Du hast bereits die Übertragungsfunktion gegeben zu:

H(z) = (3*z^4 - 2*z^2 + 1)/(z^4)

welche sich durch durchführen der Division umschreiben lässt zu

H(z) = 3 - 2*z^-2 + z^-4

Unter Annahme eines kausalen Systems folgt damit die Impulsantwort des Systems zu

h(n) = 3 - 2*d(n - 2) + d(n - 4)

mit d(n) = 1 für n = 0 und 0 sonst. Die zugehörige Differenzengleichung lautet entsprechend für Eingangsfunktion s(n) und Ausgangsfunktion g(n) entsprechend

3*s(n) - 2*s(n - 2) + s(n - 4) = g(n)

Zusätzlich lässt sich über das System noch sagen, dass es sich hierbei um ein FIR-Filter handelt (Finite-Impulse-Response-Filter), da die Impulsantwort nur zu endlich vielen diskreten Zeitpunkten ungleich 0 ist.

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Sei f(x,y) = exp(-x^2 - y^2) , entsprechend folgt der Gradient zu

grad(f)(x,y) = (-2)*f(x,y)*{x , y}^T

Der Gradient verschwindet entsprechend an der Stelle x = y = 0, eine kritische Stelle. Die Hessematrix folgt zu

https://www.wolframalpha.com/input/?i=hessian(+exp(-x%5E2+-+y%5E2)+)

und damit enstprechend an der kritischen Stelle

Hess(f)(0,0) = {{-2, 0}, {0, -2}}

welche symmetrisch negativ definit ist. Somit liegt ein Maximum an besagter kritischen Stelle vor.

Anschaulich hierzu auch nochmal den Graphen:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot(+exp(-x%5E2+-+y%5E2)+)

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Also allgemein gilt:

1/Rges = 1/R1 + ... + 1/Rn

Entsprechend folgt umgestellt nach Rges:

Rges = 1/(1/R1 + ... + 1/Rn)

Erweitern von Zähler und Nenner mit dem Faktor R1*R2*R3*...*Rn liefert

Rges = ( R1*...*Rn )/( R2*R3*...*Rn + R1*R3*...*Rn + ... + R1*R2*R3*...*R(n-1) )

In deinem Fall folgt damit:

Rges = R1*R2*R3*R4/(R2*R3*R4 + R1*R3*R4 + R1*R2R4 + R1*R2*R3)

berechnen lässt sich dieser jedoch in der Regel schnell über

Rges = 1/(1/R1 + 1/R2 + 1/R3 + 1/R4)

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Dazu kannst du eine implizite Gleichung verwenden. Eine Möglichkeit wäre

(cos(y))^2 + (x/3)^2 = 1

siehe den Plot hierzu

https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot((cos(y))%5E2+%2B+(x%2F3)%5E2+%3D+1)

Das Vorzeichen noch korrekt hinzubekommen ist zwar etwas schwieriger aber kann durch die Signum-Funktion erzwungen werden

(cos(y))^2 - sgn(x)*(x/3)^2 = 1

mit dem Plot

https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot((cos(y))%5E2+-+sgn(x)*(x%2F3)%5E2+%3D+1)

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Also du hast die DGL:

f´´ + 2*E*f = 0

Ich nehme jetzt mal an, dass E eine Konstante sein soll. Demnach folgt mittels charakterischen Polynom:

k^2 + 2*E = 0

--> k = +/- i*sqrt(2*E)

Entsprechend folgt damit die allgemeine homogene Lösung zu:

f(x) = A*exp(i*sqrt(2*E)*x) + B*exp(-i*sqrt(2*E)*x)

siehe bspw.:

https://de.wikipedia.org/wiki/Charakteristische_Gleichung

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a)

Die Fliehkraft die auf das Auto wirkt muss kleiner sein als die Haftreibungskraft, da es ansonsten rutschen würde. Es gilt für die Fliehkraft:

Fz = m*v²/r

und für die Haftreibungskraft

Fh = m*g*k

mit Haftreibungsfaktor k. Entsprechend folgt also:

m*v²/r < m*g*k

und mit umstellen nach v

v² < m*g*k*r/(m)

und da alle Größen als strikt positiv angenommen werden

v < sqrt(g*k*r) = v_max

Damit folgt für v_max also

v_max = ca. 11.074 m/s = ca. 39.865 km/h

b)

Da v_max, wie aus obiger Formel ersichtlich, nicht von der Masse des Wagens abhängt, folgt damit, dass eine Veränderung der Masse unter den getätigten Vereinfachungen keinen Einfluss auf die maximale Geschwindigkeit hat.

