf dem gleichmäßige Konvergenz herrscht, treffen.

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  • Verbal: X(n) konvergiert stochastisch gegen den Erwartungswert µ.
  • Konkreter: Mit steigendem n geht die Wahrscheinlichkeit, dass X(n) von µ um mehr als ε abweicht, gegen 0.
  • Etwas informeller: Je öfter man das Zufallsexperiment durchführt, desto näher kommt X(n) dem Erwartungswert (aber nicht zwangsläufig monoton).

Für den Beweis überlege dir, wie man stochastische Konvergenz beweist. Zunächst ist das der Beweis eines Grenzwertes. Schau dir an, was du über X(n) gegeben hast (denn im Bild fehlen noch Voraussetzungen) und wie du das nutzen kannst, um zu zeigen, dass für alle ẟ > 0 irgendwann (d.h. ab irgendeinem n)



ist. Warum wird diese Wahrscheinlichkeit beliebig klein? Versuche erst, intuitiv zu begreifen, wo der Knackpunkt liegt (Voraussetzungen anschauen!) und das dann formal zu fassen.

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Das ist alles eine Frage der Notation. Formal ist eine (unendliche) reelle Folge eine Abbildung



für die man



für alle n und



setzt. Teilweise lässt man den Index auch weg.

Eine endliche Folge - die du vermutlich angeben möchtest - ist dann eine Abbildung von einer Teilmenge von IN nach IR, der Indexmenge. Dabei ist deine Schreibweise in Ordnung.

Es ist wie gesagt - wie so oft - Notation. Man könnte eine Folge auch ganz anders aufschreiben, hochkant als Vektor, in einer Matrix, einem Tensor oder rundherum sternförmig um den Bezeichner. Manche sind praktischer, manche weniger. Es muss nur klar sein, was gemeint ist (d.h. die Notation muss im Vorhinein festgelegt werden und eindeutig sein).

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Du brauchst die kartesische Form doch gar nicht. Arbeite einfach mit z als komplexer Zahl.

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Doch, das ist in der Tat zumindest der schnellste Lösungsweg. Linke und rechte Seite ausschreiben und zeigen, dass dasselbe rauskommt. Eleganter wäre natürlich eine Gleichungskette von links nach rechts, die erfordert aber ein bisschen Vorarbeit und Bastelei.

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Sprungstellen nicht direkt (sonst hätte die Ausgangsfunktion dort einen Knick und wäre nicht differenzierbar), aber es kann durchaus sein, dass eine Funktion differenzierbar, deren Ableitung aber nicht überall stetig ist (es gibt also einen Unterschied zwischen den Begriffen "differenzierbar" und "stetig differenzierbar").

Das Standardbeispiel hierfür ist



an der Stelle x = 0.

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Widerspurchsbeweis als logische Formel?

Hallo liebe Community,

ich beschäftige mich immer noch mit dem Thema Aussagenlogik und will erneut eine Verständnisfrage stellen. Ich probiere gerade den indirekten Beweis oder auch Beweis durch Widerspruch zu verstehen.

Meinem Verständnis nach funktioniert der Widerspruchsbeweis wie folgt:

Man nimmt eine Aussage S und negiert diese. Der Widerspruchsbeweis funktioniert nur wenn die negierte Aussage S den Wahrheitswert falsch hat. Wenn die negierte Aussage von S den Wahrheitswert falsch hat, dann kann man die negierte Aussage S nocheinmal negieren.



Dadurch, dass die doppelt negierte Aussage von S eindeutig wahr ist, und die doppelte Negation von S wieder S ergibt hat man dadurch bewiesen, dass S wahr ist.

Ansich habe ich das Gefühl, dass ich es teilweise verstanden habe, aber ich habe es noch nicht in der Gänze verstanden.

Ich möchte die ganze Zeit den Beweis durch Widerspruch als logische Formel aufstellen und dann wollte ich probieren diese logische Formel, formal zu beweisen. Mit vielleicht einer Wahrheitswertetabelle.

Das habe ich auch schon irgendwie ein bisschen ausprobiert und hatte folgendes:

Nur irgendwie habe ich diese Wahrheitswertetabelle erstellt ohne mir im klaren zu sein, was ich da so wirklich mache. Ich habe meiner Meinung nach immer noch keine logische Formel für den Beweis durch Widerspruch.

Also meine expliziten Fragen sind:

  1. Was ist die logische Formel des Beweises durch Widerspruch.
  2. Ergibt meine Wahrheitswertetabelle Sinn im Bezug auf den Beweis durch Widerspruch?
  3. Wenn meine Wahrheitswertetabelle Sinn ergibt, kann mir jemand kurz zusammenfassen warum diese Wahrheitswertetabelle Sinn ergibt?

Anmerkung zu der letzten Frage: Ich bin halt ein bisschen verwirrt im allgemeinen, da ich nicht weiß wie ich damit umgehen soll falls die Aussage S falsch ist. Weil dann funktioniert ja der Beweis durch Widerspruch eigentlich nicht, weil ich dann die Negation von S nicht zu einem Widerspruch bringen kann, oder?

