Ist die komplexe Funktion in a=0 stetig?
Ich habe im Punkt a=0 die Richtungsableitung für einen beliebigen v in C berechnet (es kommt immer 0 raus). Nun soll die Funktion auf Stetigkeit in a=0 untersuchen. Sie ist aber nicht auf den reelen Zahlen definiert sodass die bekannte Epsilon-Delta-Definition der Stetigkeit hier nicht anwendbar ist (die Definition gilt für Funktionen die auf Teilmengen der reelen Zahlen definiert sind). Hat jemand eine Idee wie ich vorgehen kann ? Bin für Vorschläge dankbar.
1 Antwort
Wieso ist die Epsilon-Delta Defintion nicht anwendbar? Du mußt lediglich den komplexen Betrag verwenden.
Du kannst dir aber auch folgendes überlegen: Konstruiere eine Folge z_n mit lim(z_n) = 0 und re(z_n) <> im(z_n)^2 für alle n. Das sollte nicht weiter schwer sein. Dann ist offensichtlich f(z_n) = 0 für allen, aber f(0) = 1. Was sagt das also über die Stetigkeit aus?
Nein. Denn für 0 gilt ja gerade re(0) = im(0)^2 = 0, demzufolge ist f(0) = 1. D.h. eine Folge wie du sie beschreibst wäre gerade auf der "ist stetig" Linie. Aber bereits jede reelle Nullfolge die fast immer ungleich 0 ist erfüllt die Bedingung.
Urgh, das habe ich tatsächlich überlesen! Danke für den Hinweis, dann hast du natürlich recht.
Verstehe, also beispielsweise die komplexe Folge z_n= (y/n)^2 + i*(y/n) (wobei die komplexe Zahl als x+iy geschrieben wird). Dann ist der Grenzwert für n gegen unendlich gleich 0 aber der Funktionswert bleibt dieser Folgenglieder bleibt 1 da immer obige Bedingung erfüllt ist (glaube ich ?). Somit ist das Folgenkriterium nicht erfüllt und die Funktion in 0 nicht stetig ? Danke!!
prinzipiell die richtige Idee, nur hast du jetzt ausgerechnet eine Folge ausgesucht wo re(z_n) = im(z_n)^2. Und was genau ist y?
Bedenke, f(0) = 1. Du hast genau eine Folge gewählt wo f(z_n) = 1 für alle n und damit lim f(z_n) = f(0) = 1
Sollte da nicht ein Gleichheitszeichen stehen, "z_n mit lim(z_n) = 0 und re(z_n) = im(z_n)^2 für alle n". "Dann ist offensichtlich f(z_n) = 1 für alle n, aber f(0) = 0"