Konvergenz einer geometrische Reihe?
Warum ist der Grenzwert dieser geometrischen Reihe nicht 1/(1-x/2) ? Und wie funktioniert die unten rosa markierte Umformung?
1 Antwort
Die geometrische Reihe sum( q^k ) konvergiert für k = { 0 ... inf } und |q| < 1 gegen 1/(1-q).
In der Aufgabe beginnt der Index jedoch bei k=1. Deshalb konvergiert diese Reihe gegen
Setzt man q=x/2 erhält man als Grenzwert x/(2-x), sofern |x/2| < 1
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Für die Aufgabe spielt der Indexbeginn keine Rolle, da man sich nur für die Konvergenz der Folge f(n) interessiert.
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In der handschriftlichen Lösung in der zweiten Zeile muss der maximale Summenindex n lauten, nicht inf.
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Eine Teilsumme der geometrischen Reihe sum( q^k ) für k = { 0 ... n } ergibt den Wert
Zu zeigen ist, dass der | f(n ) - f | für n --> inf gegen 0 konvergiert.
Wegen q < 1 und dem konstanten Nenner ist das der Fall.