Ja so etwas geht mit Arduino. Siehe z.B.

https://www.az-delivery.de/blogs/azdelivery-blog-fur-arduino-und-raspberry-pi/5-achsen-roboterarm-mit-atmega328-und-servomotoren

https://howtomechatronics.com/tutorials/arduino/diy-arduino-robot-arm-with-smartphone-control/

https://projecthub.arduino.cc/danielgass/robot-arm-automation-c4e0cb

https://projecthub.arduino.cc/milespeterson101/arduino-robotic-arm-8b8601

https://www.sciencebuddies.org/science-fair-projects/project-ideas/Robotics_p050/robotics/arduino-robotic-arm

https://roboticsandenergy.com/projects/arduino-projects/robotic-arm/

...

Google einfach nach "Arduino robot arm project" und du wirst massenhaft fündig.

Zeichne die jeweiligen Spannungen und Ströme ein. Ich gehe davon aus, dass der Strom I1 und I2 jeweils durch den Widerstand R1 bzw. R2 fließen. Es folgt mithilfe der Maschenregel:

(i) U0 = R1*I1 + R2*I2

Und da du schon den Gesamtwiderstand kennst:

(ii) I1 = U0/Rges

Einsetzen in von (ii) in (i) erlaubt schließlich das Umstellen nach der letzten Unbekannten I2

(iii) I2 = (U0 - R1*I1)/R2

Sei a(n) = (n!)^2/(2n)!. Es folgt entsprechend für den Quotienten aufeinanderfolgender Glieder

a(n+1)/a(n) = ((n+1)!)²*(2n)!/((2n+2)!*n!²) = (n+1)²/((2n+2)*(2n+1))

= (n+1)²/(4*(n+1)² - (2n+2)) = 1/(4 - 2/(n+1)) <= 1/3 für n >= 1.

Entsprechend gilt somit also:

|a(n+1)| <= (1/3)*|a(n)| für n >= 1

Die Reihe kann somit mit der geometrischen Reihe verglichen werden und konvergiert aufgrund |a(n+1)/a(n)| <= 1/3.

Die Kennlinie des Motors zeigt klassisches PT1-Verhalten. Somit ist die Übertragungsfunktion gegeben durch

F(s) = K/(s*T + 1)

Die zugehörige Sprungantwort im Zeitbereich (vgl. Kennlinie) ist dann:

H(s) = F(s)/s = K*(1/s - T/(sT + 1)) <----> h(t) = K*(1 - exp(-t/T))

Damit folgt

(i) t --> inf : h(inf) = K

(ii) dh/dt = (K*exp(t/T))/T und für t = 0 entsprechend dh(0)/dt = K/T

Die Tangente T(t) an h(t) bei t = 0 ist damit gegeben durch T(t) = K*(t/T). Diese nimmt entsprechend für t = T den Endwert K an. Somit ist T der Zeitwert an dem die Tangente T(t) den Wert K annimmt (siehe auch Kennlinie).

Wie ein Regelkreis aufgebaut ist kannst du in jedem Buch über Regelungstechnik nachschlagen. Für einen P-Regler erhalten wir die Regler-Übertragungsfunktion von R(s) = Kp. Entsprechend die Übertragungsfunktion L(s) für die offene Strecke (ohne Rückführung) zu L(s) = R(s)*F(s) = Kp*K/(sT+1). Hiermit folgt die Führungsübertragungsfunktion H(s) mit Standardformel für Regelkreise mit negativer Rückführung zu

H(s) = L(s)/(1 + L(s)) = Kp*K/(Kp*K + sT + 1)

Den Endwert für eine Sprunganregung können wir über die entsprechenden Endwertsätze ermitteln. So gilt:

lim(s->0){ s*(H(s)*W(s)) } = lim(s->0){ s*(H(s)/s) } = H(0) = y(inf) = KpK/(KpK + 1)

Hierdurch erhalten wir eine bleibene Regelabweichung, da y(inf) nicht gleich w(inf) = 1 ist. Die Sprungantwort im Zeitbereich des Regelkreises ermitteln wir analog wie zuvor

H(s)/s = Kp*K/(s*(Kp*K + sT + 1)) = (Kp*K/T)/(s*(s + (KpK+1)/T)) =

= (Kp*K/(KpK+1))*(1/s - 1/(s + (KpK+1)/T))

<----> (Kp*K/(KpK+1))*(1 - exp(-t*(KpK+1)/T))

Bei Fragen zu einzelnen Punkten gerne nachfragen.

