Wenn f gleichmäßig stetig ist, ist dann die Funktion auch beschränkt auf einer Teilmenge der reelen Zahlen?
beschränkt auf einer Teilmenge der reelen Zahlen
Wie meinst du das genau?
Die Funktion geht von L eine Teilmenge der reelen Zahlen auf R
Ist L beliebig, oder erfüllt L noch bestimmte Eigenschaften? (Zumindest dass L beschränkt ist)
Ja L ist beschränkt
2 Antworten
Nein. Nehme als Beispiel
ist gleichmäßig stetig., aber auf allen Intervallen
der offensichtlich eine Teilmenge der reellen zahlen ist, nicht nach oben beschränkt und somit nicht beschränkt.
Eigentlich sollten wir zeigen, dass die Aussage gilt, was wenn man nur ein Intervall ohne unendlich betrachtet?
Versuche folgende Idee auszuformulieren.
Wegen der gleichmässigen Stetigkeit gibt es zu epsilon = 1 ein delta > 0, so dass usw.
Wegen der Beschränktheit von L findet man eine endliche Überdeckung von L mit offenen Umgebungen, d.h. Intervallen der Länge delta/2.
Nun "hangelt" man sich von links nach rechts durch. Man startet mit einem f(x) = y. Alle Funktionswerte in der rechts benachbarten Umgebung sind <= y+1. Nach endlich vielen Schritte ist man rechts angekommen und hat die obere Schranke für f erreicht.
Wenn L nicht zusammenhängend ist, muss man die (endlich) vielen Lücken in der Überdeckung noch beachten, was aber kein Problem ist.