Ja, das ist richtig.

Intuitiv sollte es klar sein, dass sich im linken Fall das Gewicht, das am senkrechten Teil des Seils befestigt ist, schneller bewegt. Denn es gilt die Gleichung (x=Koordinate des Gewichts, nach unten gerichtet, R und r die Radien des Zylinders auf der schiefen Ebene und phi der Winkel des Zylinders)



Im linken Fall gelten die oberen Vorzeichen. D.h., bewegt sich der Zylinder um eine Strecke dx nach unten, bewegt sich der Zylinder rechts um eine grössere Strecke nach oben als links.

Rechnet man es vollständig durch, ergibt sich aus den Gleichungen



(M Masse des Gewichts, m und I Masse und Trägheitsmoment des Zylinders)

die Beschleunigung des Gewichts zu



Rechenfehler vorbehalten... Für M/m genügend gross, bewegt sich das Gewicht in beiden Fällen nach unten. Ist das wiederum der Fall, ist die Beschleunigung links grösser (näher bei g) als rechts.

Gilt für die Masse M des Gewichts



wird das Gewicht im linken Fall nach unten, im rechten Fall nach oben beschleunigt.

Vorausgesetzt wird dabei natürlich stets, dass der Zylinder links rollt und nicht gleitet.

Doch, das müsste richtig sein. Ich würde Zwischenergebnisse zumindest im Taschenrechner (oder wo auch immer) speichern und damit weiterrechnen, sodass sich Rundungsfehler nicht addieren.

Hier kann man statt mit cos und sin auch direkt rechnen



(horizontales und vertikales Kräftegleichgewicht), woraus folgt



Zu b):

Die resultierende Kraft ist nicht mehr schief, wenn deren x-Komponente (horizontale Komponente) gleich null wird. D.h., es muss gelten



F2 muss somit erhöht werden auf



Die Geschwindigkeiten beim Aufprall sind gleich, da die Körper/Personen mit gleicher Beschleunigung und auf gleicher Strecke beschleunigt werden.

Die beim Aufprall wirkenden Kräfte hängen aber stark davon ab, wie "starr" die Körper/Unterlage sind. Einfach gesagt: je weicher die Körper, umso länger der "Bremsweg" und damit umso geringer die Kräfte. Das ist ja der Sinn z.B. von einer Knautschzone: bei gleicher Aufprallgeschwindigkeit werden die Kräfte verringert, indem die Abbremsung auf einer längeren Strecke stattfindet. Dadurch wird eine gleiche Impulsänderung (Abbremsung bis zum Stillstand) erreicht bei geringerer (durchschnittlicher), aber länger einwirkenden Kraft.

Zu a): Für die Lorentzkraft gilt



Die Vektoren v und B stehen senkrecht, womit sich hier einfach



ergibt. Allerdings ist diese Kraft nicht parallel zu den Achsen; ist die Komponente in Richtung der Achsen gesucht, muss noch mit sin(i) multipliziert werden (Skizze machen).

Zu b): Rechte-Hand-Regel anwenden. Das B-Feld der Erde ist ausserhalb der Erde von Süden nach Norden gerichtet und fliesst auf der Nordhalbkugel in die Erde hinein. Zur Kontrolle: auf die Elektronen müsste eine Kraft nach Süden wirken, der nördliche Schienenstrang folglich positiv geladen sein.

Zu c): Durch die Lorentzkraft fliesst ein Strom, bis ein Gleichgewicht erreicht ist zwischen der Lorentzkraft und der Kraft infolge des hervorgerufenen E-Felds. Wenn d die Spurweite ist, muss also gelten



Dabei ist FL' die Komponente der Lorentzkraft in Richtung der Achsen, also



In der berechneten Höhe von h1=9000m wird das Triebwerk abgeschaltet. Ab nun fliegt die Rakete im freien Fall weiter, d.h., sie wird mit -g beschleunigt. Entweder kannst Du die maximale Höhe über



mit v1=900m/s und t=v1/g berechnen. Oder die zusätzliche Höhe über die Energieerhaltung (die kin. Energie bei h1 wird in zusätzliche pot. Energie umgewandelt).

Rechnet man so, nimmt man an, dass g über den betrachteten Höhenbereich konstant ist. Genaugenommen müsste man die 1/r^2-Abnahme berücksichtigen.

Ich denke, intuitiv besteht die Unklarheit, dass nicht die vertikalen Komponenten, sondern die radialen Komponenten der wirkenden Kräfte entscheidend sind.

Das Fahrzeug soll entlang der Fahrbahn den Looping durchfahren, sprich:

Das Fahrzeug soll sich nicht von der Fahrbahn lösen = der Abstand vom Kreismittelpunkt darf sich nicht verringern = es darf in radialer Richtung keine Beschleunigung auftreten (im mitrotierenden Bezugssystem) bzw. die radiale Beschleunigung darf nicht grösser sein als v^2/r (in einem Inertialsystem).