Die Normalparabel folgt aus dem Bild zu:

p(x) = (x+4)*(x-2)

über Ablesen der Nullstellen und Verwenden der Nullstellennormalform für Polynome.

Die Geradengleichung folgt zu:

g(x) = (-2)*x - 3

durch Ablesen der Steigung und des y-Achsenabschnittes.

Berechne nun die Schnittpunkte via Gleichsetzen von p und g:

p(x) = g(x)

--> (x+4)*(x-2) = (-2)*x - 3

--> x^2 + 4 x - 5 = 0

Anwenden der pq-Formel liefert die beiden Lösungen:

x1 = -5

x2 = 1

Einsetzen in p oder g liefert dann die zugehörige y-Koordinate des Schnittpunktes. Es folgt:

y1 = 7

y2 = -5

Die gesuchten Schnittpunkte P und Q sind damit gegen durch:

P = (x1 | y1)

Q = (x2 | y2)

Das Dreieck MHS ist ein rechtwinkliges Dreieck. Es folgt:

hD²= (a/2)² + h²

Ziehen der Wurzel liefert das gesuchte Ergebnis:

hD = sqrt((a/2)² + h²)

wobei sqrt(...) die Wurzel bezeichnet.

Hier ein paar Hinweise als Hilfestellung:

1.) Lösen von x^2 = a

Umkehroperation zur Quadration ist die Wurzel. Es folgt für a >= 0 entsprechend

x(1/2) = +/- sqrt(a)

2.) Lösen von entkoppelten Gleichungssystem

Wir habe ein nichtlineares entkoppeltes Gleichungssystem der Gestalt

(i) x^2 = a

(ii) y^2 = b

mit a, b >= 0 gegeben. Da in (i) nur x als Variable und in (ii) nur y als Variable auftaucht sind (i) und (ii) entkoppelt und können unabhängig voneinander gelöst werden! Es folgt:

(i) --> x1 = sqrt(a)

(i) --> x2 = - sqrt(a)

(ii) --> y1 = sqrt(b)

(ii) --> y2 = - sqrt(b)

Damit ergeben sich insgesamt 4 verschiedene Kombinationen für die Gesamtlösung:

(1) (x1, y1)

(2) (x1, y2)

(3) (x2, y1)

(4) (x2, y2)

die im Kontext der Aufgabe kritischen Stellen entsprechen.

Den Ansatz hast du ja bereits geschrieben:

y(x,t) = X(x)*T(t)

Die partiellen Ableitungen folgen damit zu:

y_t(x,t) = X(x)*dT/dt

y_x(x,t) = dX/dx * T(t)

Einsetzen in die ursprüngliche partielle DGL liefert

X(x)*dT/dt - (x^2 + 1)*dX/dx * T(t) = 0

Ziel ist nun eine Seperation in Teile die nur noch von t abhängen und Teile die von x abhängen. Es folgt durch Division:

(dT/dt)/T(t) - (x^2 + 1)*(dX/dx)/X(x) = 0

Es sollte auffallen, dass der erste Summand nur von t abhängt und der zweite nur von x. Damit diese Gleichung also für alle x und t erfüllt ist müssen folgende Bedingungen für alle x und t simultan gelten:

(i) (dT/dt)/T(t) = 0

(ii) (x^2 + 1)*(dX/dx)/X(x) = 0

Für (i) folgt schnell:

(iii) (dT/dt)/T(t) = 0 --> d(log(T(t)))/dt = 0 --> log(T(t)) = log(c1) --> T(t) = c1

Für (ii) beachte, dass (x² + 1) > 0 für alle x gilt, sodass analog folgt

(iv) (dX/dx)/X(x) = 0 --> d(log(X(x)))/dx = 0 --> log(X(x)) = log(c2) --> X(x) = c2

Die einzige Lösung der gegeben Gestalt ist also die konstante Lösung mit:

y(x,t) = X(x)*T(t) = c2 * c1

Man kann es via Brute-Force ausprobieren:

x(t) = -2t*exp(t)*cos(3t)

dx/dt = -2 exp(t) ((1 + t) cos(3 t) - 3 t sin(3 t))

d²x/dt² = 4 exp(t) (3 (1 + t) sin(3 t) + (4 t - 1) cos(3 t))

d³x/dt³ = 4 exp(t) ((13 t + 12) cos(3 t) - 9 (t - 1) sin(3 t))

d^4/dt^4 = -8 exp(t) (6 (4 t + 3) sin(3 t) + (7 t - 26) cos(3 t))