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Zwei Vektoren sind orthogonal genau dann wenn das Skalarprodukt der beiden verschwindet. In 2D bedeutet dies:

<v1, v2> = x1*x2 + y1*y2 = 0

Sei der Vektor v1 bekannt, so gilt es nun einen Vektor v2 zu finden, sodass die obige Gleichung erfüllt ist. Die Wahl

v2 = (+/- y1 , -/+ x1)^T (2 mögliche Lösungen ... )

erfüllt die Gleichung, welches durch einfaches Einsetzen nachvollzogen werden kann. Dies ist die Lösung des Problems ...

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Bei einem Würfel sind per Definition alle Kanten gleichlang. Sei die Kantenlänge nun a. Es folgt für die Raumdiagonale:

diag = sqrt(a^2 + a^2 + a^2) = sqrt(3) * a

Umstellen liefert damit:

diag/sqrt(3) = a

die gesuchte Kantenlänge in Abhängigkeit der Länge der Raumdiagonalen. Siehe hierzu zum Beispiel:

https://de.khanacademy.org/math/basic-geo/basic-geometry-pythagorean-theorem/pythagorean-theorem-app/v/pythagoriean-theorem-in-3d

https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_des_Pythagoras

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Schau dir einfach folgende Funktionen an:

https://www.mathworks.com/help/symbolic/symsum.html

https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/gamma.html

der Rest ist nicht schwer ... .

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Basis B: B = {1, x}

Es gilt:

L(a*x + b) = (-12x - 10)*a + (15x + 13)*b

Sei ax + b = (a , b)^T in Basis B (Übergang zur Koordinatenschreibweise). Es folgt:

y = M*x mit M, der Abbildungsmatrix. Es liegt damit sofort nahe durch überführen in Koordinatenschreibweise

y = (-12, -10)^T * a + (15, 13)^T * b

Dies kann als ein Matrix-Vektor Produkt verstanden werden:

y = [(-12, -10)^T , (15, 13)^T] * (a , b)^T

und damit lautet die gesuchte Matrix

M = [(-12, -10)^T , (15, 13)^T]

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Das Stichwort lautet hier: "Numerische Integration"

https://de.wikipedia.org/wiki/Numerische_Integration

Der dabei verfolgte Grundgedanke ist, dass man die (schwer) zu integrierende Funktion durch ein einfach zu integrierendes Polynom approximiert (annähert). Dabei existieren die verschiedensten Verfahren.

Ein Beispiel:

A = Int[1,2]{ exp(-x^2) dx} = ? mit f(x) = exp(-x^2)

Wir wählen hier einfach mal beispielsweise die Stützstellen:

{1, 1.2, 1.4, 1.6, 1.8, 2.0 }

und verwenden die Trapezmethode, die auf einer stückweisen linearen Approximation des Integranden basiert. Es folgt:

A = 0.5*(f(1) + f(1.2))*(1.2 - 1) + 0.5*(f(1.4) + f(1.2))*(1.4 - 1.2) + ... + 0.5*(f(2.0) + f(1.8))*(2.0 - 1.8) = 0.1*(f(1) + 2*f(1.2) + ... + 2*f(1.8) + f(2))

wenn man das nun eintippt folgt:

A = ca. 0.137471

wenn du das mit dem Wert vergleichst von Wolfram-Alpha: A = 0.1352572 , so stellt dies schon eine relativ gute Näherung an den tatsächlichen Wert da. Es gibt wie gesagt eine Vielzahl von Methoden.

Es ist zum Beispiel auch möglich den Integranden durch ein endliches Taylor-Polynom oder Fourier-Polynom zu approximieren und dann zu integrieren um eine Näherung der Stammfunktion zu erhalten. Bsp:

f(x) = e^(-x^2) = 1 - (x^2)/2 + (x^4)/6 - (x^6)/24 + ...

dies stellt allerdings gewisse Voraussetzungen an die Größe von x, damit obige Gleichung eine gute Näherung darstellt (hier bspw. |x| < 0.1 wenn du die Folgeterme (...) weglässt).

