Kann mir jemand bei der a helfen wie genau man jetzt diese induktion durchführen soll wenn man nicht genau die Determinante ablesen kann?

1 Antwort

poseidon42
26.01.2025, 01:52

Betrachte zunächst den Fall n = 1:

--> det(A) = (a² - b²)^1

Die Aussage stimmt somit für den Fall n = 1.

Nehme nun an, dass die Aussage für ein n >= 1 war ist. Für n+1 folgt dann nach dem Enwicklungssatz von Laplace bei Entwicklung nach der ersten Zeile:

det(A(n+1)) = (-1)^2 * a² *det(A(n)) + (-1)^(2n+1) * b² * det(A(n)) = (a² - b²)*det(A(n))

Da nach Annahme det(A(n)) = (a² - b²)^n folgt somit

det(A(n+1)) = (a² - b²)^(n+1)

was zu zeigen war.

Um zu dem Ausdruck für det(A(n+1)) zu gelangen betrachte explizit wie sich die Matrix durch streichen der ersten Zeile und der ersten oder letzten Spalte verändert:

A = A(n+1) = [a 0 0 b]
             [0 a b 0]
             [0 b a 0]
             [b 0 0 a]

A(1,1) = [a b 0]
         [b a 0]
         [0 0 a]

A(1,4) = [0 a b]
         [0 b a]
         [b 0 0]

Erneutes anwenden des Entwicklungssatzes auf die Matrizen liefert dann (Entwicklung nach der letzten bzw. ersten Spalte): 
det(A(1,1)) = a * (-1)^(2n-1 + 2n-1) * det(A(n)) = a * det(A(n))
det(A(1,4)) = b * (-1)^(1 + 2n-1) * det(A(n)) = (-1)*b*det(A(n))

Sodass sich dann für die gesamte Deterimante von A(n+1) ergibt:
det(A(n+1)) = (a² - b²)*det(A(n))