Nehmen wir den Fall, wo sich das Fahrzeug bei alpha=0 befindet. Hier gilt offensichtlich für die vertikalen Komponenten 



Das Fahrzeug müsste also "herunterfallen". Doch was bedeutet das hier? Das Fahrzeug wird nach unten beschleunigt, d.h. verlangsamt sich, wenn es sich auf dem Weg nach oben befindet, bzw. wird tangential beschleunigt, wenn es sich auf dem Weg nach unten befindet. Es löst sich aber nicht von der Fahrbahn, sogar bei v=0 geschähe das an diesem Punkt nicht.

Für 0 < alpha < 90°: In der Skizze soll die eingezeichnete Kraft F1/F2/F3 jeweils die Summe von FZ und FG darstellen (FZ=Zentrifugalkraft, nach aussen gerichtet in einem mitrotierenden Bezugssystem). 

Grundsätzlich sind, wenn das Fahrzeug weder aktiv beschleunigt noch bremst und damit keine zusätzliche tangentiale Kraft wirkt, 3 Fälle denkbar:

-F1. Hier gilt



Das Fahrzeug bleibt auf der Fahrbahn, von der Fahrbahn wirkt eine Normalkraft, welche die radiale Komponente von F1 kompensiert. Tangential wirkt eine negative Beschleunigung (sofern sich das Fahrzeug auf dem Weg nach oben befindet), die Geschwindigkeit nimmt ab.

-F2. Hier gilt



Das Fahrzeug bleibt auf der Fahrbahn, von der Fahrbahn wirkt eine Normalkraft, welche die radiale Komponente von F2 kompensiert. Tangential wirkt eine negative Beschleunigung (sofern sich das Fahrzeug auf dem Weg nach oben befindet), die Geschwindigkeit nimmt stärker ab als in Fall 1.

-F3. Hier gilt



Es wirkt insgesamt eine radiale Kraftkomponente radial nach innen, das Fahrzeug löst sich von der Fahrbahn und "fällt herunter".

Im Grenzfall zwischen F2 und F3, wo die Summe FZ + FG tangential nach schräg unten gerichtet ist, wird die Normalkraft gerade gleich null.

Also nochmals: Im Fall 2 gilt



und trotzdem "fällt" das Fahrzeug nicht herunter. Die Summe von FG und FZ wirkt radial nach aussen, das Auto wird gegen die Fahrbahn gedrückt. Lediglich die Geschwindigkeit verringert sich, wenn sich das Auto nach oben bewegt.

Fast - wenn Du nochmals schaust, siehst Du, dass in der Linearkombination, die dem Verbindungsvektor DF entspricht, zweimal der Vektor a auftreten muss:



Irgendwie sollte einem schon das Gefühl sagen, dass das Resultat zu niedrig ist. Bei Deiner Rechnung wäre F1 umso niedriger, je länger der Ringschlüssel ist - was nicht logisch erscheint.

Ich hab keine Erfahrung mit sowas und wie Ihr das berechnet. Aber das Verhältnis der Kräfte entspricht dem umgekehrten Verhältnis der zurückgelegten Wege (Gleichheit der Arbeit). Wenn s1 der Weg ist, welche die Hand am Ringschlüssel zurücklegt, s2 der Weg, welche die Mutter zurücklegt, und s3 der Weg, welcher das Ende des Hebels zurücklegt, so müsste gelten (mit Deinen Bezeichnungen und F=50N):



--- Ergänzung ---

Falls meine obige Erklärung nicht geholfen hat: zuerst Aufstellung einer Gleichung für die Kraft F2, wie sie in der Skizze eingezeichnet ist:

Es gilt (mit F=50N)



Das Werkstück wird aber durch F1 festgepresst. Es gilt, vgl. die Hebel mit 110 bzw. 160mm Länge:



Somit gilt für die gesuchte Kraft F1



Ein paar Anmerkungen zum verlinkten Text (der offenbar bereits als Buch im Wiley-Verlag erschien, was mich offen gesagt sehr erstaunt):

-die Fliehkraft ist kein gutes Beispiel für eine der "vier grundlegenden Wechselwirkungen". Tatsächlich beruht sie ja nicht auf einer Wechselwirkung mit anderer Materie, sondern muss in rotierenden Bezugssystemen eingeführt werden, damit die Bewegungsgleichungen der Form a=F/m weiterhin gelten.

-in Zusammenhang mit der starken und schwachen Kernkraft würde ich nicht von "alchemistischen Wirkungen" sprechen.

-"Spaltung und Fusion von Atomkernen hatten zudem gezeigt, dass die beiden großen modernen Theorien der Physik irgendwie miteinander verbunden sind." Dass die Spaltung und Fusion von Atomkernen dies zeigen sollen, sehe ich nicht.

-das Z- und die W-Bosonen sind nicht masselos.

