DGL bei Auftriebsoszillator?

Hallo, ich bin am kompletten Verzweifeln an Aufgabe 2. Die 1 hab ich hingekriegt, aber auch nach mehrfachem Nachrechnen, verstehe ich nicht, wie ich (a) die Inhomogenität loswerde, denn es gilt ja

$\frac{d^2x}{dt^2}\ =\ g\ -\ \frac{\rho\cdot g}{2\cdot h\cdot m}\cdot V_{u\ }$

, wobei ich das g nicht loswerde und selbst wenn ich das hingekriegt hätte, wie ich (b) mit der Non-linearität umgehen soll, da die Auftriebskraft wegen der Form des Prismas nicht proportional zur Strecke x sein kann und ich sowieso keinen Weg gefunden habe aus dem x^2 (t), was sich im V_u versteckt, was lineares zu machen.

Insgesamt also eine inhomogene, nicht lineare DGL, 2. Ordnung. Es wird zwar nicht verlangt, die DGL zu lösen, wohl aber die Kreisfrequenz ausrechnen. Bei den linearen Fällen war das ja relativ einfach zusehen, dass die Kreisfrequenz dann bei einer DGL der Form

$\frac{d^2x\left(t\right)}{dt^2}\ -\ a\ \cdot x\left(t\right)\ =0$ $\sqrt{a}$ ist. Wie soll das aber hier sein??

Bitte helft mir !!

Answer 1

[poseidon42]

Die Auftriebskraft auf den Prisma ist gegeben durch

Fa = Vu * rho * g

wobei Vu das Volumen des eingetauchten Teils, rho die Dichte der Flüssigkeit und g die Fallbeschleunigung ist. Für die Schwerkraft auf den Körper gilt:

Fg = m*g

wobei m die gesamte Masse des betrachteten Körpers ist. Somit ergibt sich als Bewegungsgleichung in x-Richtung unter Berücksichtigung der Richtungen:

m*d²x/dt² = Fg - Fa = m*g - Vu * rho * g

Umformen und vereinfachen liefert:

d²x/dt² = g - Vu * (rho * g)/m

Dies ist offensichtlich eine inhomogene nichtlineare DGL zweiter Ordnung aufgrund er der rechten Seite. Gemäß Aufgabenstellung betrachten wir jedoch nur kleine Abweichungen aus der Ruhelage. Bestimme also zunächst die Ruhelage X0 der DGL:

0 = d²x/dt² = g - Vu * (rho * g)/m

-> Vu = rho/m

-> A/(2h) * (h² - (h - X0)²) = rho/m

-> (h² - (h - X0)²) = 2*h*rho/(A*m)

--> h +/- (h² - 2*h*rho/(A*m))^0.5 = X0

Da die Quadratwurzel nach Definition stets positiv ist und die Ruhelage unter Annahme des Schwimmens die Bedingung X0 <= h erfüllen muss (da für X0 > h der Körper im stationären Fall nicht schwimmen würde ... ) folgt:

X0 = h - (h² - 2*h*rho/(A*m))^0.5

Man betrache im nächsten Schritt die Bewegung bei einer kleinen Abweichung aus der Ruhelage X0. Es gilt somit:

x = X0 + y

wobei y die kleine Abweichung ist. Einsetzen liefert:

d²(X0 + y)/dt² = g - Vu(X0 + y) * (rho * g)/m

Berücksichtige, dass X0 konstant ist, und entwickle Vu mittels einer Taylorapproximatiuon für kleine Abweichungen y um Enwicklungspunkt X0:

--> 0 + d²y/dt² = g - [Vu(X0) + dVu/dx(X0) * y + o(y^2)] * (rho * g)/m

Beachte:

(i) 0 = g - Vu(X0) * (rho * g)/m [Definition Ruhelage]

(ii) |y| ist klein --> Terme höherer Ordnung sind vernachlässigbar nahe X0

--> d²y/dt² = dVu/dx(X0) * y * (rho * g)/m

Es gilt: dVu/dx = A/(2h) * (0 + 2*(h - x)) = A/h * (h - x)

--> d²y/dt² = A/h * (h - X0) * y * (rho * g)/m

--> d²y/dt² - A/h * (h - X0) * (rho * g)/m * y = 0

Damit folgt für die Kreisfrequenz der Oszillation um X0:

w = (A/h * (h - X0) * (rho * g)/m)^0.5

Kurzform: Du hast übersehen, dass nur der Fall für kleine Auslenkungen aus der Ruhelage betrachtet wird. Damit reduziert sich das Modell auf das um die Ruhelage Linearisierte. Somit sind wieder Standard-Methoden anwendbar.

Answer 2

[Clemens1973]

Sei F(x) die insgesamt auf den Körper wirkende Kraft, d.h.

$F(x):=mg-\rho V_\mathrm{u}(x)g=mg-\rho g\frac{A}{2h}(h^2-(h-x)^2)$

Die Vorzeichen so, da die Koordinate x nach unten gemessen wird. Die Ruhelage sei bei x0, es gilt also F(x0)=0. Für eine kleine Auslenkung aus der Ruhelage gilt

$m\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2}=F(x)\approx F(x_0)+\left.\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}x}\right|_{x_0}\cdot x=-\frac{\rho gA}{h}(h-x_0)x$

Aus dem Vorzeichen ergibt sich, dass die Kraft wie erwartet zurücktreibend ist. Damit ergibt sich für die gesuchte Frequenz

$\omega=\sqrt{\frac{\rho g A(h-x_0)}{mh}}$

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung