Welche Teilmengen von N(natürliche Zahlen) sind äquivalent?
A = {1, 2, 30, 41}, B = {6, . . . , 10}, C = {n | n > 5}, D = {n | n < 5}, E = N, F = {n ∈ N | n gerade}.
Sicher die Aufgabe richtig abgeschrieben?
Ja siehe unten Kommentar bei Antwort
3 Antworten
Wo genau liegt denn dein Problem bei der Aufgabe? Bei endlichen Mengen kannst du einfach zählen, wie viele Elemente drin liegen. Endliche Mengen mit gleicher Elementanzahl sind bijektiv zueinander.
Bei unendlichen Mengen musst du eben gucken, ob du eine Bijektion zwischen ihnen finden kannst.
Und das nächste Mal wenn du eine Frage stellst, am besten direkt alle Informationen mitgeben. Ohne die Angabe was "äquivalent" bedeutet kannst du hier z.B. keine zielführenden Antworten erwarten.
Bei C und D sollen die n jeweils aus den natürlichen Zahlen sein? Dann sind auf jeden Fall die ganzen unendlichen Mengen zueinander äquivalent. Und bei den endlichen Mengen müsste es auch wenigstens 2 geben, die zueinander äquivalent sind.
Rätst du nur? Hast du irgendwas von dem gelesen, was ich dir über endliche Mengen erzählt habe? Wie viele Elemente liegen in A? Wie viele liegen in B? Ist die Anzahl gleich? Wenn ja: äquivalent. Wenn nein: nicht äquivalent.
Statt "äquivalent" ist es eigentlich üblich, "gleichmächtig" zu sagen, oder "von derselben Mächtigkeit".
Die Menge N der natürlichen Zahlen enthält bei einigen Autoren die Zahl 0, bei anderen dagegen nicht. Das ist natürlich Definitionssache, aber man muss wissen, welche Definition bei Deiner Aufgabe zugrundegelegt wird, um sie zu lösen.
Ich gebe mal die Lösung unter der Annahme an, dass N ohne 0 definiert wurde, also aus den positiven ganzen Zahlen besteht ({1, 2, 3, 4, ...}). (Wie man die Lösung modifizieren muss, falls unter N die Menge der nichtnegativen ganzen Zahlen verstanden wird, also {0, 1, 2, 3, 4, ...}, wirst du wohl allein hinbekommen, hoffe ich.)
Die Mengen A, B, D sind endlich, und zwar gilt: |A|=4, |B|=5, |D|=4. Also sind A und B gleichmächtig, während B zu keiner beiden anderen gleichmächtig ist. Zum Beispiel ist 1→1, 2→2, 30→3, 41→4 eine Bijektion von A auf D.
Die anderen Mengen sind alle unendlich, können also zu keiner der Mengen A, B, D gleichmächtig sein. Sie sind aber alle gleichmächtig:
Die Abbildung N → C; a → a+5 , ist eine Bijektion. Die Abbildung N → F, a→2a, ist ebenfalls eine Bijektion. Also sind die Mengen C, E, F paarweise gleichmächtig.
Das, was man durch die Aufgabe offenbar lernen soll, ist, dass bei unendlichen Mengen es durchaus vorkommt, dass eine echte Teilmenge gleichmächtig zur umfassenden Menge ist. So eine echte Teilmenge gibt es bei einer unendlichen Teilmenge sogar immer: Nimm einfach ein beliebiges Element der gegebenen unendlichen Menge weg. Dann entsteht eine echte Teilmenge, die aber gleichmächtig zur ganzen Menge ist.
Das passiert bei einer endlichen Ausgangsmenge natürlich nie, so dass man die Unendlichkeit einer Menge X sogar dadurch definieren kann, dass es eine echte Teilmenge von X gibt, die zu X gleichmächtig ist.
Übrigens nennt man eine zu N gleichmächtige Menge abzählbar. Man kann beweisen (und das ist gar nicht besonders schwierig), dass jede unendliche Teilmenge von N abzählbar ist, also gleichmächtig zu N. Dass also C, E, F paarweise gleichmächtig sind, ist nur ein Spezialresultat von dieser viel allgemeineren Aussage. (Allerdings ist es hübsch, dass man bei denen so leicht eine konkrete Bijektion angeben kann.)
Bei den falschen Antworten, die hier gegeben wurden, wurde stets die Gleichheit von Mengen mit der Gleichmächtigkeit verwechselt!
Keine dieser Mengen ist mit einer der anderen äquivalent.
Ok danke für den Hinweis!
Es sind aber dennoch keine Teilmenge äquivalent oder?