Matrix, Vektor und Konstante zur Funktion bestimmen?

Guten Abend, beim rechnen dieser Aufgabe (Siehe Anhang) verstehe ich überhaupt nicht, wie man auf die Lösung (Siehe Anhang, Blau) kommt. Über die Aufklärung hierüber wäre ich wirklich sehr dankbar. Viele Grüße

Answer 1

[ChrisGE1267]

Die Matrix A beschreibt alle Terme zweiter Ordnung der Form f, der Vektor b die Terme erster Ordnung und das Skalar c das absolute Glied. Du musst nur einen Koeffizientenvergleich durchführen…

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Dr. rer. nat. Analytische & Algebraische Zahlentheorie

Answer 2

[mihisu]

Naja. Setze doch einfach mal eine Matrix

$A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}$

und einen Vektor

$b=\begin{pmatrix}b_{1} \\ b_{2}\end{pmatrix}$

an...

$f\left(x_{1}, x_{2}\right)=\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2\end{pmatrix}^{\top}\cdot \begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}b_1 \\ b_2\end{pmatrix}^{\top}\cdot \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2\end{pmatrix}+c$

$=\begin{pmatrix}x_1 & x_2\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}a_{11}x_1+a_{12}x_2 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}b_1 & b_2\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2\end{pmatrix}+c$

$=a_{11}x_1^2+a_{12}x_1x_2+a_{21}x_1x_2+a_{22}x_2^2+b_1x_1+b_2 x_2+c$

$=a_{11}x_1^2+a_{22}x_2^2+\left(a_{12}+a_{21}\right)x_1x_2+b_1x_1+b_2 x_2+c$

Vergleiche das nun mit...

$f\left(x_1, x_2\right)=2x_1^2-x_2^2+4x_1x_2+x_2-1$

Vor x₁² steht nun beispielsweise einerseits a₁₁ und andererseits 2. Also muss a₁₁ = 2 sein. Und so weiter...

Nur bei a₁₂ und a₂₁ hat man ein wenig Wahlfreiheit. Üblicherweise wählt man diese jedoch gleich, sodass die Matrix A symmetrisch wird. Das geht dann vom Thema in Richtung von Quadriken.

Comments

[Mr7ister]

Vielen Dank!