Äquivalenz von Matrizen?

Matrizen sind ja äquivalent, wenn sie den gleichen Rang und den gleichen Typ haben. Ist dann eine 3x2 Matrix äquivalent zu einer 2x3 Matrix? Der Rang ist ja bei beiden 2 aber beim Typ sind m und n vertauscht... Könnte man das dann transponieren und dann wäre es ja äquivalent oder wie ist das genau?

Answer 1

[mihisu]

Nein, eine 2×3-Matrix hat nicht den gleichen Typ wie eine 3×2-Matrix. Das sind zwei verschiedene Typen. Dementsprechend kann eine 2×3-Matrix nicht äquivalent zu einer 3×2-Matrix sein.

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Ansonsten könnte man das auch daran erkennen, dass zwei Matrizen A, B genau dann äquivalent sind, wenn es invertierbare Matrizen S, T mit...

$B=S\cdot A\cdot T$

... gibt. Wenn man jedoch eine 2×3-Matrix A nun von links mit einer invertierbaren 2×2-Matrix S und von rechts mit einer invertierbaren 3×3-Matrix T multipliziert, erhält man in jedem Fall wieder eine 2×3-Matrix, niemals eine 3×2-Matrix.