Bestimme die Koeffizienten A, B, C, D so, dass gilt:

d^4/dt^4 + A*d³x/dt³ + B*d²x/dt² + C*dx/dt + D*x(t) = 0

Dies können wir einfach über einen Koeffizientenvergleich erreichen. Es gilt bei Betrachtung der Cosinus-Anteile:

(i) (-8)*(7 t - 26) + 4(13 t + 12)*A + 4(4 t - 1)*B - 2(1 + t)*C - 2t*D = 0

--> t (26 A + 8 B - C - D - 28) = -24 A + 2 B + C - 104

Und entsprechend bei Betrachtung der Sinus-Anteile:

(ii) (-8)*6 (4 t + 3) - 36 (t - 1)*A + 12 (1 + t)*B + 6t*C = 0

--> t (6 A - 2 B - C + 32) = 6 A + 2 B - 24

Hieraus erhalten wir insgesamt 4 Gleichungen für 4 Unbekannte:

(iii) 26 A + 8 B - C - D - 28 = 0

(iv) -24 A + 2 B + C - 104 = 0

(v) 6 A - 2 B - C + 32 = 0

(vi) 6 A + 2 B - 24 = 0

Addition von (iv) und (v) liefert

(vii) -18A -72 = 0 --> A = -4

Aus Addition von (v) und (vi) folgt mittels Einsetzen von (vii)

(viii) 12A - C + 8 = 0 --> C = -40

Einsetzen von (vii) in (vi) liefert

(ix) -24 + 2 B - 24 = 0 --> B = 24

Und damit schließlich durch Einsetzen von (vii), (viii) und (ix) in (iii)

(x) 26 A + 8 B - C - 28 = D --> D = 100

Damit ist das gegebene x(t) eine Lösung der Gleichung:

d^4x/dt^4 + (-4)*d^3x/dt^3 + 24*d^2x/dt² + (-40)*dx/dt + 100*x(t) = 0

wie man auch hier gerne zu verifizieren vermark:

https://www.wolframalpha.com/input?i=d%5E4x%2Fdt%5E4+%2B+%28-4%29*d%5E3x%2Fdt%5E3+%2B+24*d%5E2x%2Fdt%C2%B2+%2B+%28-40%29*dx%2Fdt+%2B+100*x%28t%29+%3D+0

-> Siehe dort unter "Differential equation solution" den letzten Anteil der Lösung "c_4 e^t t cos(3 t)", der exakt der gewollten homogenen Lösung entspricht.

Als Alternative hier noch den cleveren Ansatz mit weniger Rechnen:

Führe eine Laplace-Transformation von x(t) durch

--> X(s) = L{ -2t*exp(t)*cos(3t) } = 2* d/ds L{ exp(t)*cos(3t) }

mit L{ exp(t)*cos(3t) } = (s - 1)/((s - 1)^2 + 9) folgt entsprechend

--> X(s) = 2* d/ds ((s - 1)/((s - 1)^2 + 9)) = (-2)* (s^2 - 2 s - 8)/(s^2 - 2 s + 10)^2

Die gesuchte homogene DGL muss somit eine charakteristische Gleichung enthalten, die die Pole aus (s^2 - 2 s + 10)^2 enthält. Wähle also einfach als charakteristisches Polynom genau dieses. Es folgt:

s^4 - 4 s^3 + 24 s^2 - 40 s + 100 = (s^2 - 2 s + 10)^2

wobei die Koeffizienten genau mit denen aus dem Brute-Force Verfahren übereinstimmen. Die zugehörige DGL lautet somit:

d^4x/dt^4 + (-4)*d^3x/dt^3 + 24*d^2x/dt² + (-40)*dx/dt + 100*x(t) = 0

wie wir sie zuvor auch schon bestimmt hatten.

