Exponentialgleichung , ableiten?

Hallo zusammen,

hier kommt schon die nächste Aufgabe die ich nicht verstehe, bei Bedarf kann ich sie gerne auf deutsch übersetzen:

"Under certain circumstances 2% of a substance changes chemically each minute.

If there are originally 100g present, the amount at any time t wich is present is $A=100\left(098\right)^t$ What is the approximate change in the amount present during the fourth second."

Ich habe $\frac{dA}{dt}.Δt$ versucht, mit Δt = 4s  

und  $\frac{dA}{dt}=\ 100\frac{d\left(0,98^t\right)}{dt}\ =100\ln0,98\left(0,98\right)^t\ =\ 2,02\left(0,98\right)^t$

also $2,02\left(0,98\right)^t.4s$

wenn ich 60s wähle für t bei (0,98)^t , dann komme ich auf 2,4%

Aber ich denke meine Argumentation ist falsch!

Danke für eure Kommentare.

Answer 1

[GreenxPiece]

during the fourth second

Bedeutet nicht die Änderung nach 4 Sekunden, sondern die Änderung während der 4. Sekunde.

Achtung t ist hier in Minuten!

2% of a substance changes chemically each minute

Zu rechnen ist also A(t=3/60) - A(t=4/60)

Und das Ergebnis ist in gram anzugeben. Nicht in Prozent. (A0 = 100 g)

there are originally 100g present

Comments

[usmi49]

"Ist es nicht so, dass gefragt wird was ungefähr in der 4ten Sekunde passiert?"

ja , genau, das meinte ich so verstanden zu haben, ich habe es nur falsch geschrieben mit "in" statt "während"

und nochmal ja, mit Ergebnis in Gram.

und ja, auch korrekt, es steht ja, wie du's erwähnt hast "each minute"

Besten Dank

[usmi49]

@usmi49

Also, wenn ich das korrekt gerechnet habe, ist die Aenderung während der 4 Sekunde = 0,035g

[GreenxPiece]

@usmi49

Richtig gerundet wären es 0,034 g

[usmi49]

@GreenxPiece

Super, vielen Dank!

[usmi49]

@usmi49

ich habe soeben gesehen, dass mann es auch anders rechnen kann,

aber die Aufgabe sollte ja im Rahmen der Anwendungen von Exponentialgleichungen gelöst werden.

2% änderung in 60s = 0,0333g/s

mal 4 = 0,133 und 100 - 0,133 = 99,867g

mal 3 = 0,099 und 100 - 0,099 = 99,9g

99,9g - 99,867 = 0,033g

[Halbrecht]

@usmi49

( A(4/60) - A(3/60) ) / 1 s ekunde Differenz ist doch Anwendung der Ex-Glg . Wenn das auch eine typische a) oder g) aufgabe ist

[GreenxPiece]

@usmi49

Das ist so nicht richtig. Es kommt zwar hier ein ähnliches Ergebnis raus, aber das liegt nur an dem sehr kleinen zeitintervall. So wie du hier rechnest, nimmst du die Änderungsrate als linear an. Was sie nicht ist. So wie ich es geschrieben habe ist richtig. Und es ist durchaus rechnen mit exponentialgleichungen.

[usmi49]

@GreenxPiece

Hallo Greenxpiece,

danke für deine Antwort, ja es macht für mich auch mehr Sinn so wie du es geschrieben hast. Wollte es einfach posten als Info, weil ich es im Netz gefunden habe.

Answer 2

[joycematone]

Es handelt sich um die Funktion A(t) = 100(0,98^t) . Diese kann man auch umformulieren zu A(t) = 100 e^{t ln(0,98)} . Damit ist klar ersichtlich, dass die Funktion konstant nach ln(0,98) abfällt.

Um herauszufinden, was nach genau 4 Sekunden (also t=4) passiert muss man sich einfach A(4) anschauen, und auch A(0). Der Unterschied ist dann die |Änderung|

Comments

[usmi49]

Besten Dank joycematone,

Ist es nicht so, dass gefragt wird was ungefähr in der 4te Sekunde passiert?

" during the fourth second"

[usmi49]

@usmi49

Wenn es so währe, müsste ich dann einfach A(4) anschauen , und auch A(3) ?

[usmi49]

@usmi49

Könntest du mir ev. herleiten wie mann von A(t) = 100(0,98^t) zu A(t) = 100 e^{t ln(0,98)} kommt?



[MeRoXas]

@usmi49

0.98^t ist das selbe wie e^(ln(0,98^t), da sich e und ln gegenseitig aufheben. Nun gilt nach dem Logarithmusgesetz ln(a^b) = b * ln(a) aber auch ln(0,98^t) = t * ln(0.98), woraus sich dann die Gleichung A(t) = 100e^(t*ln(0,98)) ergibt.

[usmi49]

@MeRoXas

Danke MeRoXas für deine ausführliche Erklärung.

Answer 3

[Halbrecht]

ich würde das so interpretieren 

(keine Ableitung notwendig) 

.

( A(4/60) - A(3/60) ) / 1 s ekunde Differenz

.

Answer 4

[f0felix]

A(t)=100*0.98^t

A'(t)=100*ln(0.98)*0.98^t

A'(4/60)=100*ln(0.98)*0.98^(4/60)=-2.02g/min

In der vierten Sekunde verändert sich der Betrag um etwa 2.02g/min;

Bei der Ableitung hat man die Abnahme von g/min für einen bestimmen Zeitpunkt und keine Prozent. Bei A(t) hat man immer 2% nach jeder Minute weniger

Aber eigentlich trifft die Aufgabenstellung vielleicht eher diese Lösung:

(A(4/60)-A(3/60))/(4/60 -3/60)

da während der vierten Sekunde gefragt ist...

-----------

Nachtrag:

Aber es wird nur nach der Veränderung des Betrages gefragt, deshalb muss das:

A(3/60)-A(4/60) die Lösung sein

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Mathematik und Naturwissenschaften

Comments

[GreenxPiece]

Achtung gefragt ist nach der ungefähren Veränderung. Nicht nach der veränderungsrate. Also ein Ergebnis in gram. Nicht gram pro Zeit.

[f0felix]

@GreenxPiece

Ja, stimmt, es wird nur nach der Veränderung des Betrages gefragt... Lösung wird dann bearbeitet