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In der mathematischen Logik (hier in der "natürlichen" Minimallogik) hat der Widerspruchsbeweis prinzipiell die Form



wobei das umgedrehte T für das Falsum, also die konstant falsche Aussage steht.

Auf Deutsch: Impliziert A eine falsche Aussage, muss A falsch sein.

Intuitiv stimmt das mit dem überein, was du geschrieben hast. Man zeigt beim Widerspruchsbeweis, dass "nicht A" nicht gelten kann. Zusammen mit dem Bivalenzprinzip ergibt sich daraus, dass A gilt.

Die Wahrheitstabelle zeigt im Wesentlichen, dass "nicht nicht A" dasselbe ist wie A (wobei es tatsächlich ein nicht selbstverständlicher Luxus der Aussagenlogik ist, dass A aus "nicht nicht A" herleitbar ist).

Der Widerspruchsbeweis funktioniert aber auch für falsche Aussagen - man nimmt dann eben an, dass sie wahr sind und zeigt, dass das einen Widerspruch impliziert.

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Ja, sicher. Das ist ja gerade die zentrale Eigenschaft von Bijektivität. Eine 1:1-Korrespondenz zweier Mengen gilt natürlich in beide Richtungen.

Für die Quadratfunktion f(x) = x² auf der nicht-positiven Achse ist die Umkehrfunktion dann eben g(x) = -√x. Wurzeln negativer Zahlen braucht man nicht, da der Zielbereich ja so oder so nicht-negativ ist.

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Nicht wirklich. Dein Produkt entspricht 2000!, die Stirling-Formel erlaubt damit eine gute Näherung, aber für den genauen Wert bleibt vermutlich nichts Anderes als sukzessives Durchmultiplizieren.

Was du suchst, ist sozusagen ein kleiner Gauß für Produkte. Einen solchen gibt es meines Wissens aber nicht.

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Das Standardverfahren für den Beweis von Mengengleichheiten: Zeige zwei Inklusionen. Versuche formal, die Aussage



mittels Definition der Vereinigung elementarer zu formulieren. Mache dasselbe für die Aussage



mittels Definition des Schnitts und überlege dir dann, wie du aus der ersten die zweite Aussage (das ist dann die erste Inklusion) und wie du aus der zweiten die erste Aussage folgern kannst (das ist die zweite Inklusion).

Die rechte De Morgan‘sche Formel kann man entweder genauso zeigen oder direkt aus der linken bewiesenen folgern.

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Gut, dann hast du vermutlich herausgefunden, dass



ist. Die Unstetigkeit bei x = 0 ist jetzt nachzuweisen.

Intuitiv: Was passiert, wenn x immer kleiner wird? Sinus- und Kosinus vom Kehrwert divergieren, bleiben aber beschränkt. Damit stirbt der Sinusteil, wenn das zugehörige 2x gegen 0 geht und der Kosinusteil divergiert, geht also insbesondere nicht gegen 0.

Formal: Finde zwei Folgen, die gegen Null gehen, in f‘ aber verschiedene Werte annehmen. Mach dir das Leben aber nicht zu schwer, du hast bei der Wahl der Nullfolge sehr viel Freiheit. Man könnte zum Beispiel einmal alle Hochpunkte und einmal alle Tiefpunkte des Kosinus abgrasen.

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Kommt drauf an, ob man es schlau macht. Eine Möglichkeit ist, die Klammer auszumultiplizieren und dann gliedweise die Potenzen zu integrieren. Das ist aufwändig. Die schlauere Lösung hier ist Substitution. Damit ist es ein Einzeiler.

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Solange kein Aufbaustudium oder eine Promotion durch die Noten am seidenen Faden hängt, sollte man Wahlpflichtmodule nicht nach Einfachheit wählen.

Für deine Pläne ist mit Sicherheit nicht-lineare Analysis sinnvoller als Topologie. Ob NLA einfacher ist, sei mal dahingestellt, lässt sich aber auch nicht pauschal beantworten. Topologie wird in der Regel als etwas greifbarer wahrgenommen, weil zu einem großen Teil einfach bekannte Eigenschaften der Analysis-Grundvorlesungen in den topologischen Kontext abstrahiert werden und man damit intuitiv wenig Neuland betreten muss.

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Weil



über einer bestimmten Grundmenge.

Das zeigt den Zusammenhang recht deutlich, das Komplement ist also eine Möglichkeit auszudrücken, dass etwas nicht in einer Menge ist - genauso wie die Negation.

Analog korrespondieren Konjunktion und Schnitt sowie Disjunktion und Vereinigung.

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Definieren (so vermute ich mal) ließe sich das sehr einfach und analog zu der Definition oben.

Wie denn? Überleg es dir ruhig mal. Zwischen Äquivalenz- und Ordnungsrelationen gibt es schon einen strukturellen Unterschied.

Äquivalenzrelationen partitionieren eine Menge in "Grüppchen" äquivalenter Elemente. Die einzelnen Grüppchen heißen Äquivalenzklassen. Ordnungsrelationen ordnen eine Menge nur, sie partionieren sie nicht. Daher ist ein Klassenbegriff hier nicht sinnvoll, denn die Relation induziert keine Partition in einzelne Klassen.

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