Du kannst die Funktion schreiben als

f(t) = exp(4t + 2)*(u(t) - u(t-pi)) + sin(t)*u(t-pi)

wobei u(t) die Sprungfunktion ist. Für die direkte Anwendung der Korrespondenztabellen ließe sich sogar noch expliziter schreiben:

f(t) = exp(4t + 2)*u(t) - exp(4(t - pi) + 2 + 4pi)*u(t-pi)) + sin((t - pi) + pi)*u(t-pi)

Verwende:

exp(4t + 2) = exp(4t)*exp(2)

exp(4(t - pi) + 2 + 4pi) = exp(4(t - pi))*exp(2 + 4pi)

sin((t - pi) + pi) = - sin(t - pi)

Es folgt damit:

f(t) = exp(2)*exp(4t)*u(t) 
- exp(2 + 4pi)*exp(4(t - pi))*u(t-pi)) 
-sin(t - pi)*u(t-pi)

Nun lassen sich die Transformationen leicht aus Tabellen ablesen ... .

Die allgemeine Lösung der DGL ist gegeben durch:

x(t) = x(0)*exp(-3t) + int[0, t]{ exp(-3(t - s))*(|s - 2| + exp(9s)) ds}

Verfolge hier den Ansatz über Variation der Konstanten:

dx/dt = ax + u

Wähle als Ansatz: x = xh*c mit homogener Lösung xh und zeitvarianten Konstanten c = c(t). Es folgt durch Einsetzen in die Gleichung:

c*dxh/dt + dc/dt * xh = a*xh*c + u

--> dc/dt * xh = u

--> dc/dt = u/xh

Integration liefert:

c(t) = c(0) + int[0, t]{ u(s)/xh(s) ds}

Somit folgt für den Ansatz:

x = c(0)*xh + int[0, t]{ u(s)*xh(t)/xh(s) ds}

Aus der Bedingung x(0) = x0 folgt

x0 = x(0) = c(0)*xh(0) --> c(0) = x0/xh(0)

Und somit lautet damit die Lösung für die inhomegene DGL

x(t) = x0*xh(t)/xh(0) + int[0, t]{ u(s)*xh(t)/xh(s) ds}

Die inhomogene Lösung xh folgt als Lösung der Gleichung

dx/dt = ax

zu x = exp(at), sodass mit a = -3 damit die beschriebene Gestalt folgt

x(t) = x0*exp(-3t)/1 + int[0, t]{ u(s)*exp(-3t)/exp(-3s) ds}

--> x(t) = exp(-3t) + int[0, t]{ exp(-3(t - s))*u(s) ds}

Substituiere schließlich nur noch u(s) = |s - 2| + exp(9s) und du hast die allgemeine Lösung der DGL gefunden. Es gilt schließlich nur noch das Integral zu bestimmen, wobei hier nur noch die Falluntescheidung zwischen t < 2 und t > 2 getroffen werden muss aufgrund der Betragsfunktion. Das Integral darfst du aber selber berechnen. Hier dann nochmal ein Link der das verallgemeinert:

https://web.mit.edu/2.14/www/Handouts/StateSpaceResponse.pdf

Fasse zunächst den parallelen Zweige vom unteren Summationspunkt zusammen:

-->[ 1 - 3/(s + 5)] --> (+) --> [ 5 ] --->

Dadurch kann dann schließlich der Summationspunkt entfallen und wir haben nur noch eine Kaskadierung zweier einfacher Teilsystem, so dass

-->[ (1 - 3/(s + 5))*5 ] -->

für den zusammengefassten Zweig folgt. Für die Gesamtübertragungsfunktion fasse schließlich wieder die beiden parallelen Zweige, die in den letzten Summationspunkt gehen, zusammen. Es folgt damit

-->[ 2/(s + 5) ] --> [1 + (1 - 3/(s + 5))*5] -->

für das vereinfachte System. Zusammenfassen der Kaskadierung liefert somit final

--> [ (2/(s + 5)) * (1 + (1 - 3/(s + 5))*5) ] -->

für das Gesamtsystem.

