Integration , Elektrotechnik?

Hallo zusammen,

hier eine Aufgabe bei der ich wissen möchte ob meine Lösung korrekt ist.

Bei Bedarf kann ich sie auch gerne übersetzen.

If the current in a certain electric circuit is

$i=110\cos\left(377t\right)$ find the expression for the voltage across a 500*10^-6 farad capacitor as a function of time.

The initial voltage is zero.

Show that the voltage across the capacitor is 90° out of phase with the current.

Ich habe folgendes gerechnet:

$u\left(t\right)=\frac{1}{C}\int i\left(t\right)dt\ \ =>u\left(t\right)=\frac{1}{500\cdot10^{-6}}\int110\cos\left(377t\right)dt$ $u\left(t\right)=583,55\cdot\sin\left(377t\right)$

Wie kann ich zeigen, dass u um 90° Phasenverschoben ist gegenüber i ?

Danke im voraus für eure Kommentare.

Answer 1

[poseidon42]

Der Strom, der durch den Kondensator fließt sei gegeben durch

i(t) = 110mA * cos(377*t/s)

und die Spannung zu Beobachtungsbeginn t = 0 sei u(0) = 0. Für Strom und Spannung über dem Kondensator gilt folgender Zusammenhang:

du/dt = i/C

wie du es auch korrekt verwendet hast. Integration liefert dann:

u(t) = u(0) + (1/C) * int[0, t]{ i(tau) dtau }

Durch einsetzen der Größen, berücksichtigen von C = 500µF, und Integrieren erhalten wir:

u(t) = (110mA/(500µF)) * sin(377 * t/s)/(377/s) = 583,6 mV * sin(377 * t/s)

Nun berücksichtige, dass sin(x) = cos(x - pi/2). Damit gilt:

u(t)/ua = i(t - (pi/2)*/w)/ia

oder noch deutlicher, wenn statt Zeit als Argument die Phase verwendet:

u(w*t)/ua = i(w*t - (pi/2))/ia

wobei ua und ia die jeweilige Amplitude der Spannung bzw. des Stroms sind und w die Kreisfrequenz w = 377 rad/s. Es wird somit deutlich, dass Strom und Spannung zueinander um pi/2 rad = 90° Phasenverschoben zueinander sind, da sin und cos zueinander um 90° Phasenverschoben sind. Ebenfalls erkennt man, dass die Spannung des Kondensators dem Strom nacheilt (dies ergibt sich im Allgemeinen aus der Integration ... ).

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Studium der Elektrotechnik (Energie, Automatisierung)

Comments

[usmi49]

Besten Dank poseidon42 für diese ausfühliche und interessante Erklärung, super!

[poseidon42]

Ich habe mir die Freiheit genommen die fehlenden Einheiten "sinnvoll" zu ergänzen, sodass "numerisch" die gleichen Werte rauskommen wie bei dir.