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Der Erwartungswert von der Zufallsvariable X wird hier wie folgt berechnet:

E(x) = 0*P(x = 0) + 1*P(x = 1) + ... + 4*P(x = 4) = 2.2

Die Varianz der Zufallsvariablen X, Var(X), wird hier wie folgt berechnet:

Var(x) = E([x - E(x)]^2) = E( x^2 - 2*x*E(x) + E(x)^2 ) = E(x^2) - 2*E(x)^2 + E(x)^2

also Var(x) = E(x^2) - E(x)^2 , E(x), den Erwartungswert kennen wir. Was wir jetzt bestimmen müssen ist noch E(x^2), welcher ganz analog folgt zu

E(x^2) = 0^2*P(x=0) + 1^2*P(x=1) + ... + 4^2*P(x=4) = 6

Schließlich setzen wir nun die beiden Erwartungswerte in die Formel für die Varianz ein und erhalten final

Var(x) = E(x^2) - (E(x))^2 = 6 - 2.2^2 = 1.16

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Also formal gilt:

Sei eine zweimal stetig differenzierbare Funktion f:IR^n ---> IR gegeben. Die Kriterien für die lokalen Extrema lauten:

1.) grad(f(x)) = 0 ---> x_e , kritische Stellen an denen Extrema vorliegen können

2.) Hess(f(x_e)) positiv/negativ definit ---> (Min / Max )

In dem Fall n = 2 muss gelten:

1.) df/dx = 0 und df/dy = 0 ----> (x_e, y_e)

2.) Nach dem Kriterium von Sylvester

d²f/dx² > (< ) 0

(d²f/dx²)*(d²f/dy²) - (d²f/dxdy)^2 > ( < ) 0

an den Stellen x_e, y_e , damit Minima (Maxima) vorliegen.

Nun zu deiner Frage: Angenommen f sei strikt konkav in Y-Richtung (x = 0 und y aus IR) und in X-Richting (y = 0, x aus IR).

Als ein Gegenbeispiel sei folgende Funktion gegeben:

f(x,y) = -x^2 - y^2 + 16*y^4*x^4

mit Plot

https://www.wolframalpha.com/input/?i=f(x,y)+%3D+x%5E2+-+y%5E2+%2B+16*y%5E4*x%5E4

Es sollte schnell auffallen, dass gilt:

f(x,0) = -x^2

f(0,y) = -y^2

f ist also strikt konkav in X- und Y-Richtung. Aber für x,y ungleich 0 und groß genug folgt

f(x,y) ~ 16*y^4*x^4

und damit zeigt die Funktion außerhalb eher konvexes Verhalten. Unter diesen Bedingungen ist es also notwendig die obigen Kriterien vollständig anzuwenden.

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Reihenschaltung:

Rreihe = R1 + R2

Parallelschaltung:

Rpara = R1*R2/(R1 + R2)

Es soll gelten:

Rreihe = 10*Rpara

--> R1 + R2 = 10*R1*R2/(R1 + R2)

Multiplikation liefert:

(R1 + R2)^2 = 10*R1*R2

und damit

R1^2 + 2*R1*R2 + R2^2 = 10*R1*R2

und somit

R1^2 - 8*R1*R2 + R2^2 = 0

Auflösen nach R1 ergibt

R1 = 4*R2 +/- [16*R2 - R2^2]^(0.5) = 4*R2 +/- [15*R2]^(0.5)

und da R1 > 0 gelten muss verfällt die zweite Lösung für (-) und somit

R1 = (4 + 15^(1/2))*R2

es war gegeben: R2 = 1 Ohm , daher folgt für R1

R1 = ca. 7.873 Ohm

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Eine mögliche Formulierung für eine Ebene lautet:

E: n*(x - q) = 0

hierbei ist n der Normalenvektor zur Ebene und q ein beliebiger Punkt auf besagter Ebene. Ein mögliches Konstruktionverfahren sieht dabei wie folgt aus:

1.Schritt:

Bestimme 3 beliebige Punkte die in der zu beschreibenen Ebene liegen p1, p2, p3

2.Schritt:

Bestimme 2 Verbindungsvektoren:

v1 = p1 - p2

v2 = p2 - p3

3.Schritt:

Bestimme den Normalenvektor mittels Kreuzprodukt

n = v1 x v2

4.Schritt:

Schreibe die Ebenengleichung auf

E: n*(x - p1) = 0

durchführen des Skalarproduktes und ein wenig Algebra und du erhältst dann auch sofort etwas der Form: E: a*x1 + b*x1 + c*x3 = d , aber die obige Formulierung ist auch schon vollständig und ausreichend.

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1)

a) Es gilt für die elektrische Leistung: P = U*I

---> I = P/U

für die ohmschen Verluste einer Leitung gilt (im sehr stark vereinfachten Fall ... )

P_vel = R*I^2

Somit folgt: Je größer die Spannung, desto kleiner der Strom. Je kleiner der Strom, desto geringer sind die bei der Übertragung anfallenden Verluste.