Der erste Ansatz ist den Integranden auf eine "Standardform" zu bringen. So wissen wir zum Beispiel:

tan(x)' = 1 + tan(x)²

arctan(x)' = 1/(1 + x²)

Beachte:

(tan(arctan(x)))' = x' = 1 = tan'(arctan(x)) * arctan(x)'

--> 1 = (1 + x²)*arctan(x)'

--> arctan(x)' = 1/(1 + x²)

Es sollte die Ähnlichkeit zwischen der Ableitung von arctan und dem Integranden auffallen. Es gilt den Integranden also auf obige Gestalt zu bringen. Es folgt:

1/(x² + 9) = (1/9) * 1/((x/3)² + 1)

Somit folgt durch die Substitution x = 3*u entsprechend

(1/9) * 1/((x/3)² + 1) --> (1/9) * 1/(u² + 1)

und somit besitzt der Integrand die gewünschte Gestalt. Es gilt also:

int{ 1/(x² + 9) dx} = int{ (1/9) * 1/((x/3)² + 1) dx } = int{ (1/3) * 1/(u² + 1) du } = (1/3)*arctan(u) + const. = (1/3)*arctan(x/3) + const.

Der Kern einer Matrix A ist nicht trivial, wenn gilt:

L = { x aus IR^n | Ax = 0} =/= { 0 }

die Lösungsmenge der Gleichung Ax = 0 also Elemente ungleich 0 enthält. Dies bedeutet, dass die Zeilen und Spalten der Matrix A linear abhängig sind. Es gibt nun verschiedene Ansätze:

(i) Die Zeilen und Spalten einer Matrix A sind linear abhängig, wenn det(A) = 0

--> Bestimme damit also für welche Werte von lambda det(A) gleich 0 wird.

(ii) Bringe das Gleichungssystem [A | 0] mittels Zeilenumformungen auf obere Dreiecksgestalt. Der Kern ist dann nicht trivial, wenn mindestens einer der Einträge auf der Hauptdiagonalen gleich 0 wird.

--> Bestimme somit also die lambda für die dies der Fall ist.

(iii) Bestimme die Eingewerte von A in Abhängigkeit von lambda. Der Kern ist dann nicht trivial, wenn mindestens einer der Eigenwerte den Wert 0 annimmt.

(iv) Dekomposition der ursprünglichen Matrix A in ein Produkt von Matrizen B und C, sodass A = B*C gilt. Der Kern von A ist genau dann nicht trivial, wenn der Kern einer der Matrizen B oder C nicht trivial ist.

Es gibt sicherlich noch weitere Möglichkeiten, aber die obigen sollten dir erstmal genügend Ansätze liefern.

Für die Verwendung von zylindrischen Koordinaten sollte eine Rotationssymmetrie um eine gegebene Achse existieren. Diese Achse verwendet man dann als z"-Achse in den Zylinderkoordinaten. Hier übernimmt die x-Achse die Rolle der Rotationsachse bezüglich des Körpers. Für die Definition des Polarwinkels verwende die rechte Handregel, wobei die Achse für den Winkel phi = 0 beliebig gewählt werden kann. Ich wähle den Winkel phi = 0 hier beliebig so, dass dieser auf der y-Achse im Bild liegt. Der kürzeste Abstand eines beliebigen Punktes zur Rotationsachse ist gegeben durch r. Somit lässt sich die Oberfläche wie folgt parametrieren:

x = z"

y = cos(phi)*R*z"/H

z = sin(phi)*R*z"/H

für z" in [0, H] und phi aus [0, 2pi).

a)

F(x) nimmt den Wert 0 an, wo der Graph von F(x) die x-Achse berührt (y=0). Die genannten Stellen werden auch als Nullstellen bezeichnet.

b)

f = dF/dx nimmt den Wert 0 an, dort wo sich das Steigungsverhalten ändert, z.B. von zunehmend zu abnehmend, oder wo sich die Funktion lokal nicht verändert. Die Fälle lassen sich in Sattelpunkte und Extremstellen aufteilen.

c)

Es gilt F(b) - F(a) = int[a, b]{ f(x) dx}, sodass hier lediglich a = 1 und b = 3 zu setzen sind.

d)

Aus der Grafik ist ersichtlich, dass dF(x=3)/dx = f(3) = 0 gilt, da dort ein lokales Maximum vorliegt (notwendige Bedingung). Der Graph von F(x) nimmt um x = 1 lokal zu, sodass dF(x=1)/dx = f(1) > 0 gilt. Entsprechend folgt also f(3) < f(1).

a)

Die Stammfunktion F von f nimmt auf dem Intervall (a, b) streng monoton zu, wenn dF/dx = f auf diesem positiv ist. Sie nimmt streng monoton ab, wenn dF/dx = f auf diesem negativ ist.

b)

