Konvergenz und Grenzwert nachweisen?
Berechnen Sie im Falle der Konvergenz den Grenzwert oder begründen Sie, weshalb der jeweilige Grenzwert nicht existiert.
Brauch mal Hilfe bei der Aufgabe. Doof gefragt wenn x gegen 0 geht, ist der GW nicht dann auch 0?
3 Antworten
"Ohne L' Hospital" schreibt man die Exponentialreihe aus,
Summe( n=0, unendlich, (x log(a))^n / n! ).
Ziehe 1 ab, das ist der Term mit n=0, und dividiere durch x,
(a^x - 1) / x = Summe( n=1, unendlich, x^(n-1) log(a))^n / n! )
Für x gegen 0 bleibt nur der Term für n=1 stehen.
Für die Vertauschung des Grenzübergangs (n gegen unendlich / x gegen 0) muss man die absolute Konvergenz der Reihe verwenden.
Hilft das weiter?
https://de.wikipedia.org/wiki/Regel_von_de_L%E2%80%99Hospital
weil das extra so gefordert ist bei mir. Mal gucken ob du das ohne kannst
Hallo,
der Grenzwert ist ln(a).
Benutze de l'Hospital, indem Du Zähler und Nenner getrennt ableitest:
ln(a)*a^x/1 ergibt für x=0 ln(a).
Falls Du nicht weißt, wie man a^x ableitet:
Schreibe a^x zu e^(ln(a^x))=e^(x*ln(a)) um.
Ableitung nach der Kettenregel ist ln(a)*e^(ln(a^x))=ln(a)*a^x.
Herzliche Grüße,
Willy
Ohne L' Hospital