--> Es sollten hohe Spannungen benutzt werden

b)

Einfach die Formel: P = U*I verwenden (im Falle von Wechselspannung sind hierbei U und I Effektivwerte)

2)

Im Idealfall gilt für einen Trafo: U1 = ü*U2 mit ü = N1/N2

Damit folgt der Strom auf der Sekundärseite zu: I2 = - U1/(ü*R)

Aufgrund der Erhaltung der Leistung folgt (Achte auf Zählpfeilrichtung):

P1 + P2 = 0 mit P1 = U1*I1 und P2 = U2*I2

und damit

U1*I1 = U2*(-I2)

und somit durch Division durch U1

I1 = (U2/U1)*(-I2) = (-I2)/ü

somit gilt: U1 = 20V , ü = 0.4

--> U2 = U1/ü = 20V/0.4 = 50V

--> I2 = - U2/R = - 50V/(50 Ohm) = -1A

schließlich

I1 = (-I2)/ü = -1A/(0.4) = - 2.5A

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Du musst lediglich die Eigenschaften des Skalarproduktes nachweisen:

1.) Bilinearität

2.) Symmetrie

Zu 1.) folgt:

< a + b , c > = (a1 + b1)*c1 + 2*(a2 + b2)*c2 - ...

= a1*c1 + b1*c1 + 2*a2*c2 + 2*b2*c2 - ...

= <a, c> + <b, c> (Linearität im ersten Argument)

Weiter zeigt man auf gleiche Weise:

<a*b,c> = a*<b,c> (Linearität im ersten Argument)

und aufgrund der Kommutativität des Produktes (a*b = b*a) folgt durch Vertauschen der Reihenfolge der einzelnen Faktoren der Summanden 2.)

<a,b> = <b,a> (Symmetrie)

und damit folgt schließlich mit obigem auch final

<a*b + c, d*e + f> = a*<b, d*e + f> + <c, d*e + f>

= a*d*<b,e> + a*<b,f> + d*<c,e> + <c, f>

also die Bilinearität (die Linearität in beiden Argumenten ).

Es handelt sich also insgesamt um ein Skalarprodukt.

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sqrt(x + 1) + 2 = sqrt(5x + 9) II (...)^2

x + 1 + 4*sqrt(x + 1) + 4 = 5x + 9 II - (x + 1 + 4)

4*sqrt(x + 1) = 4x + 4 II :4

sqrt(x + 1) = x + 1 II (...)^2

x + 1 = x^2 + 2x + 1 II - (x + 1)

0 = x^2 + x = x*(x + 1)

--> x1 = 0 und x2 = - 1

Einsetzen zum Überprüfen:

sqrt(0 + 1) + 2 = 2 + 1 = 3 = sqrt(0 + 9)

und

sqrt(-1 + 1) + 2 = 2 = sqrt( -5 + 9)

Damit handelt es sich bei x1 und x2 um die beiden Lösungen der Gleichung ...

Die entsprechende Bestätigung dann auch nochmal von Wolfram-Alpha:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=sqrt(x+%2B+1)+%2B+2+%3D+sqrt(5x+%2B+9)

Graph + Lösungen (unter Solutions ... )

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Zunächst sollte sofort klar sein, dass 0 Teil der Menge ist, wähle

x = y = z = 0 ---> 0 + 0 - 0 = 0

und damit ist das Nullelement enthalten.

Man nehme nun an, dass gelte x1 + y1 - z1 = 0 und x2 + y2 - z2 = 0. Für die gewichtete Summe der beiden folgt dann:

(x1 + k*x2) + (y1 + k*y2) - (z1 + k*z2) = (x1 + y1 - z1) + k*(x2 + y2 - z2) = 0 für alle k aus IR und v = (x1, y1, z1)^T , w = (x2, y2, z2)^T aus U. Damit ist v + k*w ebenfalls aus U für alle v, w aus U und k aus IR.

Es sollten damit soweit eigentlich alle notwendigen Voraussetzungen erfüllt sein, damit es sich bei U um einen Untervektoraum des IR^3 handelt.

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Aufgrund der Linearität gilt

Damit folgt für die angegebene Gleichung

Ein wenig Algebra führt dann sofort zu

nach Voraussetzung. Somit folgt:



Es handelt sich also ker(f), dem Kern der Abbildung f.

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