Sei die Laplace-Transoformierte G(s) als
G(s) = (a*s + b)/(s*(s^2 + c*s + d))
gegeben mit reellen Koeffizienten a, b, c und d. Die Nullstelle z ist dann gegeben zu z = (-b)/a und die Polstellen seien p1, p2 und p3 wobei p1 = 0 und p(2/3) die beiden (im allgemeinen komplexwertigen) Lösungen des quadratischen Polynoms sind, mit
p(2/3) = (-c)/2 +/- sqrt( (c/2)^2 - d)
(dabei ist sqrt(-x) = i*sqrt(x) für nichtnegatives reelles x)
Im Folgenden wollen wir annehmen, dass sich die Nullstelle z nicht mit einer der Nullstellen kürzt (Es ändert am Allgemeinen vorgehen jedoch nicht viel), sodass das Nenner- und Zählerpolynom zueinander teilerfremd sind. Es gibt nun 2 Möglichkeiten wie wir fortfahren können.
Variante 1: Vollständige Partialbruchzerlegung
Sind p2 und p3 nicht identisch, so gilt:
G(s) = A/(s - p1) + B/(s - p2) + C/(s - p3) = (a*s + b)/(s*(s^2 + c*s + d))
Die Koeffizienten lassen sich dann wie folgt bestimmen:
lim(s -> p1){ (s - p1)*G(s) } = A = (a*p1 + b)/(p1^2 + c*p1 + d)
lim(s -> p2){ (s - p2)*G(s) } = B = (a*p2 + b)/(p2*(p2 - p3))
lim(s -> p3){ (s - p3)*G(s) } = C = (a*p3 + b)/(p3*(p3 - p2))
Sind andernfalls p2 und p3 identisch, so muss die Partialbruchzerlegung angepasst werden:
G(s) = A/(s - p1) + B/(s - p2) + C/(s - p2)² = (a*s + b)/(s*(s^2 + c*s + d))
Auch hier lässt sich dann analog verfahren:
lim(s -> p1){ (s - p1)*G(s) } = A = (a*p1 + b)/(p1^2 + c*p1 + d)
lim(s -> p2){ (s - p2)²*G(s) } = C = (a*p2 + b)/p2
Den letzten Koeffizienten bestimmen wir dann einfach durch Einsetzen und algebraisches auflösen. Wähle zur Einfachheit s = z:
G(s = z) = 0 = A/(z - p1) + B/(z - p2) + C/(z - p2)²
--> B = (z - p2)*(-A/(z - p1) - C/(z - p2)²)
Für die Rücktransformation in den Zeitbereich schlage dann einfach die die Transformation von 1(s - p)^n nach.
Variante 2: Verwenden von Standardformen aus Transformationstabellen:
Wir können die Laplace-Transformierte wie folgt zerlegen:
G(s) = A/s + (B*s + C)/(s^2 + c*s + d) = (a*s + b)/(s*(s^2 + c*s + d))
Hier kann man die linke Seite ausmultiplizieren und schließlich die Koeffizienten der Zählerpolynome beider Seiten miteinander vergleichen. Da diese übereinstimmen müssen erhält man ein Gleichungssystem in den 3 Unbekanten, welches man nach diesen auflösen kann. Hier folgt z.B.:
[A*(s^2 + c*s + d) + (B*s + C)*s]/(s*(s^2 + c*s + d)) = (a*s + b)/(s*(s^2 + c*s + d))
[(A + B)*s^2 + (A*c + C)*s + A*d]/(s*(s^2 + c*s + d)) = (a*s + b)/(s*(s^2 + c*s + d))
Durch Vergleich der Koeffizienten beider Seiten erhalten wir:
(i) A + B = 0
(ii) A*c + C = a
(iii) A*d = b
Dieses lineare Gleichungssystem kann man nun nach A, B & C auflösen. Für die Rücktransformation vergleiche man die zerlegte Übertragungsfunktion mit der Transformationstabelle.
Variante 3: Verwenden der Eigenschaften der Laplace-Transformation
In dem vorliegenden Speziallfall hat die Laplace-Transformierte die Form
G(s) = H(s)/s
mit H(s) = (a*s + b)/(s^2 + c*s + d). H(s) ist eine Übertragungsfunktion die wir üblicherweise so in der Transformationstabelle finden. Andernfalls kann diese mit PBZ noch weiter zerlegt. Angenommen wir haben H(s) in den Zeitbereich transformiert, also zu h(t). Dann folgt aufgrund der Faltungseigenschaft der Laplace-Transformation:
G(s) = H(s)/s <----> g(t) = conv(1(t), h(t) ) = int[0, t]{ h(tau) dtau }
sodass g(t) aus der zeitlichen Integration von h(t) bestimmt werden kann.
Variante 4: Anwenden der Inversen Transformationsformel (nicht zu empfehlen)
https://math.libretexts.org/Bookshelves/Differential_Equations/Introduction_to_Partial_Differential_Equations_(Herman)/09%3A_Transform_Techniques_in_Physics/9.10%3A_The_Inverse_Laplace_Transfor
Man führt wie in dem Artikel beschrieben eine Kontur-Integration durch.
