Rang einer Matrix bestimmen?
Gegeben sei die folgende Matrix:
Man soll nun den Range der Matrix für alle Werte von Paramater a bestimmen.
Ich habe es wie folgt probiert:
Zweite und Dritte Reihe vertauschen:
[1,-1,2,0]
[2,0,1,-1]
[-1, a, -1, a]
Dann die obere rechte Dreiecksmatrix herleiten:
[1,-1,2,0]
[0,2,-3,-1]
[0,0, (3a+1)/2, (3a-1)/2 ]
Dann hätte die Matrix einen Rangverlust falls (3a+1)/2 = 0 und gleichzeitig (3a-1)/2 = 0, was aber nie der Fall sein kann.
Nun meine beiden Fragen:
- Darf man auch Spalten vertauschen bei solchen Aufgaben oder führt das auf falsche Lösungen?
- Ist meine Überlegung richtig bzw. wie würdet ihr das lösen?
2 Antworten
Darf man auch Spalten vertauschen bei solchen Aufgaben oder führt das auf falsche Lösungen?
Nein, du darfst Zeilen bzw. Spalten vertauschen.
Ist meine Überlegung richtig bzw. wie würdet ihr das lösen?
Ich würde erst einmal die anderen Komponenten anschauen. Da weniger Zeilen sind, betrachte ich die Spalten der Transponierten (man beachte: Zeilenrang = Spaltenrang = Rang).
Der Rang ist drei. Das sieht man relativ leicht, wenn man die Transponierte betrachtet.
Addierst du nämlich die dritte Spalte zu der zweiten, dann kann alleine wegen der dritten Zeile keine lineare Abhängigkeit der Spaltenvektoren vorhanden sein: Also für alle a ist der Rang drei.
Das Vorgehen ist richtig. Zeilentausch verfälscht nichts.