Eigenwerte und Eigenvektoren?
Hallo, ich habe eine 3x3 Matrix A und einen Vektor v. Der Vektor v soll ein Eigenvektor von A sein. Die Matrix A, hat eine Unbekannte Variable b in der 1 Zeile auf der 2 Position (x2=b) und auch der Vektor hat eine Unbekannte Variable b=x1. Jetzt soll ich b so bestimmen das der Vektor v ein Eigenvektor von A ist und den dazugehörigen Eigenwert angeben.
Was ich Probiert habe:
- Versuchet zuerst die Eigenwerte von A zu bestimmen, was nicht geht, da sie abhängig von b sind.
- habe Versucht zuerst b zu bestimmen mit der Gleichung Av =λv. A*v berechnet und mit λv gleichgesetzt, dann auf b aufgelöst. Scheint mir aber auch Falsch zu sein, da ich einen komischen Wert erhalten.
Komme jetzt bei der Aufgabe nicht mehr weiter. Wäre toll wenn mir jemand einen Ansatz liefert.
2 Antworten
habe Versucht zuerst b zu bestimmen mit der Gleichung Av =λv. A*v berechnet und mit λv gleichgesetzt, dann auf b aufgelöst. Scheint mir aber auch Falsch zu sein, da ich einen komischen Wert erhalten.
Das sollte der richtige Weg sein. Zeige doch, wie A und v aussehen und wie dein Rechenwege aussieht. Dann können wir dir sagen, ob du was falsch gemacht hast.
Die Matrix A, hat eine Unbekannte Variable b in der 1 Zeile auf der 2 Position (x2=b) und auch der Vektor hat eine Unbekannte Variable b=x1
Jeder Term von Av ist somit höchstens linear abhängig von b, wenn wir dann nur die 1. Und die 3. Komponente betrachten erhalten wir zwei lineare Gleichungen mit zwei Variablen (b und Lambda) was vielleicht eindeutig lösbar ist (wofür man aber erst die Matrix und den Vektor kennen sollte)
Man muss also die Eigenwerte nicht kennen.
A= [9, b, -4 ; -9, 2, 8 ; 0, 9, 1], v= (b, 2, 3)^T.
Für A*v habe ich (11b -12, -9b+28, 15) erhalten.
Mir mein LGS aufgebaut und gesehen dass in der 3 Gleichung "15 = Lambda 3" erhalte. Woraus ich schließe das auch entsprechend Lambda 1 und 2, 15 sein müssen. In die 2 Gleichung eingesetzt und für b= -2/9 erhalten.
Für A*v habe ich (11b -12, -9b+28, 15) erhalten.
Das stimmt nicht ganz.
Die dritte Komponente ist 21 (= 0b+9*2+1*3)
Deine dritte Gleichung ist dann 21 = lambda * 3 woraus Lambda = 7 folgt.
Setze also Lambda =7 in die Gleichung ein, und löse dann eine der übrig gebliebenen Gleichungen nach b auf. Mache dann eine Probe und du bist fertig.
Moment, kann es sein, dass bei der letzten Zeile von A eine 6 statt einer 9 steht?
Versuchet zuerst die Eigenwerte von A zu bestimmen, was nicht geht, da sie abhängig von b sind.
Warum geht das nicht? Das charakteristische Polynom einer 3x3-Matrix läßt sich z.B. mit der Sarrus-Regel einfach bestimmen. Das seine Nullstellen von einem Parameter abhängen solltest dich nicht stören.
habe Versucht zuerst b zu bestimmen mit der Gleichung Av =λv. A*v berechnet und mit λv gleichgesetzt, dann auf b aufgelöst. Scheint mir aber auch Falsch zu sein, da ich einen komischen Wert erhalten.
Das ist natürlich der falsche Ansatz. Zunächst mußt du die Lambdas in Abhängigkeit von b bestimmen und dann für die (höchtens) drei Eigenwerte ein b finden dass x ein Eigenvektor zu den jeweiligen Lambda ist (vermutlich ist nur für ein Lambda die Gleichung überhaupt lösbar).
Das charakteristische Polynom habe ich mit der Regel von Sarrus bestimmt und habe zusammenfassen , "−λ^3+10λ^2−(9b−65)⋅λ−(9b+342)=0" erhalten. Löse ich es auf habe ich meine Lambdas in Abhängigkeit von b. Wie genau finde ich denn jetzt für die Eigenwerte ein b?
Der Ansatz klappt nur wenn die Lambdas überhaupt bekannt sind. Der Fragesteller hat aber schon geschrieben dass er gar nicht weiß wie er die bestimmen soll.