Zeigen Sie, dass f nicht stetig ist.?
Hallo,
wäre nett wenn mir jemand ein Beispiel hierfür geben könnte ich komm einfach nicht weiter. 😭
Sei f : ℝ → ℝ eine Funktion, die jeden Wert y ∈ ℝ genau zweimal annimmt. Zeigen Sie, dass f nicht stetig ist.
Hinweis: führen Sie die Annahme, f sei stetig, zu einem Widerspruch. Starten Sie dazu mit einem beliebigen y ∈ ℝ, wählen Sie zwei Punkte a < b mit f(a) = y = f(b). Betrachten Sie die beiden Fälle f((a+b)/2 ) > y oder f((a+b)/2) < y. Zeigen Sie für den ersten Fall, dass f(x) < y für alle x < a und alle x > b (Zwischenwertsatz), und folgern Sie daraus, dass f auf ganz ℝ nach oben beschränkt ist. Warum ist das ein Widerspruch?
3 Antworten
Eine intuitive Vorstellung kann man bekommen, wenn man einfach einmal ausprobiert, eine solche Funktion zu zeichnen und sich überlegt, warum das nicht klappen kann. Im Intervall zwischen zwei Stellen, die denselben Wert annehmen, wird bereits jeder Wert bis zum Funktionswert der Mitte zweimal angenommen. Damit ist dieser Wertebereich für Stellen außerhalb dieses Intervalls "gesperrt". Dann verläuft f aber nur über darüber oder darunter und notwendigerweise ist f dann nach unten oder nach oben beschränkt. Dann kann f aber nicht surjektiv sein, denn auch das Bild von f wäre dann von oben beschränkt und damit nicht ganz IR. Widerspruch.
Genauer: Angenommen, es gibt eine stetige Funktion f: IR → IR, die jeden Wert genau zweimal annimmt. Letzteres impliziert insbesondere, dass f jeden Wert auf jeden Fall einmal annimmt und damit surjektiv ist, d.h. das Bild von f ist ganz IR. Dann kann f nicht nach oben beschränkt sein, denn sonst gäbe es ja ("große") reelle Werte, die von f nicht angenommen werden würden (es wird aber jeder Wert von f angenommen!). Also erhalten wir schon einen Widerspruch, wenn wir zeigen, dass f nach oben beschränkt ist.
Jetzt folgen wir dem Tipp. Da f jeden Wert zweimal annimmt, gibt es verschiedene reelle Zahlen a und b mit f(a) = f(b) =: y. O.B.d.A. können wir a < b annehmen (ansonsten vertausche die Bezeichnungen a und b). Jetzt betrachten wir die Mitte zwischen a und b, also die Stelle m := (a + b)/2. Es ist f(m) ≠ y, sonst würde f den Wert y dreimal annehmen. Also ist f(m) > y oder f(m) < y.
Ich führe den Beweis jetzt für den Fall f(m) > y, den Fall f(m) < y überlasse ich dir. Da der Beweis dafür ganz ähnlich verläuft, ist das eine gute Übung, um zu überprüfen, ob du den Beweis verstanden hast.
Ist f(m) > y, dann ist f(x) < y für alle x < a und x > b (also zumindest schonmal außerhalb des Intervalls [a, b]), denn: Angenommen, z := f(x) ≥ y für ein x < a. Nach dem Zwischenwertsatz nimmt f auf [x, a] jeden Wert zwischen y und f(x) an, also insbesondere auch jeden Wert zwischen y und f(m). Sei c aus [x, a] mit f(c) in [y, f(x)]. Dann können wir wieder den Zwischenwertsatz anwenden, und zwar auf das Intervall [a, m] und erhalten ein c' mit f(c') = f(c). Ebenso erhalten wir auf dem Intervall [m, a] ein c'' mit f(c'') = f(c). Dann wird der Wert f(c) aber dreimal angenommen (bei c, c' und c'') im Widerspruch zur Annahme. Analog verfährt man für alle x mit x > b.
Auf jeden Fall ist f(x) also für alle x < a und alle x > b (durch y) nach oben beschränkt. Es bleibt also noch zu zeigen, dass f auch auf [a, b] nach oben beschränkt ist. Dies folgt aber einfach aus dem Fakt, dass [a, b] kompakt ist und f stetig. Insgesamt gibt es also ein reelles C (womöglich auch mit C > y) mit f(x) ≤ C für alle x.
Dass die Beschränktheit schon zu einem Widerspruch führt, haben wir uns oben schon überlegt. Also kann f nicht stetig sein.
Übrigens: Das kann man verallgemeinern. Eine Funktion f: IR → IR, die jeden Wert gerade oft annimmt, kann nicht stetig sein. Für ungerade Zahlen ist das allerdings möglich - hier kann man eine Zickzack-Funktion Funktion betrachten. Für n = 3 etwa die mit
und so weiter. Zwischen diesen ganzzahligen Werten interpoliert man linear (d.h. zieht einfach einen Strich vom einen Funktionswert zum anderen) und im negativen spiegelt man die Funktion diagonal (also an beiden Achsen). Betrachtet man die Funktion genauer, kann man leicht sehen, dass sie tatsächlich jeden reellen Wert genau dreimal annimmt.
Da du ja schon a und b mit demselben Funktionswert hast müssen alle Werte dazwischen entweder größer oder kleiner als y sein. Wenn f((a+b)/2)) größer als y ist dann müssen alle Werte für x<a und x>b kleiner als y sein da sonst f(x) wegen der Stetigkeit nochmals den Wert d annehmen müsste.
da f(x) stetig ist kann sie zwischen a und b keine Polstelle haben und ist deshalb nach oben beschränkt
Annahme, f sei stetig. Sei y ∈ ℝ, und seien a, b ∈ ℝ die beiden Punkte mit a < b und f(a) = y = f(b).
1.Fall: Es gibt ein z ∈ (a,b) mit f(z) > y.
Da f stetig ist, nimmt f auf [a,b] an einer Stelle x einen Maximalwert w an, und zwar gilt: w > y. Nach dem Zwischenwertsatz wird jeder echt zwischen y und w liegende Wert sowohl im Intervall (a,x) als auch im Intervall (x,b) angenommen. Nach Voraussetzung über f gibt es daher in ℝ\(a,b) keine Zahl, deren f-Wert echt zwischen y und w liegt, erneut nach dem Zwischenwertsatz dann aber in ℝ\(a,b) überhaupt keine Zahl mit f-Wert >y. Damit ist aber f in ganz ℝ durch w beschränkt, und die reellen Zahlen >w haben kein Urbild unter f, ein Widerspruch zur Voraussetzung.
Den 2.Fall (Es gibt ein z ∈ (a,b) mit f(z) < y) behandelt man entweder mit Hilfe des Minimums statt des Maximums oder (eleganter) durch Anwendung des 1.Falls auf die Funktion -f.