Die Krümmung von F wird durch die zweite Ableitung d²F/dx² = df/dx beschrieben und das Krümmungsverhalten durch das Vorzeichen von d²F/dx² = df/dx bestimmt. In dem vorliegenden Fall gilt

d²F/dx² = df/dx = a*(x - 2)

mit Konstante a > 0, da die Ableitung einer quadratischen Parabel eine Gerade ist, die im Scheitelpunkt verschwindet. Aufgrund des linearen Verlaufs ändert sich somit bei x = 2 das Vorzeichen von d²F/dx² = df/dx und damit das Krümmungsverhalten.

c)

Die Bedingungen für ein lokales Maximum an der Stelle x = 4 lauten:

(i) dF(x=4)/dx = f(x = 4) = 0 --> ist hier erfüllt (notwendige Bedingung)

(ii) d²F(x=4)/dx² = df(x=4)/dx < 0 --> ist hier nicht erfüllt (hinreichendes Kriterium)

Es liegt somit bei x = 4 kein lokales Maximum, sondern ein lokales Minimum vor.

d)

Betrachte die Differenz

F(4) - F(0) = int[0, 4]{ f(x) dx}

welche als Integral von f(x) über das Intervall [0, 4] dargestellt werden kann. Die gerichtete eingeschlossene Fläche zwischen f und der x-Achse über dem Intervall [0, 4] ist nicht 0 sondern offensichtlich negativ, so dass F(4) - F(0) < 0 gilt. Somit stimmt die Aussage F(4) = F(0) nicht!

Mittels Laplace-Transformation folgt im Bildbereich:

Zc(s) = 1/(sC1) + 1/(sC2) [Impedanz der Reihenschaltung der Kondensatoren]

Zges(s) = R1 + (R2 || Zc(s)) [Gesamt Impedanz der Schaltung aus Sicht der Quelle]

Und damit für die gesuchte Spannung Uc2(s):

Uc2(s) = Uq(s)*(1 - R1/Zges(s)) * (1/(sC2))/Zc(s)

(zweimal den Spannungsteiler hintereinander angewandt)

Betrachte nun beispielhaft zwei verschiedene Fälle der Anregung:

A) Gleichspannung Uq (stationärer Fall):

--> s = 0

Somit gilt:

(i) |Zc(0)| --> inf

(ii) Zges(0) = R1 + R2

(iii) (1/(sC2))/Zc(s) --> (1/C2)/(1/C1 + 1/C2)

--> Uc2 = Uq*(1 - R1/(R1 + R2)) * (1/C2)/(1/C1 + 1/C2)

B) Wechselspannung Uq (stationärer Fall) (w > 0):

--> s = jw

Somit gilt:

(i) (1/(jwC2))/Zc(jw) = (1/C2)/(1/C1 + 1/C2)

--> Uc2 = Uq*(1 - R1/Zges(jw)) * (1/C2)/(1/C1 + 1/C2)

Sei die Funktion f gegeben zu

f(x,a) = (4 - a/2) * x + (1/4 - 2/a) * x^2

mit Variable x aus IR und Parameter a aus IR. Die erste Ableitung nach x lautet damit

f'(x,a) = (4-a/2) + 2*(1/4 - 2/a) * x

und die zweite Ableitung folgt zu

f"(x,a) = 2*(1/4 - 2/a) .

Für die Berechnung der Ableitung nach der Variablen x verhält sich der Parameter a wie eine Konstante. Die notwendige Bedingung für ein lokales Extremum liefert

f'(x,a) = 0 = (4-a/2) + 2*(1/4 - 2/a) * x

und damit die kritische Stelle in Abhängigkeit des Parameters a

x(a) = (-2)*(1/4 - 2/a)/(4-a/2).

Für die Bestimmung ob es sich bei f(x(a),a) um ein lokales Minimum oder Maximum handelt ist schließlich das Vorzeichen von

f"(x(a),a)

in Abhängigkeit von a zu untersuchen.

Gegeben sei der Ausdruck

3z + 2/z

Durch erweitern mit der komplex konjugierten conj(z) folgt

3z + 2/z = 3z + 2*conj(z)/(|z|^2)

(beachte das |z|^2 = z*conj(z) )

Für Real- und Imaginärteil gilt mit z = x+iy damit

Re{3z + 2/z} = 3x + 2x/(x^2 + y^2)

Im{3z + 2/z} = 3y - 2y/(x^2 + y^2)

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