Eine 3*3 Matrix so bestimmen das der Kern nicht trivial ist?
Hey Leute schreibe bald eine Klausur bei meinem matheprof und ich frage mich wie ich für eine 3*3 Matrix, bei der manche Were Lambda sind so bestimmte, das ihr Kern nicht trivial also nicht der Nullvektor ist. Wäre dankbar für Hilfe, Grüße
1 Antwort
Der Kern einer Matrix A ist nicht trivial, wenn gilt:
L = { x aus IR^n | Ax = 0} =/= { 0 }
die Lösungsmenge der Gleichung Ax = 0 also Elemente ungleich 0 enthält. Dies bedeutet, dass die Zeilen und Spalten der Matrix A linear abhängig sind. Es gibt nun verschiedene Ansätze:
(i) Die Zeilen und Spalten einer Matrix A sind linear abhängig, wenn det(A) = 0
--> Bestimme damit also für welche Werte von lambda det(A) gleich 0 wird.
(ii) Bringe das Gleichungssystem [A | 0] mittels Zeilenumformungen auf obere Dreiecksgestalt. Der Kern ist dann nicht trivial, wenn mindestens einer der Einträge auf der Hauptdiagonalen gleich 0 wird.
--> Bestimme somit also die lambda für die dies der Fall ist.
(iii) Bestimme die Eingewerte von A in Abhängigkeit von lambda. Der Kern ist dann nicht trivial, wenn mindestens einer der Eigenwerte den Wert 0 annimmt.
(iv) Dekomposition der ursprünglichen Matrix A in ein Produkt von Matrizen B und C, sodass A = B*C gilt. Der Kern von A ist genau dann nicht trivial, wenn der Kern einer der Matrizen B oder C nicht trivial ist.
Es gibt sicherlich noch weitere Möglichkeiten, aber die obigen sollten dir erstmal genügend Ansätze liefern.
Ich gebe dir ein 2x2 Beispiel:
A = [1 k]
[2 1]
Ansatz 1 wäre:
det(A) = 1 - 2k = 0 --> für k = 1/2 Kern nicht trivial
Ansatz 2 wäre:
[A | 0] =
[1 k| 0] [1 k | 0]
[2 1| 0] -->[0 1-2k| 0]
--> Diagonale enthält mindestens einen 0 Eintrag für k=1/2
Ansatz 3 wäre:
Eigenwerte h gegeben durch Nullstellen von det(I*h-A) = 0
[h-1 -k ]
--> det [-2 h-1 ] = (h-1)^2 - 2k = 0
h = 0 ist somit ein Eigenwert, wenn obige Gleichung erfüllt ist. Es folgt somit dass 1 - 2k = 0 gelten muss und damit k = 1/2.
Ansatz 4 wäre:
A = B*C mit
[1 0]
B = [2 1]
[1 k ]
C = [0 1-2k]
folgt det(A) = det(B)*det(C) wobei det(B) = 1 und det(C) wird gleich Null wenn k = 1/2.
Und abschließend dein Ansatz, welcher natürlich auch möglich ist.
Lineare Abhängigkeit zwischen den Spaltenvektoren von A ist gegeben wenn
(i ) 1 + a*k = 0
(ii) 2 + 1*a = 0
Aus (ii) folgt a = -2 und damit durch Einsetzen in (i) entsprechend k = 1/2.
Also reicht es im Prinzip, wenn ich die Matrix so umforme das sie z.b bei einer 3*3 Matrix unten links drei Nullen hat und dann noch im Prinzip dafür sorge das einer der diagonalen Zahlen von links oben nach rechts unten = 0 ist?
oder ich schaue einfach das sozusagen eine Spalte von einer anderen ein Vielfaches ist, heißt das sie linear abhängig sind also sorge das sie in die selbe Richtung zeigen und dadurch ist der Kern nichtmehr der nullvektor?