Und noch eine persönliche Meinung zum Bild mit Millikan, Einstein und Lemaître: die Kolorierung hat dem Bild nach meinem Empfinden gar nicht gutgetan. Besonders Einstein ist mit der veränderten Augenpartie fast nicht wiederzuerkennen.

Rechts ist die Darstellung des Vektors in Koordinaten (hier offenbar bezüglich der Standardbasis des R^3). Man sagt auch, (ax, ay, az) sei der Koordinatenvektor von a. Eher in der Physik und in der Tensorrechnung werden (ax, ay, az) auch als die Komponenten des Vektors bezeichnet.

Benutze Geogebra fast nie, aber hab grad kurz geschaut: man kann Plots als Vektorgrafiken (pdf, svg, pgf=tikz) speichern und dann z.B. in Latex einfügen.

Zu c) III: Aus der rechten Hand-Regel (oder Schraubenzieher-Regel oder wie auch immer) folgt, dass das B-Feld innerhalb der Spule von rechts nach links und ausserhalb der Spule von links nach rechts gerichtet ist. Folglich ist links der Nord- und rechts der Südpol.

d) I: Im Innern der Spule muss das B-Feld von links nach rechts, vom Süd- zum Nordpol, zeigen. Nun wieder die rechte-Hand-Regel verwenden, um die Stromrichtung und damit die Polung anzugeben.

d) II: Auch hier wieder muss im Innern der Spule das B-Feld vom Süd- zum Nordpol zeigen. Daraus ergibt sich wieder die Stromrichtung. Die Polung kann man nicht angeben, da die Windungsrichtung nicht bekannt ist. 

Bei c) ist offenbar die nicht mit dem Vorzeichen der Funktion gewertete Fläche zwischen der Funktion f(x) und der x-Achse gemeint. Diese Fläche würde nur mit dem Integral in b) übereinstimmen, wenn f(x) im Intervall [0,u] durchgehend positiv wäre. Du kannst also prüfen, ob das der Fall ist.

Es ergibt sich, dass f(x) Im Intervall [0,5) negativ ist (Rechenfehler vorbehalten). Um also die Fläche in c) zu berechnen, muss das Integral unterteilt werden in die Intervalle [0,5] und [5,6], wobei vom ersten Integral der Negativwert genommen wird.

Die Magnetfelder auf der Abbildung sind orthogonal zur Bewegungsrichtung, und auf der einen Seite entgegengesetzt dem des Stabmagneten, auf der anderen Seite in gleicher Richtung. Diese Kräfte würden also eine Verdrehung des Pendels entlang der Achse bewirken, die durch den Aufhängefaden des Pendels verläuft.

Hier betrachtest Du die Bewegung des Pendelkörpers und der darin enthaltenen Elektronen und positiv geladenen Atomrümpfe. Die Elektronen werden beschleunigt, und es entstehen Wirbelströme. Eine seitliche Auslenkung ist nicht möglich, da das Metall an einer Stange geführt wird.

Betrachte nun aber einen Wirbelstrom: auf die sich senkrecht zur Bewegungsrichtung des Pendels bewegenden Elektronen wirkt im inhomogenen B-Feld netto eine Lorentzkraft entgegen der Bewegungsrichtung des Pendelkörpers, was durch die Wechselwirkung mit dem Metallgitter zu einer Abbremsung des Pendels führt.

Das ist eine quadratische Gleichung in y, und es soll nach y aufgelöst werden. Also einfach eine der üblichen Formeln für das Lösen einer quadratischen Gleichung verwenden, wobei die Terme mit x als Konstanten angesehen werden. Es ergeben sich dann Lösungen y1(x), y2(x), also Funktionen von x.

Ja, mit partieller Integration. Vielleicht irgendwo ein Vorzeichenfehler?

Definiere u(x), v'(x) wie folgt



und dann rechne



Zur Kontrolle: Es sollte sich ergeben



Schau Dir vielleicht auch einmal den Wikipedia-Artikel über Wendepunkte und insbesondere diesen Abschnitt an:

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Wendepunkt#Hinreichendes_Kriterium_unter_Verwendung_weiterer_Ableitungen

Für einen Wendepunkt muss die 3. Ableitung nicht notwendigerweise gleich null sein. Ebenso hinreichend für einen Wendepunkt ist, wenn an einer Stelle x die 2. und höhere Ableitungen alle gleich null sind, bis zur n. Ableitung, die ungleich null ist, wobei n ungerade ist. Beispiel von oben: f(x)=x^5. Die 2., 3., 4. Ableitungen sind bei x=0 alle gleich null, doch die 5. Ableitung ist ungleich null.

Wer sagt denn, dass das Universum 1s nach dem Urknall eine Grösse von etwa 20ly hatte? Wenn das Universum heute unendlich gross ist - und einiges deutet darauf hin - dann war das Universum 1s nach dem Urknall auch schon unendlich gross.